第三章 概率和概率分布.ppt

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1、第三章概率和概率分布一、概率的概念一、概率的概念二、概率的计算二、概率的计算三、概率的分布三、概率的分布四、大数定律四、大数定律第一节第一节 概率基础知识概率基础知识 表表3.2 3.2 抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录概率的三个性质：（1）任何事件概率均满足 0P(A)1（2）必然事件的概率为1（3）不可能事件的概率为0，即P(V)00P(A)10P(A)1 P(U)=1P(U)=1 P(V)P(V)0 0 二、概率的计算（一）事件的相互关系（一）事件的相互关系和事件和事件积事件积事件互斥事件互斥事件对立事件对立事件独立事件独立事件完全事件系完全事件系 事

2、件事件A和事件和事件B中至少有一个发生而构成的新事件中至少有一个发生而构成的新事件称为事件称为事件A和事件和事件B的和事件，记作的和事件，记作A+B。n个事件的和，可表示为个事件的和，可表示为A1+A2+An。和事件和事件ABAB 事件事件A和事件和事件B中同时发生而构成的新事件称为事件中同时发生而构成的新事件称为事件A和和事件事件B的积事件，记作的积事件，记作AB。n个事件的积，可表示为个事件的积，可表示为A1A2An。积事件积事件ABABA B互斥事件互斥事件 事件事件A和事件和事件B不能同时发生，则称这两个事件不能同时发生，则称这两个事件A和和B互不互不相容或互斥。相容或互斥。n个事件两

3、两互不相容，则称这个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。个事件互斥。事件事件A和事件和事件B必有一个发生，但二者不能同时发必有一个发生，但二者不能同时发生，且生，且A和和B的和事件组成整个样本空间。即的和事件组成整个样本空间。即A+B=U，AB=V。则事件。则事件B为事件为事件A的对立事件。的对立事件。B=A对立事件对立事件互斥事件互斥事件对立对立事件事件 事件事件A和事件和事件B的发生无关，事件的发生无关，事件B的发生与的发生与事件事件A的发生无关，则事件的发生无关，则事件A和事件和事件B为独立事件。为独立事件。独立事件独立事件完全事件系完全事件系 如果多个事件如果多个事件A1、A2、A3

4、、An两两互斥，且两两互斥，且每次试验结果必然发生其一，则称事件每次试验结果必然发生其一，则称事件A1、A2、A3、An为完全事件系。为完全事件系。（二）概率的计算法则（二）概率的计算法则1 互斥事件加法定理互斥事件加法定理若事件若事件A A与与B B互斥互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)推理推理1 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)推理推理2 P(A)=1-P(A)推理推理3 完全事件系的和事件的概率为完全事件系的和事件的概率为1。2 独立事件乘法定理独立事件乘法定理事件事件A和事件和事件B为为独立事件独立事件，则事件，则事件A与事件与事件B同同时发生的概率为

5、各自概率的积。时发生的概率为各自概率的积。P(AB)=P(A)P(B)推理：推理：A1、A2、An彼此独立，则彼此独立，则P(A1A2A3An)=P(A1)P(A2)P(A3)P(An)播种玉米时，每穴播两粒种子，种子的发芽率为播种玉米时，每穴播两粒种子，种子的发芽率为90%，则：，则：A:第一粒种子发芽第一粒种子发芽B:第二粒种子发芽第二粒种子发芽C:两粒种子均发芽两粒种子均发芽D:只有一粒种子发芽只有一粒种子发芽E:两粒种子均不发芽两粒种子均不发芽（一）离散型变量的概率分布（一）离散型变量的概率分布 要了解离散型随机变量要了解离散型随机变量x 的统计规律，必须知道它的统计规律，必须知道它的

