结构动力学课件PPT.ppt

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1、结构动力学课件PPT输入输入input输出输出Output结构体系结构体系静力响应静力响应静荷载静荷载位移位移内力内力应力应力刚度、约束刚度、约束杆件尺寸杆件尺寸截面特性截面特性大小大小方向方向作用点作用点结构体系结构体系动力响应动力响应输入输入input输出输出Output动荷载动荷载动位移动位移加速度加速度速度速度动应力动应力动力系数动力系数随时间变化随时间变化质量、刚度质量、刚度阻尼、约束阻尼、约束频率、振型频率、振型大小大小方向方向作用点作用点时间变化时间变化数值数值时间函数时间函数结构动力体系结构动力体系动荷载的分类：动荷载的分类：概念：概念：动荷载是时间的函数！动荷载是时间的函数！

2、分类：分类：动荷载动荷载确定性荷载确定性荷载非确定性荷载非确定性荷载周周 期期 性性 荷荷 载载非周期性荷载非周期性荷载突加荷载突加荷载冲击荷载冲击荷载确定性荷载确定性荷载：例如：例如：简谐荷载简谐荷载荷载的变化是时间的确定性函数。荷载的变化是时间的确定性函数。非确定性荷载非确定性荷载：例如：例如：风荷载风荷载地震作用地震作用平均风平均风脉动风脉动风荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，又称为随机荷载。又称为随机荷载。结构在确定性荷载作用下的响应分析通结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为常称为结构振动分析。结构振动分析。结构在随机荷载作用下的响应分析，

3、结构在随机荷载作用下的响应分析，被称为结构的被称为结构的随机振动分析随机振动分析。本课程主要学习本课程主要学习确定性荷载作用下确定性荷载作用下的的结结构振动分析构振动分析。与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：1-3 动力问题的基本特性动力问题的基本特性动力问题具有随时间而变化的性质；动力问题具有随时间而变化的性质；数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分！分！引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；引入惯性力后涉

4、及到二阶微分方程的求解；需考虑结构本身的动力特性：需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响特性分布的影响；1-4 1-4 离散化方法离散化方法1.集中质量法集中质量法把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块位置上，成为一系列离散的质点或质量块。适用于大部分质量适用于大部分质量集中在若干离散点集中在若干离散点上的结构。上的结构。例如：房屋结构一例如：房屋结构一般简化为层间剪切般简化为层间剪切模型。模型。例如：例如：适用于质量分布比较均适用于质量分布比较均

5、匀，形状规则且边界条匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。件易于处理的结构。例如：右图简支梁的变例如：右图简支梁的变形可以用三角函数的线形可以用三角函数的线性组合来表示。性组合来表示。2.广义坐标法广义坐标法假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示：规定的位移曲线的和来表示：则组合系数则组合系数Ak(t)称为体系的称为体系的广义坐标广义坐标。定义定义假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为 y(x,t)，可用，可用一系列位移函数一系列位移函数 的线性组合来表示：的线性

6、组合来表示：广义坐标广义坐标位移函数位移函数广义坐标广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。广义坐标广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。以以广义坐标广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。所采用的所采用的广义坐标数广义坐标数代表了所考虑的代表了所考虑的自由度数自由度数。3.有限单元法有限单元法先把结构划分成适当（任意）数量的单元；先把结构划分成适当（任意）数量的单元；对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的

7、节点位移作对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标；为广义坐标；对每个广义坐标取相应的位移函数对每个广义坐标取相应的位移函数（插值函数）；（插值函数）；由此提供了一种有效的、标准由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。表示无限自由度的结构体系。要点：要点：将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数。独立位移未知量的总个数。综合了集中质量法和广义坐

8、标法的某些特点，是最灵活有效的综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。已有不少专用的或通用的程序（如已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分等）供结构分析之用。包括静力、动力析之用。包括静力、动力 和稳定分析。和稳定分析。大型桥梁结构大型桥梁结构的有限元模型的有限元模型1-5 运动方程的建立运动方程的建立在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学在结构动力分

