浙大四版概率论课件.ppt

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1、南京航空航天大学南京航空航天大学1目目 录录 概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念 等可能概型等可能概型等可能概型等可能概型(古典概型古典概型古典概型古典概型)Y 条件概率条件概率条件概率条件概率&独立性独立性独立性独立性%随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布D 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布P 两个两个两个两个r.v.r.v.r.v.

2、r.v.的函数的分布的函数的分布的函数的分布的函数的分布 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征h 几种重要几种重要几种重要几种重要r.v.r.v.r.v.r.v.的数学期望及方差的数学期望及方差的数学期望及方差的数学期望及方差p 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理21.确定性现象和不确定性现象确定性现象和不确定性现象.2.随机现象随机现象:在个别试验中其结果呈现出在个别试验中其结果呈现出 不确定性不确定性,在大量重复试验中其结果又在大量重复试验中其

3、结果又 具有统计规律性具有统计规律性.第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念前前 言言3.概率与数理统计的广泛应用概率与数理统计的广泛应用.31.随机试验随机试验举例举例:E E1 1:抛一枚硬币，观察正抛一枚硬币，观察正(H)(H)反反(T)(T)面的情况面的情况.E E2 2:将一枚硬币抛三次将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况.E E3 3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数.E E4 4:抛一颗骰子，观察出现的点数抛一颗骰子，观察出现的点数.E E5 5:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数电话交换台一分钟内接到的呼唤次数

4、.E E6 6:在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命测试它的寿命.4 随机试验随机试验:(1)可在相同的条件下重复试验可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的结果不止一个每次试验的结果不止一个,且且能能 事先明确所有可能的结果事先明确所有可能的结果;(3)一次试验前不能确定会出现哪一次试验前不能确定会出现哪 个结果。个结果。52.样本空间与随机事件样本空间与随机事件(一一)样本空间样本空间：随机试验：随机试验E的所有可能结果的所有可能结果组成的集合称为组成的集合称为 E的样本空间，记为的样本空间，记为S.样本样本空间的元素称为样本点，用空间的元素称为样本点，用e表示表示.E

5、2和和E3同是抛一枚硬币三次，同是抛一枚硬币三次，但试验的目的不一样，但试验的目的不一样，其样本空间也不一样其样本空间也不一样.6(二二)随机事件随机事件 样本空间样本空间S的子集称为的子集称为随机事件随机事件，简，简称为称为事件事件。样样本本空空间间1.离散样本空间离散样本空间:样本点为有限多个或样本点为有限多个或 可列多个可列多个.2.无穷样本空间无穷样本空间:样本点在区间或区域样本点在区间或区域 内取值内取值.事件发生事件发生:在一次试验中，当且仅当这在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。事件发生。7基本事件基本事件:由一个

6、样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.必然事件必然事件:样本空间样本空间S是自身的子集，在是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。每次试验中总是发生的，称为必然事件。不可能事件不可能事件：空集空集不包含任何样本点，不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称为不可能它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。事件。8（三）事件间的关系与事件的运算（三）事件间的关系与事件的运算1.包含关系包含关系和和相等关系相等关系:ABS 若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生,则称事件则称事件B包含事件包含事件A,记作记作A B.若若A B且且A B,即即A=B,则称则称A与

7、与B相等相等.9设设A,B,C为任意三个事件为任意三个事件,事件间的包含事件间的包含含关系有下列性质含关系有下列性质:(a)A S;(b)A A(自反性自反性);(c)若若A B且且B C,则则A C(传递性传递性);(d)若若A B且且B A,则则A=B(反对称性反对称性).10BAS2.和事件和事件:11 事件事件A B=x|x A 且且 x B 称为称为A与与B的积，即事件的积，即事件A与与B同时发生同时发生.A B 可简记为可简记为AB.类似地，事件类似地，事件 为可列个事件为可列个事件A1，A2，的积事件的积事件.BAS3.积事件积事件：12事件事件A-B=x|x A且且x B 称为

8、称为A与与B的差的差.当且仅当当且仅当A发生发生,B不发生时不发生时事件事件A-B发生发生.显然显然:A-A=,A-=A,A-S=ABs4.差事件差事件:13 基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的,即样本点是即样本点是 互不相容的互不相容的,事件事件A与与B-A是互不相容的是互不相容的.AB5.事件的事件的互不相容互不相容(互斥互斥):146.对立事件对立事件(逆事件逆事件)：SAB15(1)若若A,B二事件互为对立事件二事件互为对立事件,则则A,B必互不相容必互不相容,但反之不真但反之不真.(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，必然事件与不可能事件互为对立事件，167.事件的运