6、一切可能值的一切可能值xi及取每种可能值的概率及取每种可能值的概率pi。三、概率分布三、概率分布1.列出离散型随机变量列出离散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值.2.列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率.3.通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示:表3.3 离散型变量的概率分布变量(x)x1 x2 x3 x4 .xn概率(P)p1 p2 p3 p4 .pn 设离散型变量x的一切可能值为xi(i=1,2,3),取相应值的概率为pi，则pi称为离散型随机变量x的概率函数。表3.4某鱼群的年龄组成年龄(x)1 2 3 4 5 6 7频率(W)0.4597 0.3335 0

7、.1254 0.0507 0.0215 0.0080 0.0012例，鱼群年龄的概率分布o例：掷一次骰子所得点数的概率函数例：掷一次骰子所得点数的概率函数概率分布列概率分布列例：掷二次骰子所得点数之和的概率分布例：掷二次骰子所得点数之和的概率分布概率分布图概率分布图（二）连续型变量的概率分布（二）连续型变量的概率分布 整理成频率分布表，整理成频率分布表，n 增加、增加、分组多，组距减少、直方条分组多，组距减少、直方条增加增加阶梯形曲线趋于光滑阶梯形曲线趋于光滑 当当n n无限大时，频率转化为概率，阶梯形曲线也就转化无限大时，频率转化为概率，阶梯形曲线也就转化为一条光滑的连续曲线，这时频率分布就

8、转化为概率分布为一条光滑的连续曲线，这时频率分布就转化为概率分布了，此曲线为了，此曲线为总体总体的概率密度曲线。曲线函数用的概率密度曲线。曲线函数用f(x)f(x)表示。表示。连续型随机变量不能列出每一个值及其相应的概率，在某一区间内可以有无限种可能的值，定义其取某特定值的概率没有意义，只能定义它在某区间内取值的概率。概率密度函数概率密度函数f(x)与与x轴所围成的面积为轴所围成的面积为1。连续型随机变量x在某一区间的概率：值值(值值,频频数数)频频数数f f(x x)a ab bx x概率密度函数概率密度函数f(x)f f(x x)不是概率不是概率概率函数(probability funct

9、ion)随机变量所取的值x的概率写成x的函数（离散型随机变量）概率密度函数(probability density function)随机变量取某一特定值x的概率密度的函数（连续型随机变量）概率分布函数或概率累积函数(probability distribution function)随机变量取值小于或等于某特定值的概率。频率频率W(A)概率概率P(A)n 值大值大统计数统计数参参 数数四、大数定律四、大数定律大数定律大数定律：概率论中用来阐述大量随机现象平均结果稳定性的 一系列定律的总称。设m是n次独立试验中事件A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现的概率，则对于任意小的正数1 1、贝努

10、、贝努利利大数定律（大数定律（Bernoulli theoremBernoulli theorem）Jocob Bernoulli（1654-1705年）:瑞士数学家 当实验次数足够多时，某一事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小 设x1,x2,x3,xn是来自同一总体的变量，对于任意小的正数。2 2、辛钦大数定律（、辛钦大数定律（Khinchine theoremKhinchine theorem）KhinchineKhinchine(18941959)苏联数学家 只要从总体中抽取 的随机变量相当多，就可以用样本的统计数来估计总体的参数。参数参数统计数统计数样本容量越大，样本统计数与总体

11、参数之差越小。随机变量的分布可用分布函数来表述概率 离散型变量(discrete random variable)连续型变量(continuous random variable)二项分布二项分布泊松分布泊松分布正态分布正态分布变量第二节第二节 几种常见的理论分布几种常见的理论分布动物种子穗子生物个体雄性雌性 发芽不发芽有芒无芒成活死亡对立事件一、二项分布一、二项分布贝努利分布贝努利分布二项总体二项分布“非此即彼”事件所构成的总体概率分布二项总体特点1、试验只有两个对立结果，概率分别为试验只有两个对立结果，概率分别为p与与q（q=1-p）2、重复性重复性3 3、独立性、独立性（一）二项分布的概