9、析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程运动方程。定义定义运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。时间变化的规律。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。建立体系运动方程的方法建立体系运动方程的方法直接平衡法直接平衡法，又称，又称动静法动静法，将动力学问题转化为任一时刻的，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把静力学问题：根

10、据达朗贝尔原理，把惯性力惯性力作为附加的虚拟作为附加的虚拟力，并考虑力，并考虑阻尼力阻尼力、弹性力弹性力和作用在结构上的和作用在结构上的外荷载外荷载，使体，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。直接写出运动方程。虚功法虚功法:根据虚功原理，即根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。方程。变分法变分法:通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据通过对表示能量关系的泛函

11、的变分建立方程。根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程。以广义坐标表示的运动方程。单自由度单自由度体系模型体系模型质量块质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性用来表示结构的质量和惯性特性自由度只有一个：水平位移自由度只有一个：水平位移y(t)无重弹簧，刚度为无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力提供结构的弹性恢复力无重阻尼器，阻尼系数无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力构的阻尼力随时间变化的荷载随时间变化的荷载F(t)第二章第二章 运动方程的建立运

12、动方程的建立单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）建立计算模型建立计算模型取质点为隔离取质点为隔离体画平衡力系体画平衡力系建立平衡方程建立平衡方程直接平衡法直接平衡法，又称，又称动静法动静法，将动力学问题转化为任，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动按照静力学中建立

13、平衡方程的思路，直接写出运动方程。方程。直接平衡法直接平衡法根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度刚度法法和和柔度法柔度法。平衡方程：平衡方程：根据根据dAlembert原理：原理：等于弹簧刚度与位移的乘积：等于弹簧刚度与位移的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：（2-3）惯性力：惯性力：弹性力：弹性力：阻尼力：阻尼力：刚度法刚度法:取每一运动质量为隔离体，通过分析所受取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方的全部外力，建立质量各自

14、由度的瞬时力平衡方程，得到体系的程，得到体系的运动方程。运动方程。平衡方程：平衡方程：试用刚度法建立图示刚架的运动方程试用刚度法建立图示刚架的运动方程 解解 1）确定自由度数确定自由度数:横梁刚性，柱子无轴向变形。横梁刚性，柱子无轴向变形。2）确定自由度的位移参数。确定自由度的位移参数。3）质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！4）列动平衡方程：列动平衡方程：1个自由度。个自由度。其中各力的大小：其中各力的大小：位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力等效粘滞阻尼力：等效粘滞阻尼力：柱端发生平

15、移柱端发生平移 y 时产生的梁时产生的梁-柱间剪力：柱间剪力：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：惯性力：惯性力：弹性力弹性力Fs=Fs1+Fs2：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：比较：比较：（2-3）；k 为为（等效）刚度系数（等效）刚度系数。令：令：运动方程与运动方程与(2-3)的形式是一样的！的形式是一样的！柔度法柔度法以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调条件建立体系的位移协调条件建立体系的运动运动方程。方程。例例 试用柔度法

16、建立图示简支梁的运动方程试用柔度法建立图示简支梁的运动方程 解解 1）确定自由度数确定自由度数:集中质量，仅竖向位移：集中质量，仅竖向位移：2）确定自由度的位移参数：质量确定自由度的位移参数：质量 m 的位移：的位移：3）体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！1个自由度。个自由度。4）列位移方程：列位移方程：改写成：改写成：D Dp为动荷载为动荷载 q(t)引起的质量沿引起的质量沿y方向的位移：方向的位移：其中：其中：d d为自由度方向加单位力所引起的位移，即为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度柔度：惯性力：惯性力：阻尼力：