9、算律事件的运算律:交换律交换律:结合律结合律:分配律分配律：对偶律对偶律:17183.频率与概率频率与概率(一一)频率频率 1.在相同的条件下在相同的条件下,共进行了共进行了n次试验次试验,事事 件件A发生的次数记为发生的次数记为nA,称为称为A的频数的频数,nA/n 称为称为事件事件A发生的频率发生的频率,记为记为fn(A).19频率的特性频率的特性:波动性波动性和和稳定性稳定性.说明说明(1)波动性波动性:若试验次数若试验次数n相同相同,不同时候试验不同时候试验其频率不同其频率不同,当当n较小时较小时,fn(A)随机波动的幅度较随机波动的幅度较大大.(书书P8)(2)稳定性稳定性:当当n增

10、大时，频率增大时，频率fn(A)的波动越来的波动越来越小，呈现出一定的稳定性。越小，呈现出一定的稳定性。201.定义定义:设设E是随机试验是随机试验,S是样本空间是样本空间.对对于于E的每个事件的每个事件A对应一个实数对应一个实数P(A),称为事称为事件件A的概率的概率,如果集合函数如果集合函数P(.)满足下列条件满足下列条件:(1)对任一事件对任一事件A,有有P(A)0;(非负性）非负性）(2)P(S)=1;（规范性（规范性)(3)设设A1,A2,是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,则有则有 P(A1 A2 )=P(A1)+P(A2)+(可列可加性可列可加性)(二)概率概率21由概率定

11、义可以推出概率的一些重要性质：由概率定义可以推出概率的一些重要性质：一般地有一般地有:P(B-A)=P(B)-P(AB).2223244.等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)等可能概型的两个特点等可能概型的两个特点:(1)样本空间中的元素只有有限个样本空间中的元素只有有限个;(2)每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同.计算公式计算公式:25例例1.将一枚硬币抛掷三次，将一枚硬币抛掷三次，A表示表示“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”B表示表示“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”,求求 P(A),P(B)26抽样问题抽样问题一只口袋装有一只口袋装有6只球，其中只球，其

12、中4只白球、只白球、2只红只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式两种取球方式:(a)第一次取一只球，观察其颜色后第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回抽样放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做取球方式叫做不放不放回抽样回抽样。试分别就上面两种情况，求。试分别就上面两种情况，求(1)(1)取到的两取到的两只球都是白球的概率；只球都是白球的概率；(2)(2)取

13、到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同的概率的概率;(3);(3)取到的两只球中至少有一只是白球的取到的两只球中至少有一只是白球的概率。概率。27生日问题生日问题假定每个人的生日在一年假定每个人的生日在一年365天的任一天天的任一天都等可能都等可能,随机选取随机选取n(小于小于365)人人,他们至少他们至少有两个人生日相同的概率为有两个人生日相同的概率为:28超几何分布问题超几何分布问题设有设有N件产品，其中件产品，其中D件为次品，从中任取件为次品，从中任取n件，件，求其中恰有求其中恰有k(k0311.定义定义:设设A,B是两个事件是两个事件,且且P(A)0,称称为为在事件在事件A发生的条件下

14、事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率.2.性质性质:条件概率符合概率定义中的三个条件条件概率符合概率定义中的三个条件,即即32此外此外,条件概率具有无条件概率类似性质条件概率具有无条件概率类似性质.例如：例如：特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当A=SA=SA=SA=S时时时时,P,P,P,P（B|SB|SB|SB|S）=P(B)=P(B)=P(B)=P(B)，条件概率化为无条件概率化为无条件概率化为无条件概率化为无条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。3

15、3计算条件概率有两种方法计算条件概率有两种方法:我们一般采用我们一般采用(2)计算计算.34例例1.3只一等品只一等品1只二等品只二等品任取一只任取一只,不放回不放回再任取一只再任取一只A第一次取到的是第一次取到的是 一等品一等品B第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品,求求P(B|A).35(二二)乘法定理乘法定理:推广推广:P(AB)0,则有则有 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A).一般一般,设设A1,A2,An是是n个事件个事件(n2),P(A1A2.An-1)0,则有则有乘法公式乘法公式:P(A1A2An)=P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2)P