12、率函数（一）二项分布的概率函数试验的条件不变，即在每次试验中试验的条件不变，即在每次试验中事件事件A A出现的概率皆为出现的概率皆为p p。任何一次试验中，事件任何一次试验中，事件A A的出现与的出现与其余各次试验中出现的结果无关。其余各次试验中出现的结果无关。从雌雄各半的100只动物中，做一抽样试验。第一次从这100只动物中随机抽取1只，记下性别后放回，再做第二次抽样。不论第一次抽样结果，第二次抽样中，得到雌性或雄性的概率仍是50100。这两次试验是独立独立的第一次抽样后不放回，再做第二次抽样。第一次抽样后不放回，再做第二次抽样。这两次试验是非独立的雄性动物抽到雄性的概率是4999抽到雌性的

13、概率是5099雌性动物抽到雄性的概率是5099抽到雌性的概率是4999放回式抽样非放回式抽样二项分布超几何分布x表示在n次试验中事件A出现的次数，其概率分布函数为：P(x)为随机变量x的二项分布，记作 B(n,p)p(x)=1o二项分布的概率函数【例例】已知一批产品的次品率为已知一批产品的次品率为4%4%，从中任意有放回地，从中任意有放回地 抽取抽取5 5个。求个。求5 5个产品中：个产品中：(1)(1)没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？(2)(2)恰好有恰好有1 1个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？(3)(3)有有3 3个以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？(1)(

14、1)当当p p值较小且值较小且n n不大时，分布是偏不大时，分布是偏倚的。随倚的。随n n的增大，分布趋于对称的增大，分布趋于对称；（2 2）对于固定的）对于固定的n n和和p p，当，当x x增加时，增加时，P(x)P(x)先随之增加并达到极大值，以先随之增加并达到极大值，以后又下降。后又下降。（3 3）当）当p p值趋于值趋于0.50.5时，分布趋于时，分布趋于对称。对称。二项分布的形状二项分布的形状二项分布二项分布B(n,p)的参数的参数二项成数分布：pp 应用二项分布时，当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，这时二项分布就变成泊松分布，为二项分布的一种特殊类型。例：例：一匹布

15、上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数 抽检大量产品中出现次品的件数田间小区内出现变异植株的计数二、泊松分布二、泊松分布(Poisson distribution)(Simeon-Denis Poisson,1781-1840)法国数学家 n 很大，很大，p值很小。值很小。用来描述和分析随机地发生在单位空间或时间里的稀有事件稀有事件的概率分布。为参数，为参数，np e=2.71828 泊松分布概率函数泊松分布概率函数P()的形状由确定 较小时，泊松分布偏倚。增大时，泊松分布趋于对称。无限增大时，泊松分布接近正态分布。泊松分布形状泊松分布形状对于小概率事件，可用泊松分布描述其概对于小概

16、率事件，可用泊松分布描述其概率分布。率分布。二项分布当二项分布当p0.1和和np5时，可用泊松分布时，可用泊松分布来近似。来近似。21泊松分布应用泊松分布应用【例例例例】假假假假定定定定某某某某航航航航空空空空公公公公司司司司预预预预订订订订票票票票处处处处平平平平均均均均每每每每小小小小时时时时接接接接到到到到42424242次次次次订订订订票票票票电话，那么电话，那么电话，那么电话，那么10101010分钟内恰好接到分钟内恰好接到分钟内恰好接到分钟内恰好接到6 6 6 6次电话的概率是多少？次电话的概率是多少？次电话的概率是多少？次电话的概率是多少？解解解解：设设X X为为1010分钟内航

