第六节多元函数的极值与最值精选PPT.ppt

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1、第六节多元函数的极值与最值1第1页，此课件共34页哦(1)(2)(3)例例1 1例例例例第2页，此课件共34页哦播放第3页，此课件共34页哦极值的求法极值的求法（称（称驻点驻点）驻点驻点极值点极值点注意注意：定理定理1 1（必要条件）（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？第4页，此课件共34页哦定理定理2 2（充分条件）（充分条件）负定负定正定正定第5页，此课件共34页哦例例4 4解解无无极极值值极极小小值值-5极极大大值值31无无极极值值第6页，此课件共34页哦二元函数的最值二元函数的最值 若根据若根据实际问题实际问题,目目标标函数有最大函数有最

2、大值值(或最小或最小值值),),而而在定在定义义区域区域内部内部有有惟一惟一的极大的极大(小小)值值点点,则则可以断定可以断定该该极大极大(小小)值值点即点即为为最大最大(小小)值值点点.设设生生产产某种商品需原料某种商品需原料A和和B，设设A的的单单价价为为2 2，数量，数量为为x；而而B 的的单单价价为为1 1，数量，数量为为y，而而产产量量为为 例例5 5解解且商品售价且商品售价为为5,5,求最大利求最大利润润.利利润润函数函数为为 第7页，此课件共34页哦令令解得解得惟一惟一驻驻点点 惟一惟一驻驻点点为极为极大大值值点点，即为即为最大最大值值点点，最大利润最大利润为为 第8页，此课件共

3、34页哦例例6 6解解第9页，此课件共34页哦令令第10页，此课件共34页哦 用用铁铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长长方形水箱方形水箱,要求容要求容积为积为V,问问怎么做用料最省？怎么做用料最省？二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法 实际问题实际问题中中,目目标标函数的自函数的自变变量除了受到定量除了受到定义义域的限制外域的限制外,往往往往还还受到一些附加条件的受到一些附加条件的约约束束,这类这类极极值问题值问题称称条件极值条件极值问题问题.例例7 7解解 即表面即表面积积最小最小.代入目代入目标标函数函数,化化为为无条件极无条件极值问题值问题：xyz第11页，此课件共34

4、页哦内部唯一内部唯一驻驻点点,且由且由实际问题实际问题S有最大有最大值值,故做成立方体表面故做成立方体表面积积最小最小.这这种做法的缺点：种做法的缺点：1.1.变变量之量之间间的平等关系和的平等关系和对对称性被破坏；称性被破坏；2.2.有有时时解出解出隐隐函数困函数困难难甚至不可能甚至不可能.第12页，此课件共34页哦拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数令令若这样的点惟一若这样的点惟一,由实际问题由实际问题,可直接确定此即所求的点。可直接确定此即所求的点。第13页，此课件共34页哦则则构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数为为 令令第14页，此课件共34页哦 用用铁铁皮做一个

5、有盖的皮做一个有盖的长长方形水箱方形水箱,要求容要求容积为积为V,问问怎么怎么做用料最省？做用料最省？例例7 7解解由由实际问题实际问题,即即为为最小最小值值点点.xyz第15页，此课件共34页哦三、多元函数最大值、最小值及其应用三、多元函数最大值、最小值及其应用 在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区域在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区域D内内的最大值和最小值的最大值和最小值.根据实际情况，我们往往可以判根据实际情况，我们往往可以判断最大值或最小值在区域断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在的内部达到，若函数在D内内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值仅有一个驻

6、点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点点.第16页，此课件共34页哦例例8 8解解解得唯一解得唯一驻驻点点 即即做成做成正三角形正三角形时时面面积积最大最大.第17页，此课件共34页哦三角形中三角形中,以正三角形面以正三角形面积为积为最大最大:四四边边形中形中,以正方形面以正方形面积为积为最大：最大：第18页，此课件共34页哦解解例例9 9先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点，解方程组解方程组 第19页，此课件共34页哦为最小值为最小值.第20页，此课件共34页哦例例1010解解第21页，此课件共34页哦由由由由实际问题实际问题，此即最佳分配方案，此即最佳分配方案.第22页，此课件共34页哦解法解法1例例1111因驻点惟一因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，第23页，此课件共34页哦例例1111因驻点惟一因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，解法解法2第24页，此课件共34页哦练习：练习：P324 习题七习题七第25页，此课件共34页哦