17、阻尼力：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：位移方程：位移方程：比较：比较：含义：含义：等效动荷载等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与直接作用在质量自由度上产生的动位移与 实际动荷载产生的位移相等！实际动荷载产生的位移相等！令：令：FE(t)定义为体系的定义为体系的等效动荷载等效动荷载或或等效干扰力等效干扰力。其通用表达式。其通用表达式（2-3）已经知道柔度已经知道柔度d d和刚度和刚度k 之间的关系为之间的关系为：结论结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一 质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：质量、弹

18、簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：比较：比较：刚架：刚架：（2-3）基本质量弹簧体系：基本质量弹簧体系：表达式成为表达式成为：简支梁：简支梁：2-5 广义单自由度体系：刚体集合广义单自由度体系：刚体集合刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性元件中）元件中）分布弹性（弹性变形在整个结构或某些分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）元件上连续形成）只要可假定只有单一形式的位移，使得只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。照单自由度体系进行分析。1）确定自由度数确定自由度

19、数:1个自由度。个自由度。2）体系受力分析。体系受力分析。E2-1E2-1令体系产生虚位移：令体系产生虚位移：所有力在虚位移上产生的总虚功：所有力在虚位移上产生的总虚功：广义质量：广义质量：广义阻尼：广义阻尼：广义刚度：广义刚度：广义荷载：广义荷载：简化形式：简化形式：令：令：，有：，有：虚位移：虚位移：轴向力所做虚功：轴向力所做虚功：考虑轴向力的广义刚度：考虑轴向力的广义刚度：讨论：讨论：轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大，轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大，轴向力越大，广义刚度越小；轴向力越大，广义刚度越小；广义刚度为零时：广义刚度为零时：刚体集合的各部件间有着复杂

20、的关系，但因为约束条刚体集合的各部件间有着复杂的关系，但因为约束条件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是一个真实的单自由度体系。一个真实的单自由度体系。如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多个自由度。个自由度。如果由假定只能产生单一的变形形式如果由假定只能产生单一的变形形式包括有一个包括有一个合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可作为一个单自由度体系来分析。作为一个单自由度体系来分析。分布弹性（弹性变形在整个结构或某分布弹性（弹性变形

21、在整个结构或某些元件上连续形成）；些元件上连续形成）；只要：可假定只有单一形式的位移，只要：可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动。使得结构按照单自由度体系运动。2-6 广义单自由度体系：分布柔性广义单自由度体系：分布柔性假定唯一变形曲线后，成为单自由度假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：体系：广义坐标广义坐标Z(t)，变形曲线，变形曲线y y(x)：虚功原理：杆件产生变形时，外力所做虚功原理：杆件产生变形时，外力所做的虚功等于内力所做的虚功。的虚功等于内力所做的虚功。地面运动引起的等效荷载：地面运动引起的等效荷载：外力：轴力外力：轴力N，惯性力，地面运动引起的等效荷载。，惯

22、性力，地面运动引起的等效荷载。惯性力：惯性力：外力所做的虚功：外力所做的虚功：惯性力：惯性力：地面运动引起的等效荷载：地面运动引起的等效荷载：轴力：轴力：N关系式：关系式：虚功：虚功：内力所做的虚功：内力所做的虚功：关系式：关系式：变形变形变形速度变形速度令：令：令：令：E2-3E2-3假定变形曲线：假定变形曲线：刚度和质量均匀分布。刚度和质量均匀分布。运动方程：运动方程：考虑轴向力时结构的几何刚度：考虑轴向力时结构的几何刚度：综合广义刚度：综合广义刚度：临界屈曲荷载：临界屈曲荷载：2-7 广义体系特性的表达式广义体系特性的表达式任意单自由度体系的运动方程：任意单自由度体系的运动方程：广义质量

23、的标准形式：广义质量的标准形式：广义阻尼的标准形式：广义阻尼的标准形式：广义刚度的标准形式：广义刚度的标准形式：广义刚度的标准形式（考虑几何刚度）：广义刚度的标准形式（考虑几何刚度）：广义荷载的标准形式：广义荷载的标准形式：第三章第三章自由振动反应自由振动反应表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性动力特性，又称又称自振特性自振特性。定义定义结构的结构的振动反应振动反应结构的动力特性结构的动力特性与结构的与结构的质量质量、刚度刚度、阻尼阻尼及其分布有关。及其分布有关。定义定义结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，结构受外部干扰后发