17、空公司预订票处接到的电话次数分钟内航空公司预订票处接到的电话次数 围绕在平均值左右，由平均值到分布的两侧，围绕在平均值左右，由平均值到分布的两侧，变量数减少，即变量数减少，即两头少，中间多，两侧对称。两头少，中间多，两侧对称。特点特点Gauss,1777-1855 三、正态分布（三、正态分布（normal distribution）N非常大非常大p与与q接近接近大大二项分布二项分布泊松分布泊松分布正态分布正态分布p0.1，（np）5（一）正态分布的概率函数总体平均数总体平均数总体标准差总体标准差圆周率，圆周率，3.14159e为自然对数底，为自然对数底，2.71828记为：记为：N(,2)x=

18、时，时，f(x)值最大，正态分布曲线是以平均数值最大，正态分布曲线是以平均数处为峰值处为峰值的曲线。的曲线。x-的绝对值相等时，的绝对值相等时，f(x)值也相等，正态分布以值也相等，正态分布以为中心为中心向左右两侧对称。向左右两侧对称。f(x)是非负函数，以是非负函数，以x轴为渐近线，轴为渐近线，x的取值区间为的取值区间为(-,+)。12（二）正态分布的特征3正态分布曲线由参数正态分布曲线由参数，决定，决定，确定正态分布曲线在确定正态分布曲线在x轴轴上的中心位置，上的中心位置，减小，曲线左移，减小，曲线左移，增大，曲线右移；增大，曲线右移；确定正态分布的展开程度确定正态分布的展开程度,大，曲线

19、展开度越大，数据分大，曲线展开度越大，数据分散。散。小，曲线展开度小，数据集中。小，曲线展开度小，数据集中。4 的影响的影响 的影响的影响 决定曲线在决定曲线在x 轴上的位置轴上的位置 决定曲线的形状决定曲线的形状正态分布曲线在正态分布曲线在x=x=处各有一个拐点，曲线处各有一个拐点，曲线通过拐点时改变弯曲度。通过拐点时改变弯曲度。5曲线与曲线与x x轴围成的全部面积为轴围成的全部面积为1 16a ab bx xf f(x x)若一个连续型随机变量若一个连续型随机变量x取值于区间取值于区间(a,b)，其概率为，其概率为:（三）标准正态分布 正态分布是依赖于参数正态分布是依赖于参数(,(,2 2

20、)的一个曲线系，正态曲的一个曲线系，正态曲线的位置及形态随线的位置及形态随(,(,2 2)的不同而不同，需将其标准化。的不同而不同，需将其标准化。标准正态分布：标准正态分布：随机变量具有均值随机变量具有均值为为0，方差，方差 为为1的的 正态分布正态分布(u分布），分布），记作记作N(0,1)。2标准正态分布方程：标准正态分布方程：u u表示标准正态离差，它表示离开平均数表示标准正态离差，它表示离开平均数有几个有几个标准差标准差。任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布：换转化为标准正态分布：令令 正态分布标准化实质上做出了座标轴

21、的平移和尺度转正态分布标准化实质上做出了座标轴的平移和尺度转换，使正态分布具有平均数为换，使正态分布具有平均数为0，标准差为，标准差为1。标准正态分布标准正态分布u落在区间落在区间(a,b)的概率的概率:a b 标准正态分布的概率累积函数标准正态分布的概率累积函数记作F(u)：它是变量u小于某一定值ui的概率，这需要计算从-到到ui的定积分：原始数值原始数值原始数值原始数值70 80 90 100 110 120 13070 80 90 100 110 120 130 (均值均值均值均值)x xf f(x x)标标标标准化准化准化准化 -3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1

22、2 3 概率概率概率概率值值值值独立于独立于独立于独立于实际实际实际实际的均的均的均的均值值值值和和和和标标标标准差，只与原准差，只与原准差，只与原准差，只与原始数始数始数始数值值值值相相相相对对对对于均于均于均于均值值值值的位置的位置的位置的位置有关有关有关有关（四）正态分布的概率计算NN（0 0，1 1）NN（100100，100100）1、标准正态分布表的使用、标准正态分布表的使用 对于标准正态分布，即N(0,1)，有nP(ub)F u=b F b nP(ua)1-F u=a=1-F a nP(a ub)F b FanP(|u|a)2F-a nP(|u|a)2F a 1nP(0ua)F(

