数学基础-拉普拉斯变换.ppt

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1、控制工程理论任永强任永强 Tel：13966750178Email:QQ:342474609合肥工业大学机械与汽车工程学院合肥工业大学机械与汽车工程学院数学基础数学基础-拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯变换及逆变换u 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换u 利用拉普拉斯变换求解微分方程利用拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换的定义拉氏变换的定义:拉氏反变换定义拉氏反变换定义：f(t)=L-1 F(s)条件条件：分段连续分段连续常用函数的拉氏变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换(2)(2)单位阶跃函数单位阶跃函数u(t)f(t)t01(1)(1)单位脉冲函数单位脉冲函

2、数f(t)t0(3)(3)指数函数指数函数-atef(t)t0(4)(4)正弦函数正弦函数 Sint，余弦函数余弦函数Cost欧拉欧拉公式公式 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换单位斜坡函数单位斜坡函数 t单位加速度函数单位加速度函数f(t)t0f(t)t212t拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换性质拉氏变换性质(a)线性叠加原理(b)衰减定理(位移定理)衰减正弦函数衰减余弦函数(c)延时定理 0t拉氏变换性质拉氏变换性质 拉氏变换性质拉氏变换性质(d)微分定理 其中：推导：整理可得：设则 又 所以 若初始条件为零，即若初始条件为零，即则 拉氏变换性质拉氏变

3、换性质(e)积分定理 其中：推导：整理可得：设则 又 所以 若初始条件为零，即若初始条件为零，即则 拉氏变换性质拉氏变换性质(f)初值定理(g)终值定理 拉氏变换性质拉氏变换性质(h)尺度变换定理 拉氏变换性质拉氏变换性质(i)微分性质 例：(i)积分性质 拉氏变换性质拉氏变换性质 即 (j)周期函数的拉氏变换 拉氏变换性质拉氏变换性质(k)卷积定理 0Pn(t)tthn(t)任意激励信号任意激励信号f(tf(t)的零状态响应等于的零状态响应等于该激励信号与系统冲击响应的卷积积分该激励信号与系统冲击响应的卷积积分任意信号任意信号f f(t t)可分解为宽度为的可分解为宽度为的 无穷多个窄脉冲信

4、号的迭加无穷多个窄脉冲信号的迭加 拉氏变换性质拉氏变换性质 拉氏逆变换拉氏逆变换:拉氏逆变换拉氏逆变换零点零点极点极点 例例拉氏逆变换拉氏逆变换1 1、F(sF(s)中有不同的单实极点中有不同的单实极点例例拉氏逆变换拉氏逆变换1 1、F(sF(s)中含有共轭复数极点中含有共轭复数极点(其余为单实极点其余为单实极点)由实虚部分别相等得由实虚部分别相等得 拉氏逆变换拉氏逆变换例例 拉氏逆变换拉氏逆变换3 3、F(s)中含有多实极点中含有多实极点(其余为单实数极点其余为单实数极点)拉氏逆变换拉氏逆变换3 3、F(s)中含有多实极点中含有多实极点(其余为单实数极点其余为单实数极点)例例拉氏逆变换拉氏逆变换利用拉氏变换解微分方程利用拉氏变换解微分方程:设设对等式两边进行拉氏变换并考虑初始条件对等式两边进行拉氏变换并考虑初始条件例例线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s求求解解拉氏反变换微分方程的解利用拉氏变换解微分方程利用拉氏变换解微分方程例例设设对等式两边进行拉氏变换并考虑初始条件对等式两边进行拉氏变换并考虑初始条件利用拉氏变换解微分方程利用拉氏变换解微分方程例例设设对等式两边进行拉氏变换对等式两边进行拉氏变换设初值为设初值为0