24、生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的这种振动称为结构的自由振动自由振动。如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的振动称为结构的强迫振动强迫振动，又称，又称受迫振动受迫振动。结构的结构的自由振动与受迫振动自由振动与受迫振动固有频率固有频率质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周周期期，单位时间内完成的循环次数称为，单位时间内完成的循环次数称为频率频率。结构在结构在自由振动自由振动时的频率称为结构的时的频率称为结构的自振频率自振频率或或固有频率固有频

25、率。对大部分工程结构，结构的对大部分工程结构，结构的自振频率自振频率的个数与结构的的个数与结构的动力自动力自由度由度数数相等相等。结构的结构的自振频率自振频率与结构的与结构的质量质量和和刚度刚度有关。有关。阻尼阻尼结构在振动过程中的能量耗散作用称为结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼阻尼。结构的结构的自由振动自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统有阻尼系统。阻尼原因复杂阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。等效粘滞阻尼：以阻尼器

26、表示结构阻尼作用：等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：c 为阻尼系数，为阻尼系数，为质量的速度。为质量的速度。3-1 运动方程的解运动方程的解最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系.已经得到单自由度体系的运动方程：已经得到单自由度体系的运动方程：（3-1）这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应。杂结构体系的广义坐标反应。运动方程：运动方程：等效动荷载为零的情况下的振动称为等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动自由振动。定义定义自由振动产生的原因：自由振动

27、产生的原因：初始时刻的干扰！初始时刻的干扰！初始位移；初始速度；初始位移初始位移；初始速度；初始位移+初始速度初始速度结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的这种振动称为结构的自由振动自由振动。去掉外荷载去掉外荷载p(t)=0!上式称为（二阶线性常系数）上式称为（二阶线性常系数）齐次方程；齐次方程；齐次方程的求解：齐次方程的求解：可设齐次方程解的形式为：可设齐次方程解的形式为：（3-3）其特征方程为：其特征方程为：或：或：代入（代入（3-23-2）可得：）可得：（3-4）（3-23-2）称为（二阶线性常系数）称为（二

28、阶线性常系数）齐次方程；齐次方程；式中式中w w2=k/m，w w是体系振动的是体系振动的圆频率圆频率。根据阻尼系数根据阻尼系数c c 值的不同，解出的特征参数值的不同，解出的特征参数s s 值将具有不值将具有不同的特性。同的特性。（3-2）3-2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动If c=0：特征方程：特征方程：自由振动方程：自由振动方程：（3-7）引入引入Euler方程：方程：代入代入(3-2)得：得：（3-9）A和和B是由初始条件决定的常数。是由初始条件决定的常数。得无阻尼得无阻尼自由振动的自由振动的位移反应：位移反应：（3-10）（3-2）设设t=0时：时：代入：代入：代入：代入：单自由度

29、无阻尼体系运动方程的解：单自由度无阻尼体系运动方程的解：（3-11）或写成：或写成：（3-14）位移反应：位移反应：（3-10）三角关系：三角关系：对比对比(3-11)，显然有：，显然有：(3-13)成为：成为：即：即：（3-14）（3-11）（3-14）物理意义：物理意义：（3-11）（3-14）物理意义：物理意义：（3-11）定义对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为振幅。位移称为振幅。运动完成一个完整循环所需时间称为运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期自振周期，由于对应每个由于对应每个角增量角增量 2p p 便发生一个

