特殊分块学习.pptx

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1、2.性质性质 1)七、七、n阶方阵的行列式阶方阵的行列式1.概念概念:n阶阶方阵方阵A=(aij)nn的元素按原有位置构成的元素按原有位置构成的行列式的行列式,称为称为方阵方阵A的行列式的行列式.记作记作2)注注 矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律,但但设设Bnn注注方阵方阵Ann和它的行列式和它的行列式 是完全不同的两个概是完全不同的两个概念念:矩阵矩阵A是是n2个数排列成的一个正方形数表个数排列成的一个正方形数表,而而 则表示矩阵则表示矩阵A所对应的一个数所对应的一个数.3)推广推广:例例14 设设A为三阶矩阵为三阶矩阵,B为四阶矩阵为四阶矩阵,求求 48，54第第1页页/共共17页

2、页2023/4/202小结小结：方阵的乘方与多项式、转置、方阵的乘方与多项式、转置、矩阵定义矩阵定义；矩阵运算矩阵运算：加减、数乘、乘法、加减、数乘、乘法、各运算满足及不满足的运算律各运算满足及不满足的运算律.方阵的行列式方阵的行列式第第2页页/共共17页页2.2 几种特殊的矩阵及其运算几种特殊的矩阵及其运算 1.对角矩阵对角矩阵:方阵方阵,即即:结论结论:A,B同阶对角阵同阶对角阵 AB,kA,AB=BA为对角阵为对角阵2.数量矩阵数量矩阵：对角阵，：对角阵，对角线上元素相同，对角线上元素相同，形如形如 aij=0,ij (i,j=1,2,n)AT=A=aEn第第3页页/共共17页页2023

3、/4/2043.单位矩阵单位矩阵：数量矩阵，：数量矩阵，对角线上元素为对角线上元素为1结论结论:4.上上(下下)三角形三角形矩阵矩阵：方阵：方阵,形如形如结论：数乘三角形矩阵及同阶同结构三角形矩阵之结论：数乘三角形矩阵及同阶同结构三角形矩阵之和、积仍为同结构三角形矩阵和、积仍为同结构三角形矩阵.EmAmn=Amn=AmnEn(aEm)Amn=aAmn=Amn(aEn)aij=0,ij(aij=0,ij)第第4页页/共共17页页2023/4/2055.对称矩阵对称矩阵:aijaji反对称矩阵反对称矩阵:aij=-aji A反对称反对称 结论结论:A、B同阶对称同阶对称(反对称反对称)矩阵矩阵,则

4、则kA、A+B仍为对称仍为对称(反对称反对称)矩阵，但矩阵，但AB未必为对称未必为对称(反对称反对称)矩阵。例矩阵。例:A、B均为均为n阶对称阶对称(反对称反对称)矩阵，则矩阵，则AB对称对称(反对称反对称)ABBA(ABBA)证证“反对称反对称”：由已知，：由已知，必要性必要性()()充分性充分性()()A为对称矩阵为对称矩阵 AT=AAT=Aaii=0AT=A，BT=B(AB)TAB AB(AB)TABBA(AB)TBTATBTAT(B)(A)BA(B)(A)BAAB第第5页页/共共17页页结论结论:任一任一n阶方阵均可表示为一个对称矩阵与一阶方阵均可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和

5、：个反对称矩阵之和：B对称对称;C反对称反对称.对任意矩阵对任意矩阵A,ATA与与AAT均为对称矩阵均为对称矩阵.00考研考研:，n为正整数为正整数,则则 技巧：技巧：(ATnmAmn)T AT(AT)T AT A(AAT)n=A(ATA)(ATA)ATAATa2(a2n)BC第第6页页/共共17页页针对针对:行数行数,列数较高的矩阵列数较高的矩阵(大型矩阵大型矩阵),采用分块法采用分块法.目的目的:大矩阵运算转化为若干大矩阵运算转化为若干特殊的特殊的小矩阵运算小矩阵运算,使使运算更简单运算更简单.例如例如:1.概念概念:例例 子块子块:用纵、横线分用纵、横线分成的若干个小矩阵成的若干个小矩阵

6、分块矩阵：以子分块矩阵：以子块为元素的矩阵块为元素的矩阵2.4 分块矩阵分块矩阵 第第7页页/共共17页页一个矩阵可根据需要把它写成不同的分块矩阵一个矩阵可根据需要把它写成不同的分块矩阵.如如:2.分块矩阵的运算分块矩阵的运算1)加法加法:A、B同型，且以同样方式分块，则同型，且以同样方式分块，则AB对应子块相加减对应子块相加减.2)数乘：数乘：kA数数k乘以各个子块乘以各个子块.3)乘法乘法:A列数列数=B行数行数,A列的分法与列的分法与B行的分法相同行的分法相同,则则AB以子块为元素，矩阵相乘以子块为元素，矩阵相乘.4)转置转置:分块矩阵行列互换分块矩阵行列互换,且且各子块都转置各子块都转

7、置.第第8页页/共共17页页,求求AB 例例1.设设解解ABB11A12B21设设第第9页页/共共17页页例例2 EOA1A2 用分块矩阵乘法求用分块矩阵乘法求A2解解第第10页页/共共17页页2023/4/2011EOA1A2A2A1A1A2第第11页页/共共17页页A的第的第i行行行向量行向量例例3.设设由分块矩阵乘法运算得：由分块矩阵乘法运算得：另一方面另一方面,注注AmsBsnA(B1,B2,Bn)(AB1,AB2,ABn)(A列不分块列不分块,B行不分块行不分块)AEnA(A1 A2 An)第第12页页/共共17页页2023/4/20133.特殊分块矩阵及有关结论特殊分块矩阵及有关结

8、论 1)分块三角形矩阵分块三角形矩阵 及及其中其中Aii(i=1,2,s)是是ri阶方阵阶方阵.结论结论:同结构的分块三角形矩阵的和、积仍是同同结构的分块三角形矩阵的和、积仍是同结构的分块矩阵结构的分块矩阵.第第13页页/共共17页页2023/4/2014Ann中中非零元都集中在主对角线非零元都集中在主对角线附近附近,有时可分为有时可分为对角块矩阵对角块矩阵.2)分块对角矩阵分块对角矩阵(准对角矩阵准对角矩阵)其中其中Ai(i=1,2,s)是是ri阶方阵阶方阵.(是是1)的特例的特例)特别地特别地,D则则注注(由拉普拉斯定理易得由拉普拉斯定理易得)第第14页页/共共17页页预习预习:“2.3逆矩阵逆矩阵”作业作业 P75：2(5)；3;5(1)(2).第第15页页/共共17页页2023/4/2016下课第第16页页/共共17页页2023/4/20第三章 矩阵17感谢观看！感谢观看！第第17页页/共共17页页