常数项级数的敛散性判别法PPT讲稿.ppt

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1、常数项级数的敛散性常数项级数的敛散性判别法判别法第1页，共28页，编辑于2022年，星期六一、一、正项级数及其敛散性判别法正项级数及其敛散性判别法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.第2页，共28页，编辑于2022年，星期六证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较判别法比较判别法第3页，共28页，编辑于2022年，星期六不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较判别法的不便比较判别法的不便:须有参考级数须有参考级数.第4页，共28页，编辑于202

2、2年，星期六解解由图可知由图可知第5页，共28页，编辑于2022年，星期六重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.第6页，共28页，编辑于2022年，星期六证明证明第7页，共28页，编辑于2022年，星期六4.4.比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;第8页，共28页，编辑于2022年，星期六

3、证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.第9页，共28页，编辑于2022年，星期六第10页，共28页，编辑于2022年，星期六解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.第11页，共28页，编辑于2022年，星期六证明证明第12页，共28页，编辑于2022年，星期六收敛收敛发散发散第13页，共28页，编辑于2022年，星期六比值判别法的优点比值判别法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:第14页，共28页，编辑于2022年，星期六第15页，共28页，编辑于2022年，星期六解解第16页，共28页，编辑于2022年，星期六比值判别法失效比值判别法失效,改

4、用比较判别法改用比较判别法第17页，共28页，编辑于2022年，星期六级数收敛级数收敛.第18页，共28页，编辑于2022年，星期六二、交错级数及其敛散性的判别法二、交错级数及其敛散性的判别法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.第19页，共28页，编辑于2022年，星期六证明证明第20页，共28页，编辑于2022年，星期六满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.第21页，共28页，编辑于2022年，星期六解解原级数收敛原级数收敛.第22页，共28页，编辑于2022年，星期六三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出

5、现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明证明第23页，共28页，编辑于2022年，星期六上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数第24页，共28页，编辑于2022年，星期六解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.第25页，共28页，编辑于2022年，星期六小小 结结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;第26页，共28页，编辑于2022年，星期六思考题思考题第27页，共28页，编辑于2022年，星期六思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.第28页，共28页，编辑于2022年，星期六