30、完整循环，自振周期就是便发生一个完整循环，自振周期就是：单位时间内的循环次数称为单位时间内的循环次数称为自振频率自振频率：运动的角速度称为自振运动的角速度称为自振圆频率圆频率：3-3 阻尼自由振动阻尼自由振动对于有阻尼的单自由度体系对于有阻尼的单自由度体系 特征方程：特征方程：自由振动方程：自由振动方程：则：则：随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界临界阻尼、低阻尼阻尼、低阻尼和和超阻尼超阻尼三种体系的运动型式。三种体系的运动型式。本课程只讲本课程只讲临界阻尼临界阻尼和和低阻尼低阻尼两种情况。两种情况。（3-2）1.1.临界阻尼临界阻尼当根

31、式中的值为零时，对应的阻尼值称为当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记，记作作cc。显然，应有显然，应有cc/2m=w w，即：即：特征方程：特征方程：这时，对应的这时，对应的s 值为值为：自由振动方程：自由振动方程：临界阻尼自由振动方程的解为：临界阻尼自由振动方程的解为：（3-19）（3-20）（3-2）由初始条件：由初始条件：得到得到临临界阻尼体系反界阻尼体系反应应的最的最终终形式：形式：临界阻尼位移解：临界阻尼位移解：临临界阻尼体系反界阻尼体系反应应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的，依照指数规律衰减，回复到零点。依照指数规律衰减，回复

32、到零点。临界阻尼临界阻尼的物理意义的物理意义是：是：在自由振动反应在自由振动反应中不出现震荡所需要中不出现震荡所需要的最小阻尼值的最小阻尼值。速度速度 （3-20）2.2.低阻尼低阻尼 特征方程：特征方程：自由振动方程：自由振动方程：如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2mw w，这时，特征这时，特征方程根式中的值为正值，则方程根式中的值为正值，则s 值成为值成为：（3-2）（3-38）超超阻尼体系反阻尼体系反应应不是震荡的，体系的位移反应从开始时不是震荡的，体系的位移反应从开始时的的，依照双曲函数规律衰减，回复到零点。返回速度较依照双曲函数规律衰减，回

33、复到零点。返回速度较临界阻尼时更快临界阻尼时更快。确定体系阻尼比的一种方法确定体系阻尼比的一种方法体系的阻尼比可以通过测试体体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：系运动的衰减规律得到：阻尼体系自由振动动力反应：阻尼体系自由振动动力反应：体系从任一时刻经几个周期后体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：的振幅比为：取对数后：取对数后：（3-35）阻尼很小时：阻尼很小时：体系阻尼的测试体系阻尼的测试：2 2）计算阻尼比：）计算阻尼比：确定结构体系阻尼的其它方法。确定结构体系阻尼的其它方法。1）实测体系经过个周期后的位移幅值比：）实测体系经过个周期后的位移幅值比：3 3）计算阻尼系数：）计算

34、阻尼系数：（3-36）计算图示刚架的阻尼系数计算图示刚架的阻尼系数已知：已知：柱子无重、刚性梁柱子无重、刚性梁；F=90kN使大使大梁产生梁产生5mm的初位移；的初位移；摆动摆动1周后的周后的位移位移4mm；周期为周期为1.4s.解解 确定梁的有效质量确定梁的有效质量:计算阻尼系数：计算阻尼系数：阻尼特性阻尼特性:确定体系的自振频率确定体系的自振频率:六周以后振幅：六周以后振幅：单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动单自由度受迫振动体系的运动方程：单自由度受迫振动体系的运动方程：二阶常系数非齐次微分方程。二阶常系数非齐次微分方程。通解通解由由补解补解和和特特解解组成：组成：补解补解y yc

35、c(t)由体系的自由振动反应确定：由体系的自由振动反应确定：受迫振动：受迫振动：结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动。注意：注意：对于受迫振动体系，补解中的常数的对于受迫振动体系，补解中的常数的A A、B B 应由微应由微分方程的分方程的通解（通解（补解补解+特解特解）而不能仅由补解确定！而不能仅由补解确定！荷载荷载p(t)不同，微分方程的不同，微分方程的特解特解vp p(t)的形式是不同的。的形式是不同的。第四章第四章 谐振荷载反应谐振荷载反应谐振荷载：谐振荷载：简谐荷载作用下结构体系的运动方程：简谐荷载作用下结构体系的运动方程：p0为荷载的幅值，

