23解三角形的实际应用举例.ppt

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1、23解三角形的实际应用举例1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量间隔测量间隔 问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等航海问题、物理问题等2实际应用中的常用术语实际应用中的常用术语术语术语名称名称仰角仰角与与俯角俯角方方位位角角术语术语意意义义在目的在目的视线视线与程度与程度视线视线所成的角所成的角中，目的中，目的视线视线在程度在程度视线视线上方的上方的叫做仰角，目的叫做仰角，目的视线视线在程度在程度视线视线下方的叫做俯角下方的叫做俯角从某点的指北方向从某点的指北方向线线起按起按顺时顺时针针

2、方向到目的方向方向到目的方向线线之之间间的程的程度度夹夹角叫做方位角方位角的角叫做方位角方位角的范范围围是是(0，360)图图形表示形表示 术语术语名称名称术语术语意意义义图图形表示形表示方向角方向角正北或正南方正北或正南方向向线线与目的方与目的方向向线线所成的所成的锐锐角，通常表达角，通常表达为为北北(南南)偏偏东东(西西)度度例：例：(1)北偏北偏东东m：(2)南偏西南偏西n：术语术语名称名称术语术语意意义义图图形表示形表示坡角坡角 坡度坡度 坡面与程度坡面与程度面的面的夹夹角角 坡面的垂直高坡面的垂直高度度h和程度和程度宽宽度度l的比的比例例1.A、B两点在河的两岸两点在河的两岸(B点不

3、可到达点不可到达)，要测量，要测量 这两点之间的间隔这两点之间的间隔。备用工具：皮尺、测角仪。备用工具：皮尺、测角仪测量者在测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的间隔的间隔 是是55m，BAC51o，ACB75o，求，求A、B两点间的间隔两点间的间隔 准确到准确到0.1m).分析：所求的边分析：所求的边AB的对角是的的对角是的,又知三角形的一又知三角形的一边边AC,根据三角形内角和定理可计算出边根据三角形内角和定理可计算出边AC的对的对角角,根据正弦定理根据正弦定理,可以计算出边可以计算出边AB.你能根据所学知识设计一种测量方案吗你能根据所学知

4、识设计一种测量方案吗?应用一：测量间隔应用一：测量间隔 问题问题解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A、B两点间的间隔两点间的间隔 约为米。约为米。变式练习：两灯塔变式练习：两灯塔A A、B B与海洋观察站与海洋观察站C C的间隔的间隔 都等于都等于a km,a km,灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东3030，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C南偏东南偏东6060，那么，那么A A、B B之间的间隔之间的间隔 为为多少？多少？例例2、A、B两点都在河的对岸不可到达，两点都在河的对岸不可到达，设计一种测量两点间的间隔设计一种测量两点间的间隔 的方法。的方法。分

5、析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这的方法，可以计算出河的这一岸的一点一岸的一点C到对岸两点的间隔到对岸两点的间隔，再测出，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算的大小，借助于余弦定理可以计算出出A、B两点间的间隔两点间的间隔。D解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并且在并且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用余弦定理计算中，应用余弦定理计算出出AB两点间的距离两点间的距离在在 ADC和和 BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得ABCD

6、30453060分析：分析：1.在在ACD中求中求DA2.在在BCD中求中求DB变式练习：变式练习：训练训练 某港口某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西北偏西30且与且与该港口相距该港口相距20海里的海里的A处，并正以处，并正以30海里海里/小时的航行速度小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里海里/小小时的航行速度匀速行驶，经过时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇小时与轮船相遇 (1)假设希望相遇时小艇的

7、航行间隔假设希望相遇时小艇的航行间隔 最小，那么小艇航最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能到达假设小艇的最高航行速度只能到达30海里海里/小时，小时，试设计航行方案试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小即确定航行方向和航行速度的大小)，使，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由1、分析分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把量与求解量集中在一个三角形中3、求求解解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题

8、的解。解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：解决有关三角形应用性问题的思路、解决有关三角形应用性问题的思路、步骤和方法步骤和方法实际问题实际问题 抽象概括抽象概括 画示意图画示意图 建立数学模型建立数学模型推理推理 演算演算数学模型的解数学模型的解实际问题实际问题的的 解解检验作答检验作答复原说明复原说明练习、自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算练习、自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度车厢的最大仰角是的长度车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢与车厢支点支点A之间的间隔之间的间隔 为，为，AB与程度线之间的夹角为与

9、程度线之间的夹角为620，AC长长为，计算为，计算BC的长准确到的长准确到0.01m 1 1什么是最大仰角？什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABCABC中什么，要求什么？中什么，要求什么？CAB练习自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算练习自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度车厢的最大仰角是的长度车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢与车厢支点支点A之间的间隔之间的间隔 为，为，AB与程度线之间的夹角为与程度线之间的夹角

10、为620，AC长长为，计算为，计算BC的长准确到的长准确到 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 ABC中中AB，AC，夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长。约长。CAB应用二应用二：测量高度问题：测量高度问题：测量高度问题：测量高度问题1 1底部不可以到达底部不可以到达底部不可以到达底部不可以到达2 2底部可以到达底部可以到达底部可以到达底部可以到达应用二应用二：测量高度问题：测量高度问题：测量高度问题：测量高度问题例例5 一辆汽车在一条程度的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条程度的公路上向正东行驶，到

11、A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高，求此山的高度度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要只要测出高所在的直角三角形测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的的另一条直角边或斜边的长。根据条件，可以计算长。根据条件，可以计算出出BC的长。的长。例例5 一辆汽车在一条程度的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条程度的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高，求此山的高度度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15,C=25-15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BCtan DBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。应用应用三：测量角度问题三：测量角度问题三：测量角度问题三：测量角度问题答：此船应该沿北偏东答：此船应该沿北偏东560的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.15 n mile.