16、(A1)P(A2|A1)36r只红球只红球t只白球只白球例例2.每次任取一只球观察颜色每次任取一只球观察颜色后放回后放回,再加入再加入a只同色球只同色球在袋中连续取球在袋中连续取球4次次,试求第一、二次取到红球试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率且第三、四次取到白球的概率.37例例3.透镜第一次落下打破的概率为透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次若第一次落下未打破落下未打破,第二次落下打破的概率为第二次落下打破的概率为0.7,若前若前两次落下未打破两次落下未打破,第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为0.9,试求试求:透镜落下三次而未打破的概率透镜落下三次而未打破的概率

17、.38(三三)全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式:1.样本空间的划分样本空间的划分SB1B2B3.Bn39(1)若若B1,B2,Bn是样本空间是样本空间S的一个划分的一个划分,则每次试验中则每次试验中,事件事件B1,B2,Bn 中必有一中必有一个且仅有一个发生个且仅有一个发生.2.全概率公式全概率公式:AB1B2B3BnS.40贝叶斯公式贝叶斯公式:41例例4.某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的造厂提供的,数据如下数据如下:元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供的份额提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3

18、0.03 0.05(1)任取一只晶体管任取一只晶体管,求它是次品的概率求它是次品的概率.(2)任取一只任取一只,若它是次品若它是次品,则由三家工厂则由三家工厂 生产的概生产的概率分别是多少率分别是多少?42例例5 对以往数据分析结果表明对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好当机器调整得良好时时,产品的合格率为产品的合格率为98%,而当机器发生某一故障时而当机器发生某一故障时,其合格率为其合格率为55%,每天早晨机器开动时机器调整良每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为好的概率为95%,试求已知某日早上第一件产品是试求已知某日早上第一件产品是合格品时合格品时,机器调整得良好的概率是多少机器调整

19、得良好的概率是多少?431.定义定义:设设A,B是两事件是两事件,如果满足等式如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件则称事件A与事件与事件B是相互独立的事件是相互独立的事件。由定义可知由定义可知:不可能事件、必然事件与任何事件都是不可能事件、必然事件与任何事件都是相互独立的。相互独立的。1.6 独立性独立性442.定义定义:设设A,B,C是三个事件，如果满足等式是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件则称事件A,B,C相互独立。相互独立。453.定理定理:设

20、设A,B是两事件是两事件,且且P(A)0,则则A,B相相互独立的充要条件是互独立的充要条件是:P(B|A)=P(B).46相关结论相关结论:47例例1.一个元件能正常工作的概率称为元件的可一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠性。如下图，设有靠性。如下图，设有4个独立工作的元件个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式连接。设第按先串联再并联的方式连接。设第i个元件个元件的可靠性为的可靠性为 ，试求系统的可靠性。，试求系统的可靠性。123448例例2.100件乐器件乐器,验收方案是从中任验收方案是从中任 取取3件测试件测试(相互独立的相互独立的),3件测试后都认为音色纯则接收件测试后都

21、认为音色纯则接收这批乐器这批乐器,测试情况如下测试情况如下:经测试认为音色纯经测试认为音色纯 认为音色不纯认为音色不纯乐器音色纯乐器音色纯 0.99 0.01乐器音色不纯乐器音色不纯 0.05 0.95若若100件乐器中恰有件乐器中恰有4件音色不纯件音色不纯,试问试问:这批乐器被接收的概率是多少这批乐器被接收的概率是多少?49第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量随机变量例例2.测试灯泡寿命试验测试灯泡寿命试验,S=e=t|t0,样本点本身样本点本身是数量。是数量。1.定义定义:设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S=e，若对于，若对于每一个每一个eS,有一个

22、实数有一个实数X(e)与之对应与之对应,即即X(e)是定是定义在义在S上的单值实函数，称为上的单值实函数，称为随机变量随机变量。（random variable,简记为简记为r.v.)eSX(e)Rx50有了随机变量有了随机变量X,以前的各种随机事件均可用以前的各种随机事件均可用X的的变化范围来表示变化范围来表示:如例如例1中中:A=“正面朝上正面朝上”=X=1,C=“正面朝上或背面朝上正面朝上或背面朝上”=X=1或或X=0=S,反过来反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件的一个变化范围表示一个随机事件.0X2=“正面朝上正面朝上”.X0=,-5X5=S.512.分类：分类：(2)可用随机变