36、为荷载的幅值，为荷载的圆频率。为荷载的圆频率。4-1 无阻尼体系无阻尼体系谐振荷载作用下谐振荷载作用下的的无阻尼体系运动方程无阻尼体系运动方程：补解补解 齐次方程的解：齐次方程的解：特解特解 由动力荷载引起的特别解。设：由动力荷载引起的特别解。设：代入代入(1)(1)式得：式得：所以特解的振幅：所以特解的振幅：b b ：频率比频率比，表示荷载频率与体系自振频率的比：，表示荷载频率与体系自振频率的比：特解：特解：通解：通解：常数常数A、B 由初始条件确定。假设：由初始条件确定。假设：解得：解得：简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：p p0 0/k k=D

37、Dstst:将荷载将荷载p p0 0 静止地放在体系上所产生的位移静止地放在体系上所产生的位移；:动力放大系数动力放大系数，表示简谐荷载的，表示简谐荷载的动力放大效应动力放大效应；b bSinSinw wt t：按：按体系自振频率振动的反应分量：体系自振频率振动的反应分量：瞬态反应瞬态反应。体系的动力反应由两部分组成：体系的动力反应由两部分组成：按荷载作用频率振动的反应分量：按荷载作用频率振动的反应分量：稳态反应稳态反应；物理意义物理意义b bSinSinw wt t：按：按体系自振频体系自振频率振动的反率振动的反应分量：瞬应分量：瞬态反应。态反应。总反应总反应 ：按：按荷载作用频荷载作用频率

38、振动的反率振动的反应分量：稳应分量：稳态反应；态反应；动力放大系数：动力放大系数：思考：思考：b b=1=1时，体系的动力反应如何？时，体系的动力反应如何？4-2 阻尼体系阻尼体系阻尼体系运动方程：阻尼体系运动方程：补解补解 齐次方程的解：齐次方程的解：特解特解 由动力荷载引起的特别解。设：由动力荷载引起的特别解。设：（4-15）（4-16）由由c=2mxwxw，w w2 2=k/m,上式可写作：上式可写作：（4-14）(4-14)(4-16)对对v vp p(t)求导：求导：运动方程：运动方程：代入运动方程：代入运动方程：变量变量t t为任意值时，等式均恒成立的条件？为任意值时，等式均恒成立

39、的条件？即：即：由此可解出系数：由此可解出系数：(4-19)代入方程的特解：代入方程的特解：方程的通解：方程的通解：（4-20）第一项按自振频率第一项按自振频率w wd 振动，由初始条件确定的自由振动反振动，由初始条件确定的自由振动反应。由于阻尼，这一项很快会衰减为零，即应。由于阻尼，这一项很快会衰减为零，即瞬态反应；第二项按荷载频率第二项按荷载频率 振动，即振动，即稳态反应；有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应；一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，这里主要讨论稳态反应的特性。这

40、里主要讨论稳态反应的特性。谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为：谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为：（4-23）反应振幅：反应振幅：相位差：相位差：这个强迫振动的解由这个强迫振动的解由正弦正弦和和余弦余弦两个三角函数组合而成，它同样两个三角函数组合而成，它同样描述了一个简谐运动，也就是位移随时间呈正弦变化。描述了一个简谐运动，也就是位移随时间呈正弦变化。这个运动也可以用矢量表示：这个运动也可以用矢量表示：物理意义物理意义稳态反应：稳态反应：与外荷载同频率但存在一定与外荷载同频率但存在一定相位差相位差q q；这里的这里的相位差相位差表示表示反应的相位比荷载相位反应的相位比荷载相位所落后

