弹性力学张量PPT讲稿.ppt
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1、弹性力学张量第1页,共82页,编辑于2022年,星期六1.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标第一章 张量代数第2页,共82页,编辑于2022年,星期六1.1 基本概念1.标标量量:只有大小、没有方向性的物理量,与坐坐标标系系选择无关。用字母表示,如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。2.矢矢量量:有大小,又有方向性的物理量。如矢径(或黑体)、位移、力 等。矢量可用一个方向来确定。x3x2x1r其中 、为坐标的基矢量(单位向量、基矢),r1、r2、r3为r在坐标轴的投影(分量),都有一个下标。第3页,共82页,编辑于2022年,星期六记法:记法:(1)实体记法:(或黑体字母)r(2)分解
2、式记法:同时写出矢量的分量和相应分解分量的基。(3)分量记法:将矢量用其全部分量的集合来表示r(r1、r2、r3)(4)矩阵记法:第4页,共82页,编辑于2022年,星期六3,张量张量:有大小,并具有多重方向性的量(可描述更复杂的物理量)。如应力、应变。有些量不能只利用一个方向来确定。如应力:它与两个方向有关在 方向(为作用面的法矢),应力矢为 ;而在 方向,应力矢为这说明应力矢本身有方向,而且还与其作用面方向有关,必须用两个方向才能描述应力矢。必须用两个方向才能描述应力矢。第5页,共82页,编辑于2022年,星期六11eexxs31eexzt21eexyt常用的应力单元体也是如此:每一个应力
3、分量也必须用两个方向才能描述,第一个方向为应力作用面的方向,第一个方向为应力作用的方向。每个分量用一个标量(具有两个下标)与两个并在一起基矢量(并矢)表示,称为二阶张量。于是引入二阶基:第6页,共82页,编辑于2022年,星期六故矢量可称为一阶张量,标量为零阶张量。标量由1个分量组成,矢量由3个分量组成,二阶张量由9个分量组成;三阶张量由27个分量组成,n阶张量由3n个分量组成。从数学上说,可引入 阶基,阶基中有个基矢。与 阶基相关连的量称为 阶张量。时为标量;时为矢量;时为二阶张量(简称张量)。第7页,共82页,编辑于2022年,星期六1.2 张量表示张量表示1.2.1.下标记号法下标记号法
4、张量的最简洁的一种表示方法张量的最简洁的一种表示方法点的坐标(x,y,z)(矢径)点的位移(u,v,w)点的速度应力(张量):第8页,共82页,编辑于2022年,星期六应应力力张张量量可表示为(i=1,2,3;j=1,2,3)第9页,共82页,编辑于2022年,星期六应变张量:应变张量可表示为(i=1,2,3;j=1,2,3)第10页,共82页,编辑于2022年,星期六微分符号:第11页,共82页,编辑于2022年,星期六约定约定:英文字母下标表示三维指标,取值1,2,3.在该约定下,上述简写表达式后的说明 或 在以后的写法中将被略去。n阶张量可表示为第12页,共82页,编辑于2022年,星期
5、六1.2.2求和约定求和约定(Einstein求和约定)矢量点积的实例设为两矢量,其分量分别记为,则:哑标哑标:在表达式的某项中,若某指标重复出现两次,则表在表达式的某项中,若某指标重复出现两次,则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。该重复指标称为示要把该项指标在取值范围内遍历求和。该重复指标称为“哑标哑标”或或“伪标伪标”。第13页,共82页,编辑于2022年,星期六显然,指标 i,j,k与求和无关,可用任意字母代替。为简化表达式,引入Einstein求和约定:每逢某个指标在一项中重复一次,就表示对该指标求和,指标取遍正数1,2,n。这样重复的指标称为哑标。于是*1 1、哑标的符号可以任意
6、改变、哑标的符号可以任意改变(仅表示求和)(仅表示求和)第14页,共82页,编辑于2022年,星期六是违约的,求和时要保留求和号*2 2、哑标只能成对出现、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出否则要加上求和号或特别指出*3 3、同项中出现两对(或多对)不同哑标表示多重求和、同项中出现两对(或多对)不同哑标表示多重求和双重求和展开式(9项)第15页,共82页,编辑于2022年,星期六三重求和(27项)n表示空间的维数,以后无特别说明,我们总取n=3。例题:第16页,共82页,编辑于2022年,星期六含偏导数项的下标记号表示法:*若重复出现的标号不求和,应特别声明若重复出现的标号不求和,应
7、特别声明第17页,共82页,编辑于2022年,星期六1.2.3 自由指标例如指标i在方程的各项中只出现一次,称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,2,3,n,与哑标一样,无特别说明总取n=3。于是,上式表示3个方程的缩写:一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的的指标,称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取到最大数。的的指标,称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取到最大数。第18页,共82页,编辑于2022年,星期六*1*1、自由指标仅表示为轮流取值,因此也可以换标,但必须整个表达、自由指标仅表示为轮流取值
8、,因此也可以换标,但必须整个表达式换标式换标 ;出现双重指标但不求和时,在指标下方加划线 以示区别,或用文字说明(如i不求和)。规定:这里 i相当于一个自由指标,而 i只是在数值上等于 i,并不与 i 求和。*2*2若重复出现的标号不求和的表示:若重复出现的标号不求和的表示:第19页,共82页,编辑于2022年,星期六又如,方程用指标法表示,可写成i 不参与求和,只在数值上等于 i*3*3由由 不能得出不能得出.第20页,共82页,编辑于2022年,星期六i为自由指标,j为哑标表示如下3个方程:例题:第21页,共82页,编辑于2022年,星期六表示如下3个方程:i为自由指标,j为哑标等价为第2
9、2页,共82页,编辑于2022年,星期六i,j为自由指标,k为哑标表示9个方程:第23页,共82页,编辑于2022年,星期六1.3 Kronecker 符号在卡氏直角坐标系下,Kronecker 符号定义为:其中i,j为自由指标,取遍1,2,3;因此,可确定一单位矩阵:(kronecher delta)第24页,共82页,编辑于2022年,星期六符号的性质:性质:对称性可进行换标或运算笛卡尔坐标系的基向量的点积第25页,共82页,编辑于2022年,星期六若是相互垂直的单位矢量,则,但而,故第26页,共82页,编辑于2022年,星期六注意:是一个数值,即的作用:1)换指标;2)选择求和。例1:思
10、路:把要被替换的指标 i 变成哑标,哑标能用任意字母,因此可用变换后的字母 k 表示第27页,共82页,编辑于2022年,星期六例2:例3:个数,项的和。求特别地,如果ij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子的指标相重,则可以把该因子的那个重指标替换成ij的另一个指标,而 ij 自动消失。ij也称为换标符号。第28页,共82页,编辑于2022年,星期六符号的应用应用矢量与代数运算 两个任意向量点积 微分运算第29页,共82页,编辑于2022年,星期六第30页,共82页,编辑于2022年,星期六1.4置换符号(Permutatisn Symbol)一、定义:1123123第31页,共82
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