23、量可用随机变量X描述事件。描述事件。随机变量随着试验的结果而取不同的值随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试在试验之前不能确切知道它取什么值验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变但是随机变量的取值有一定的统计规律性量的取值有一定的统计规律性概率分布概率分布。(1)离散型随机变量离散型随机变量;(2)连续连续型随机变量。型随机变量。注注:(1)任何随机试验都可以找到相应的随机变量，任何随机试验都可以找到相应的随机变量，522.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布1.定义定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个或可列无限多个,

24、则称为则称为离散型随机变量离散型随机变量.X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .53例例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯号灯,每盏信号灯以概率每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过,以以X表示汽表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数车首次停下时已通过信号灯的盏数,求求X的分布律的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的设各信号灯的工作是相互独立的).543.几种重要的离散型几种重要的离散型r.v.的分布律的分布律：X 0 1 pk 1-p p 其中其中0p1,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1.若某随机试验若某随机试验E

25、只有两个只有两个(或相互对立的两或相互对立的两类类)可能的结果可能的结果,只要将其中的一个只要将其中的一个(或一类或一类)结果对应于数字结果对应于数字1,另一个另一个(或另一类或另一类)对应于对应于数字数字0,于是就可用于是就可用0-1分布的随机变量来描分布的随机变量来描述有关的随机事件述有关的随机事件.(一一)0-1分布分布55(二二)贝努利试验贝努利试验 (二项分布二项分布)设设X是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数,则则X是一个随机变量是一个随机变量,于是于是称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为Xb(n,p).当当n=1时时,PX=k

26、=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为即为0-1分布分布.56例例2.某种电子元件的使用寿命超过某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级小时为一级品品,已知一大批该产品的一级品率为已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽从中随机抽查查20只只,求这求这20只元件中一级品只数只元件中一级品只数X的分布律的分布律.57例例3.某人进行射击，设每次射击的命中率为某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，试求至少击中两次的次，试求至少击中两次的概率概率。58例例4.设有同类型设备设有同类型设备80台台,各台工作是相互独立各台工作是相互独立的的,发生故障的概率都

27、是发生故障的概率都是0.01,设一台设备的故障设一台设备的故障由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法：由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法：其一是由其一是由4人维护，每人负责人维护，每人负责20台；其二是由台；其二是由3人人共同维护共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故台。试比较这两种方法在设备发生故障但不能及时维修的概率大小。障但不能及时维修的概率大小。59(三三)泊松分布泊松分布(Poisson)泊松分布有很多应用泊松分布有很多应用.通常用来刻画一段间通常用来刻画一段间隔中某类事件发生的次数隔中某类事件发生的次数 例如例如,一定时间间隔内电话交换台收到的呼一定时间间隔内电话交换

28、台收到的呼唤次数，某一地区一个时间间隔内发生的唤次数，某一地区一个时间间隔内发生的交通事故数等都服从泊松分布交通事故数等都服从泊松分布.60(四四)几何分布几何分布 进行重复独立试验进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为设每次试验成功的概率为p,失败的概率为失败的概率为1-p=q(0p1),将试验进行到出现一将试验进行到出现一次成功为止次成功为止,以以X表示所需的试验次数表示所需的试验次数,则则X的分布的分布律为律为:PX=k=qk-1p,k=1,2,称为称为X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布.例例 设某种社会定期发行的奖券设某种社会定期发行的奖券,每券每券1元元,中奖率为中奖率为

29、p,某人每次购买某人每次购买1张奖券张奖券,如果没有中奖下次继续再如果没有中奖下次继续再买买1张张,直到中奖为止直到中奖为止,求购买次数求购买次数X的分布律的分布律.61 若该人共准备购买若该人共准备购买10次次,共共10元钱元钱,即如果中奖就停止即如果中奖就停止,否则下次再购买否则下次再购买1张张,直到直到10元共花完为止元共花完为止,求购买次求购买次数数Y的分布律的分布律.6233 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.定义定义：设：设r.v.X,x R1,则则 F(x)=P Xx 称为称为X的的分布函数分布函数.(1)P x1x1,F(x2)F(x1)(2)0F(x)1,F(-)=0,