23、a)-0.5 计算：已知已知u uN(0N(0，1)1)，试求：，试求：P(0u1);P(u1.1)；P(u0.9)；P(X2.5）2）查附表11）先标准化将正态分布的随机变量x取值区间的上下限按照转换成u值取值区间单位上下限2、计算一般正态分布的概率 例：假定x是一随机变数具有正态分布，平均数=30，标准差=5，试计算小于26，小于40的概率，介于26和40区间的概率以及大于40的概率。o1：P(x 26)=F(26)先将x转换成u值 u=(x-)/=(26-30)/5=0.8查附表2，当u=0.8时 F(26)=0.2119o2：P(x 40)=F(40)u=(x-)/=(40-30)/5

24、=2.0 查附表2，当u=2.0时 F(40)=0.9773o3：P(2640)=1-P(x 40)=1-0.973=0.0227【例例】假假定定某某公公司司职职员员每每周周的的加加班班津津贴贴服服从从均均值值为为5050元元、标标准准差差为为1010元元的的正正态态分分布布，那那么么全全公公司司中中有有多多少少比比例例的的职职员员每每周周的的加加班班津津贴贴会会超超过过7070元，又有多少比例的职员每周的加班津贴在元，又有多少比例的职员每周的加班津贴在4040元到元到6060元之间呢？元之间呢？解：解：解：解：设设=50=50，=10=10，X XN N(50,10(50,102 2)正态曲

25、线下面积分布规律o1.65:占全部曲线下面积的90%o1.96:占全部曲线下面积的95.00%o2.58:占全部曲线下面积的99.00%-3 -2 -+2 +3x68.3%95.5%99.7%P(-x+)P(-2x+2)P(-3x+3)=P(-1u1)=0.6826=P(-2u2)=0.9545=P(-3u3)=0.9973=P(-1.96u1.96)=0.95=P(-2.58u2.58)=0.99P(-1.96x+1.96)P(-2.581)，(df2）t分布密度曲线特点是：分布密度曲线特点是：概率密度函数（）（）t分布曲线左右对称，围绕平均数分布曲线左右对称，围绕平均数t =0 向两侧递降

26、。向两侧递降。（2）t分布受自由度分布受自由度df=n-1制约，每个制约，每个df都有一条都有一条t分布曲线。分布曲线。（3）和正态分布相比，）和正态分布相比，t分布的顶端偏低，尾部偏高，自由分布的顶端偏低，尾部偏高，自由 度度df 30时，其曲线接近正态分布曲线，时，其曲线接近正态分布曲线，df时则和时则和 正态分布曲线重合。正态分布曲线重合。t分布曲线与横轴所围成的面积为分布曲线与横轴所围成的面积为1。t分布双侧分位数表：附表3例如，当例如，当dfdf=15=15时，两尾概率时，两尾概率a=0.05=0.05，t t=2.131=2.131，其意义是：，其意义是：P P(-(-tt-2.1

27、31)+-2.131)+(2.131(2.131tt+)=0.05+)=0.05。即：P P(-(-tt-2.131)=-2.131)=P P(2.131(2.131tt30时，卡方分布已接近正态分布。123o 2 分布分布上侧上侧分位数表：分位数表：附表附表42 2分布是不对称的分布是不对称的表中表头的概率表中表头的概率是是2 2大于表内所列大于表内所列2 2值的概率。值的概率。df=2P P（2 2 5.995.99）0.050.05P P（2 2 9.219.21）0.010.01P P（2 2 0.100.10）0.950.95六、F 分布 设从一正态总体设从一正态总体N(,N(,2

