正弦定理省参赛获奖.pptx

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1、ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?第1页/共41页在RtABC中,各角与其对边的关系:不难得到:CBAabc第2页/共41页在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB第3页/共41页正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即第4页/共41页(1)若直角三角形,已证得结论成立.所以AD=csinB=bsinC,即同理可得DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形,如图1,第5页/共41页由(1)(2)(3)知，结论成立且仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角

2、如图2,此时也有交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2第6页/共41页 （2R为ABC外接圆直径）2R思考求证:第7页/共41页证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,第8页/共41页AcbCBDa向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.第9页/共41页证明：BACDabc而同理ha证法3:第10页/共41页剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：已知两角和一边，求其他角和边.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.第11页/共41页定理的应用例 1 在ABC 中，已知c=10,A=45。,

3、C=30。求 a,b(精确到）.解：且 b=19.32=已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角a=14.14=BACbca第12页/共41页在ABC中，已知 A=75，B=45，c=求a，b.在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a，c.a=,c=练习第13页/共41页例 2 已知a=16，b=，A=30.求角B，C和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理得所以60,或120当 时60C=90C=30当120时B16300ABC16316第14页/共41页变式:a=30,b=26,A=30求角B，

4、C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以25.70,或180025.70=154.30由于0+3001800故B只有一解（如图）0,第15页/共41页变式:a=30,b=26,A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以0,0,a b A B,三角形中大边对大角第16页/共41页已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角求其他边和角1.根据下列条件解三角形(1)b=13，a=26，B=30.B=90，C=60，c=(2)b=40，c=20，C=45.练习注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解无解第17页/共41页课堂小结（1）三角形常用公式：

5、（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：2R第18页/共41页已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?课后思考第19页/共41页第20页/共41页ACababsinA无解ACaba=bsinA一解ACabbsinA a b 两解BB1B2BACba一解a第21页/共41页ABabCABabCABabCab 一解第22页/共41页正弦定理的综合应用第23页/共41页第24页/共41页第25页/共41页CB

6、AP第26页/共41页第27页/共41页ACBD第28页/共41页第29页/共41页第30页/共41页第31页/共41页第32页/共41页第33页/共41页实际问题例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想第34页/共41页实例讲解AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为 29.9m.第35页/共41页ABCDEABCDE第36页/共41页BEDCBEDCA第37页/共41页 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。第38页/共41页本节小结:第39页/共41页第40页/共41页感谢您的观看！第41页/共41页