30、F(+)=1.(3)F(x)是右连续的是右连续的,即即 F(x+0)=F(x).例例1.离散型离散型r.v.,已知其分布律可求出分布函数已知其分布律可求出分布函数.X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求求:X的分布函数的分布函数,并求并求 P X1/2,P3/2X5/2.644.4.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度则称则称X为连续型为连续型r.v.f(x)称为称为X概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.连续型连续型r.v.的分布函数是连续函数的分布函数是连续函数.6566例例1.一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任一设击

31、中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并并设射击都能击中靶设射击都能击中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求试求X的分布函数的分布函数.67例例2.书书P52683.关于连续型关于连续型r.v.的一个重要结论的一个重要结论:定理定理:设设X为连续型为连续型r.v.它取任一指定的实数它取任一指定的实数 值值a的概率均为的概率均为0.即即PX=a=0.694.几个常用的连续型几个常用的连续型r.v.分布分布(一一)均匀分布均匀分布:则称则称随机变量随机变量X在在(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布,记作记作XU(a,b

32、).分布函数为分布函数为:70(二二)指数分布指数分布:1.定义定义:如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为:指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性:71(三三)正态分布正态分布:72性质性质:73如何计算如何计算?通过标准正态分布计算其它一切正态分布的概率通过标准正态分布计算其它一切正态分布的概率:(2)标准正态分布标准正态分布:74引理引理:75例例:若若XN(,),则则X落入区间落入区间:-,+,-2,+2,-3,+3 的概率为多的概率为多少少?76标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点:z (x)O772.特例特例:(1,)是参数为是参数为 的指数分布的指

33、数分布.（=1）3.伽玛函数的性质伽玛函数的性质:(i)(+1)=();(ii)对于正整数对于正整数n,(n+1)=n!;(四四)伽玛分布伽玛分布:1.定义定义:如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为:785.随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布一、一、X为离散型为离散型r.v.例例1.设设X具有以下的分布律具有以下的分布律,求求Y=(X-1)2分布律分布律:X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4791.离散离散r.v.分布函数的概率分布的求法分布函数的概率分布的求法:设设X的概率分布如下表的概率分布如下表:X x1 x2 xk PX=xi p1

34、 p2 pk .(1)记记yi=g(xi)(i=1,2,)yi的值也是互不相同的的值也是互不相同的,则则Y的概率分布如下表的概率分布如下表:Y y1 y2 yk PY=yi)p1 p2 pk .(2)若若g(x1),g(x2),中不是互不相等的中不是互不相等的,则应将那些则应将那些相等的值只写一次相等的值只写一次,但把各自所对应的概率相加但把各自所对应的概率相加,就就得到了得到了Y的概率分布律的概率分布律.80二、二、X为连续型为连续型r.v.811.“分布函数法分布函数法”:(1)先求出先求出Y的分布函数的分布函数:FY(y)=PYy=Pg(X)y=PX G,转化为转化为关于关于X的事件的事

35、件,再利用再利用X的分布函数表示的分布函数表示.(2)对对y求导得到求导得到Y的概率密度的概率密度:fY(y)=FY(y).82Y密度函数的分段考虑：密度函数的分段考虑：（1）虽然）虽然X密度的分段，但不必一开始就对密度的分段，但不必一开始就对Y的的 密度函数分段（如例密度函数分段（如例2）（2）若是因为）若是因为g(x)的原因，则一开始就要对的原因，则一开始就要对Y的的 密度函数分段（如例密度函数分段（如例3）83若若f(x)在有限区间在有限区间a,b以外等于零以外等于零,则只需假则只需假设在设在a,b上上g(x)严格单调严格单调,选取选取 =min(g(a),g(b),=max(g(a),

36、g(b).2.定理定理:设设X是连续型是连续型r.v.,具有概率密度具有概率密度f(x),设设y=g(x)是是x的严格单调函数的严格单调函数,且反函数且反函数x=h(y)具有连续的导具有连续的导函数函数.当当g(x)严格增加时严格增加时,记记 =g(-),=g(+);当当g(x)严格减少时严格减少时,记记 =g(+),=g(-),则则Y的概率密度为的概率密度为:8485例例5.r.v.XN(,2),证明证明X的线性函数的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布也服从正态分布.86例例6.(书P66 例5)87第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1 二维随机变量二维随机变量