41、的角度所落后的角度。p p0 0/k k=D Dstst:荷载荷载p p0 0 产生的静位移；产生的静位移；反应的振幅与所引起的静位移的比值称为反应的振幅与所引起的静位移的比值称为动力放大系数动力放大系数：（3-32）动力反应：动力反应：动力放大系数是频率和阻尼的函数。动力放大系数是频率和阻尼的函数。x x=0时：时：反应与外荷载同步！反应与外荷载同步！(b b1，180)动力放大系数：动力放大系数：相频特性：相频特性：x x越小，体系反应越大；越小，体系反应越大；D1：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，q q 0。D 0 0：质量振幅很

42、小，惯性力很大，：质量振幅很小，惯性力很大，q q 接近于接近于180度度。D增加很快增加很快：q q 接近于接近于90度度。反应的峰值出现在频率比接近。反应的峰值出现在频率比接近1的的地方。当作用荷载的频率等于体系自振频率时的状态，称体系地方。当作用荷载的频率等于体系自振频率时的状态，称体系发生发生共振共振。远大于远大于w w 时时，b b 1：接近于接近于w w 时时，b b 1：远小于远小于w w 时时，b b 1：4-3 共振反映共振反映发生共振时发生共振时：D 的极值的极值：动力系数与阻尼成反比！动力系数与阻尼成反比！时出现极值：时出现极值：对包括瞬态项和稳态项的一般反应方程进行讨论

43、对包括瞬态项和稳态项的一般反应方程进行讨论：（4-20）共振干扰频率时（共振干扰频率时（b=1b=1）：假设体系由静止开始运动，即假设体系由静止开始运动，即考虑：正弦项影响小；阻尼频率与无阻尼频率几乎相等则考虑：正弦项影响小；阻尼频率与无阻尼频率几乎相等则定义反应比定义反应比：无阻尼时，通过无阻尼时，通过LHospital法则得到：法则得到：共振可能导致结构破坏！共振可能导致结构破坏！在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免接近荷载频率，防止共振发生！接近荷载频率，防止共振发生！在共振区在共振区，外荷载主要由阻尼平衡！外荷载主

44、要由阻尼平衡！共振时共振时，外荷载主要外荷载主要由阻尼平衡！由阻尼平衡！4-4 加速度计和位移计加速度计和位移计故故当当x x=0.7,0b b1，b b2m m接近常量，即接近常量，即r r与基础振幅成正比。与基础振幅成正比。故故x x=0.54-5 隔隔 振振基础作用力：基础作用力：基础最大作用力：基础最大作用力：基础最大作用力：基础最大作用力：n 定义：传导比定义：传导比:n b b与与TR的关系的关系有减振效果！有减振效果！n 地基振动：地基振动：n m相对地基振动相对地基振动n 合成振动：合成振动：进行隔振设计时，用进行隔振设计时，用1-TR表示隔振效率。表示隔振效率。仅当仅当1.4

45、14时，有隔振作用，只是阻尼比越大，隔振时，有隔振作用，只是阻尼比越大，隔振效果越不好，故采用隔振体系应小阻尼比。当阻尼比效果越不好，故采用隔振体系应小阻尼比。当阻尼比为零时：为零时：第五章第五章 对周期性荷载的反应对周期性荷载的反应n周期荷载周期荷载对于任意周期性荷载，可展开成傅里叶级数。对于任意周期性荷载，可展开成傅里叶级数。(5-1)其中：其中：静荷载分量静荷载分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量周期荷载周期荷载简谐荷载是任意简谐荷载是任意周期荷载的一个周期荷载的一个特例，是级数中特例，是级数中的一项。的一项。5-1 荷载的傅立叶级数表达式荷载的傅立叶级数表达式不考虑阻尼时：不考虑阻尼时