28、2)中随机抽取样本容量为中随机抽取样本容量为n1，n2两个独立样本，其样本方差分别为两个独立样本，其样本方差分别为s12和和 s22，则定义其比，则定义其比值为值为F：df1=n1-1；df2=n2-1。样本方差比的分布分布的概率累积函数分布的概率累积函数分布的概率密度函数分布的概率密度函数分布的平均数F=1，的取值区间为0,+）分布是随自由度df1和df2进行变化的一组曲线。分布曲线的形状仅决定于df1和df2。在df11或2时，分布曲线呈严重倾斜的反向型，当df1 3时，转为左偏曲线。12特征：特征：对于给定的对于给定的(01)，(n，)为分布的上为分布的上分位点（或临界值点）。分位点（或

29、临界值点）。oF分布的分布的上侧上侧分位数表：分位数表：附表附表5P P（3.483.48）0.050.05P P（5.995.99）0.010.01概率的基础知识概率的基础知识常见的理论分布常见的理论分布统计数的分布统计数的分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布正态分布正态分布概率的概念概率的概念概率的计算概率的计算概率的分布概率的分布大数定律大数定律离散型变量离散型变量连续型变量连续型变量抽样与无偏估计抽样与无偏估计1、在随机变量服从的正态分布中，当=，=时，则为标准正态分布。2、人口调查中，以人口性别所组成的总体是_分布。3、在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不发生，称这两个事件为(

30、)A、独立事件 B、相容事件 C、互斥事件4、任何事件（包括必然事件、不可能事件、随机事件）的概率都在（）。A、与之间 B、0与之间 C、与0之间 D、与之间。练习5、正态分布的密度曲线向左、向右无限延伸，以（）。A、y轴为渐近线 B、y=a轴为渐近线 C、x=b轴为渐近线 D、x轴为渐近线6、一组数据有9个样本，其中某样本的标准差是0.96，则样本平均数的标准误是（）。A、0.11 B、8.64 C、2.88D、0.327、在一组数据中，如果一个变数10的离均差是2，那么该组数据的平均数是()。A、12B、10 C、8D、28、假定我国和美国居民的年龄方差相同。现在各自用重复抽样方法抽取本国

31、人口的1%计算平均年龄，则平均年龄的标准误（）。A、两者相等 B、前者比后者大 C、前者比后者小 D、不能确定作业P3.5-3.8；3.11观察值的标准差与平均数的标准误观察值的标准差与平均数的标准误标准差：标准差：n对观察值离散程度的度量；观察值与平均数的接近程对观察值离散程度的度量；观察值与平均数的接近程度。度。n可理解为每个观察值与平均数的离差的平均。可理解为每个观察值与平均数的离差的平均。n用于确定总体中大部分观察值所在的范围。用于确定总体中大部分观察值所在的范围。标准误标准误n反映样本平均数抽样分布的离散程度，估计抽样误差反映样本平均数抽样分布的离散程度，估计抽样误差表示样本平均数估

32、计总体平均数时的精确程度；该样表示样本平均数估计总体平均数时的精确程度；该样本平均数与总体平均数的接近程度。本平均数与总体平均数的接近程度。n用于确定估计总体平均数的置信区间。用于确定估计总体平均数的置信区间。n=1fyfn=2yfn=4yfn=8y不同样本容量的平均数的抽样分布形状中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)在相同的自由度在相同的自由度dfdf时，时，t t值越大，概率值越大，概率P P越小。越小。dfdf增大，增大，t t分布接近正态分布，即分布接近正态分布，即t t值接近值接近u u值。值。在相同的在相同的P P值下，随值下，随dfdf的增加，临界的增加，临界t t值减小。值减小。例1，标准正态分布的两尾概率为0.28，求分位数u值。例2.设标准正态分布的右尾概率为0.1587，求u值。解：双尾概率=0.15872=0.3174，查表2：当a=0.31时，u=1.015222当a=0.32时，u=0.9944580.310.31740.32U=0.999 8581此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!