37、1.二维二维r.v.定义定义:设设E是一个随机试验是一个随机试验,样本空间是样本空间是 S=e,设设X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在S上的上的r.v.,由由它们构成的一个向量它们构成的一个向量(X,Y),叫做叫做二维二维r.v.注注:二维二维r.v.(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X和和Y有关有关,而且还而且还 依赖于这两个依赖于这两个r.v.的相互关系的相互关系.如何描述二维如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律的统计规律?2.二维二维r.v.(联合联合)分布函分布函数数:883.下面分别讨论二维离散型和连续型下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.(一一)二维离散型二维离散型

38、r.v.89例例1.设设r.v.X在在1,2,3,4四个整数中等可能地取值四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在则在1X中等可能地取一整数中等可能地取一整数,试求试求(X,Y)的的分布律分布律.90(二二)二维连续型二维连续型r.v.9192932.边缘分布边缘分布 一、一、边缘分布函数边缘分布函数：二、二、边缘分布律边缘分布律：若已知联合分布律若已知联合分布律94例例1(续续)Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 piX95三、三、边缘概率密度边缘概率密度:9697注注:

39、由二维随机变量由二维随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布(X,Y)的联合分的联合分布可唯一地确定布可唯一地确定X和和Y的边缘分布的边缘分布,反之反之,若已知若已知X,Y的边缘分布的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布并不一定能确定它们的联合分布.983.条件分布条件分布 一、一、二维离散型二维离散型r.v.的情况的情况:99例例1.设设(X,Y)的分布律为的分布律为:X 5 7 13 18 20 1 0.08 0.01 0 0.02 0.14 2 0.11 0.10 0.09 0.01 0.04 3 0.03 0.07 0.15 0.06 0.09求在求在X=2时时Y的条件分布律的条件分布

40、律.Y100例例2 一射击手进行射击一射击手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止,设以设以X表示首次击中目标表示首次击中目标进行的射击次数进行的射击次数,以以Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数,试求试求X和和Y的联合分布律和条件分布律的联合分布律和条件分布律.101二、二、二维连续型二维连续型r.v.首先引入条件分布函数首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度然后得到条件概率密度.102103例例3.设数设数X在区间在区间(0,1)上随机地取值上随机地取值,当观察到当观察到X=x(0 x1)时时,数数Y在区间在区间(

41、x,1)上随机地取值上随机地取值,求求Y的概率密度的概率密度.1044.4.相互独立的随机变量相互独立的随机变量 1.定义定义:2.等价定义等价定义:105任何常数与随机变量都相互独立任何常数与随机变量都相互独立。3.命题：设命题：设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,则则X,Y相互相互独独立的充要条件是立的充要条件是 =0。1065.两个两个r.v.的函数的分布的函数的分布(一一)和和(Z=X+Y)的分布的分布:已知已知(X,Y)的联合密度是的联合密度是f(x,y),求求Z=X+Y的分的分布布密度密度.107例例1.设设X和和Y相互独立相互独立,且都服从且都服从N(0,1),求求:Z

42、=X+Y的分布密度的分布密度.结论结论:108109110(二二)M=max(X,Y)及及m=min(X,Y)的分布的分布:设设X,Y相互独立相互独立,分布函数分别为分布函数分别为FX(x)和和FY(y).求求M=max(X,Y)的分布的分布 111推广推广:设设X1,X2,Xn相互独立相互独立,分布函数分别为分布函数分别为F1(x),F2(x),Fn(x),则则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为 FM(z)=F1(z)F2(z)Fn(z)N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z)特别地特别地,当

43、当X1,X2,Xn 独立同分布独立同分布时时,设分布函数设分布函数为为F(x),则则 FM(z)=(F(z)n,FN(z)=1-(1-F(z)n.112例例3.(课本课本P100例例4)113114(三三)离散型离散型r.v.的函数的分布的函数的分布:例例 设设X,Y是相互独立是相互独立,分别服从参数为分别服从参数为 1,2的的泊松分布泊松分布,试证明试证明Z=X+Y服从服从参数为参数为 1+2泊泊松分布松分布.115第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.随机变量的数学期望随机变量的数学期望116117例例1.甲甲,乙两人进行打靶乙两人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为