46、：对第对第n项项正弦正弦和和余弦余弦分量，体系的运动方程为：分量，体系的运动方程为：静荷载静荷载余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数周期荷载的傅里叶级数：周期荷载的傅里叶级数：其中：其中：体系的总位移可利用体系的总位移可利用叠加原理叠加原理求得：求得：对应的解为：对应的解为：静位移静位移余弦位移余弦位移正弦位移正弦位移可设特解为：可设特解为：对有阻尼体系：对有阻尼体系：（a）代入（代入（a），解得），解得:解为：解为：有阻尼体系：有阻尼体系：考虑阻尼时：考虑阻尼时：对用傅里叶级数表示的周期荷载，体系的运动方程为：对用傅里叶级数表示的周期荷载，体系的运动方程为：对正弦项对正弦项：对余弦项对余弦项：体

47、系的稳态解可用利用体系的稳态解可用利用叠加原理叠加原理求得：求得：（5-4）其中：其中：正弦解正弦解：余弦解余弦解：5-3 傅里叶级数解的指数形式傅里叶级数解的指数形式Euler方程方程:对于任意周期性荷载，可展开成傅里叶级数。对于任意周期性荷载，可展开成傅里叶级数。(5-1)其中：其中：静荷载静荷载余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数p 和和 分别为以角速度分别为以角速度 按逆时针按逆时针和顺时针方向旋转的单位矢量和顺时针方向旋转的单位矢量:n单谐振荷载反应方程的指数形式单谐振荷载反应方程的指数形式n仅考虑方程的稳态解时，解的形式：仅考虑方程的稳态解时，解的形式：n代入方程（代入方程（5-8），

48、解得：），解得：（5-8）（5-9）（5-10）n已知：已知：（5-11）（5-11）n已知：已知：n对于干扰力频率对于干扰力频率n其中：其中：n总反应：总反应：（5-12）（5-13）n比较：比较：第六章第六章 对冲击荷载的反应对冲击荷载的反应正弦波脉冲正弦波脉冲突加荷载突加荷载矩形脉冲矩形脉冲三角形脉冲三角形脉冲持续时间短持续时间短不需考虑阻尼不需考虑阻尼6-1 冲击荷载的一般性质冲击荷载的一般性质n性质：性质：n内容：内容：阶段阶段I：承受谐振荷载，承受谐振荷载，从静止开始运动，包含从静止开始运动，包含瞬态反应和稳态反应。瞬态反应和稳态反应。6-2 正弦波冲击正弦波冲击阶段阶段II：自由

49、振动，与阶段自由振动，与阶段I最终时刻的位移和速度有关。最终时刻的位移和速度有关。结构反应的大小与冲击荷载持续时间有关。如结构反应的大小与冲击荷载持续时间有关。如分两种情况进行讨论。分两种情况进行讨论。结构反应比如下结构反应比如下最大响应，由最大响应，由：仅在仅在 时时，上式才有意义！，上式才有意义！强迫振动阶段强迫振动阶段出现最大值：出现最大值：荷载仅在第一阶段作用：荷载仅在第一阶段作用：最大反应出现在荷载作用期间内的条件：最大反应出现在荷载作用期间内的条件：荷载频率趋近于结构自振频率时，容易导得：荷载频率趋近于结构自振频率时，容易导得：当当b b1时，最大反应出现在第二阶段：时，最大反应出

50、现在第二阶段：幅幅值：值：其初始条件由其初始条件由 代入第一阶段的解确定：代入第一阶段的解确定：动力放大系数：动力放大系数：6-3-1 突加荷载突加荷载突加荷载：突加荷载：特解：特解：全解：全解：初始条件初始条件突加荷载作用下零初始条件的解：突加荷载作用下零初始条件的解：如不考虑阻尼影响，则：如不考虑阻尼影响，则：无阻尼无阻尼有阻尼有阻尼最大动位移：最大动位移：位移动力放大系数：位移动力放大系数：工程中实际阻尼很小，一般认为工程中实际阻尼很小，一般认为突加荷载突加荷载的的位移动力放大位移动力放大系数系数为为2。6-3-2 矩形脉冲矩形脉冲矩形脉冲荷载：矩形脉冲荷载：短时间滞留在结构上的荷载；短