直角坐标系下平面图形面积和旋转体体积.pptx

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1、直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、由x=a，x=b,y=0 及 y=f(x)所围成的平面图形的面积为2、由x=a，x=b,y=f(x)及 y=g(x)所围平面图形的面积为3、由y=c，y=d,x=0 及 x=(y)所围平面图形的面积为第1页/共38页 平面图形的面积例题选举例1 计算由 及 所围成的图形的面积。例2 计算由曲线 和 所围成的图形的面积。例3 计算由 和 所围成的图形的面积。例4 求椭圆 的面积。解第2页/共38页练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴轴（3）第3页/共38页练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）第4页/

2、共38页一般地：如右图中的阴影部分的面积为 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或 第5页/共38页12法一：以 y 作积分变量 法二：以 x 作积分变量 （7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。第6页/共38页例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线星形线解由图形的对称性可得偶次方化倍角 即第7页/共38页如果平面曲线由极坐标给出，如右图：如果平面曲线由极坐标给出，如右图：由由所围成的图形称为曲边扇形。所围成的图形称为曲边扇形。其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：由定积分的元素法，得曲

3、边扇形面积的定积分表达式为由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为 极坐标系下的平面图形的面积（演示）（扇形面积近似替换）第8页/共38页例6 求双纽线 所围平面图形的面积。例7 求心形线 所围平面图形的面积。极坐标系下的平面图形的面积计算例题解 解 第9页/共38页例 9 求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。解例8 求由曲线 所围成的图形面积。解第10页/共38页旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）旋转一周所得的立体（旋转一周所得的立体（演示）。）。可选取适当坐标系，使旋转轴为可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴或轴。轴。最基本的情形是曲边梯形绕最基本的情形是曲

4、边梯形绕轴或轴或轴旋转的情形。轴旋转的情形。旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。第11页/共38页aby=f(x)dcx=g(y)旋转体的体积计算公式1、旋转轴为 x 轴（演示）由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（a0)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（c0)所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为 y 轴（演示）第12页/共38页oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式例 1 连接坐标原点 O 及点 P(h,r)的直线，直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成

5、一个底半径为 r，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。xx+dx解 如图所示 任取 ，形成区间 体积元素为 直线OP的方程为 所求体积为 第13页/共38页旋转体的体积例题选举例2 求星形线 绕 轴旋转构成旋转体的体积。第14页/共38页返回例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。解 如图所示V2V1第15页/共38页练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周 绕x轴旋转一周 第16页/共38页练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周 第17页/共38页1y=x31y轴轴轴轴练习：写出下列旋转

6、体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 绕y轴旋转一周 1y=x3y第18页/共38页21练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 第19页/共38页例4 求由曲线 及 所围成的图形绕直线 旋转一周而构成的旋转体的体积。yo-223x4第20页/共38页再见！再见！2 2第21页/共38页问题的提出返回第22页/共38页定积分元素法分析返回第23页/共38页定积分元素法返回第24页/共38页平面图形的面积（直角坐标）返回第25页/共38页求面积例题 1返回第26页/共38页面积例题 2返回第27页/共38页求面积例题 3返回第28页/共38页例 4 求椭圆面积返回第29页/共38页平面图形的面积（极坐标）返回第30页/共38页旋转体概念返回第31页/共38页旋转体实例圆锥返回第32页/共38页旋转体实例圆柱返回第33页/共38页旋转体体积推导返回第34页/共38页体积例题 3返回第35页/共38页体积例题 2返回第36页/共38页体积例题 5返回第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页