44、X1,X2,它们的分布律分别为它们的分布律分别为:X1 0 1 2 X2 0 1 2pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1试评定他们的成绩好坏试评定他们的成绩好坏.118例例2（书（书P111）.1193.随机变量函数的数学期望公式随机变量函数的数学期望公式:120说明说明:1.我们求我们求E(Y)时不必知道时不必知道Y的分布的分布,只需知道只需知道X的的分布就可以了分布就可以了.2.上述定理可以推广到多维上述定理可以推广到多维r.v.函数函数.1214.均值的性质均值的性质:(1)E(c)=c;(c为常数为常数)说明说明:i.性质性质(3)和和(4)可以推广到有限个可以推广到

45、有限个r.v.(X1,X2,Xn)的情况的情况.(2)E(cX)=cE(X);(c为常数为常数)(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设设X,Y相互独立相互独立,则则E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(柯西柯西-许瓦兹不等式许瓦兹不等式)ii.对于对于“和和”,不要求不要求X1,X2,Xn相互独立相互独立;对对于于“积积”要求要求X1,X2,Xn相互独立相互独立.1222.2.方方 差差 方差描述了方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度。对其数学期望的离散程度。思考思考：分别就：分别就X为离散型为离散型r.v.和连续型和连续型r.v.推导其推导

46、其方差方差D(X)的计算公式的计算公式定义定义：123常用的计算公式常用的计算公式：124125二、二、方差的性质及切比雪夫不等式方差的性质及切比雪夫不等式：1.性质性质:10 设设C是常数是常数,则则D(C)=0;20 设设X是是r.v.,C是常数是常数,则有则有 D(CX)=C2D(X);30 设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,则有则有 D(X Y)=D(X)+D(Y)2E(X-EX)(Y-EY);40 D(X)=0的充要条件是的充要条件是X以概率以概率1取常数取常数C,即即 PX=C=1.2.切比雪夫不等式切比雪夫不等式:1263.几种重要几种重要r.v.的数学期望及方差的数学期望

47、及方差 1.一些常用的离散型一些常用的离散型r.v.的均值及方差的均值及方差:10 0-1分布分布:(参见例参见例1).1271281292.一些常用的连续型一些常用的连续型r.v.的均值及方差的均值及方差:1301311321334.4.协方差和相关系数协方差和相关系数(i)Cov(X,X)=D(X).(ii)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(iii)对于任意两个和对于任意两个和Y,有有 D(X Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).134(二二)协方差的性质协方差的性质:10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X);20 Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Co

48、v(X,Y),其其 中中a1,a2,b1,b2是常数是常数;30 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);40 若若X,Y相互独立相互独立,则则Cov(X,Y)=0,即不相关即不相关.135定理说明了相关系数定理说明了相关系数 XY刻划了刻划了X,Y之间的之间的线性相关关系线性相关关系,当当 XY=0时时,我们称我们称X,Y不相不相关关.(这里是指它们之间没有线性相关关系这里是指它们之间没有线性相关关系.)136137例例1.设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,求求X和和Y的相关系的相关系数（书数（书P132）.1385.矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一一.

49、定义定义:设设X和和Y是随机变量是随机变量,(1)若若E(Xk),k=1,2,存在存在,则称它为则称它为X的的k阶原点矩阶原点矩.(2)若若EX-E(X)k,k=1,2,存在存在,则称它为则称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.(3)若若EXkYl,k,l=1,2,存在存在,则称它为则称它为X和和Y的的k+l阶混合阶混合(原点原点)矩矩.(4)若若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在存在,则称它则称它为为X和和Y的的k+l阶混合中心矩阶混合中心矩.139140三三.协方差阵的性质协方差阵的性质:10 C是对称的是对称的;(由协方差的性质由协方差的性质Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

50、,ij=ji可得可得)20 ii=D(Xi),i=1,2,3,n.30 ij2 ii jj,i,j=1,2,n.(由许瓦由许瓦兹兹不等不等 式可得式可得)40 C是非负定的是非负定的,即对任意的即对任意的n维向量维向量 a=(a1,a2,an)T,都有都有aTCa0.|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式许瓦尔兹不等式)141四四.n维正态变量维正态变量:1422.性质性质:10 n维维r.v.(X1,X2,Xn)服从服从n维正态分布的的充要维正态分布的的充要条件是条件是X1,X2,Xn的任一线性组合的任一线性组合 l1X1+l2X2+ln Xn服从一维正态分布服从一维正态分布