第十章 三重积分及其计算精选PPT.ppt

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1、第十章 三重积分及其计算第1页，此课件共25页哦第2页，此课件共25页哦其中其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续，若函数在闭区域上连续，则一定可积则一定可积由定义可知由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景三重积分的物理背景以以 f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量为体密度的空间物体的质量下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。方法。第3页，此课件共25页哦二、在

2、直角坐标系中的计算法二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面如果我们用三族平面 x =常数，常数，y=常数常数,z =常数对空间常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为其体积为故在直角坐标系下的面积元为故在直角坐标系下的面积元为三重积分可写成三重积分可写成和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为先单后重和先重后单具体可分为先单后重和先重后单第4页，此课件共25页哦先单后重先单后重第5页，此课件共25页哦也称为先一后二，切条法（也称为先一后二，切条法（先先z次次y后后x

3、）注意注意用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。次积分。第6页，此课件共25页哦化三次积分的步骤化三次积分的步骤投影，得平面区域投影，得平面区域穿越法定限，穿入点穿越法定限，穿入点下限，穿出点下限，穿出点上限上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法例例1 将将化成三次积分化成三次积分其中其中 为长方体，各边界面平行于坐标面为长方体，各边界面平行于坐标面解解将将 投影到投影到xoy面得面得D，它是一个矩形，它是一个矩形在在D内任意固定一点（内任意固定一点（x,y)作平行于作平行于

4、 z 轴的直线轴的直线交边界曲面于两点，其竖坐标为交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和和 m （l m)第7页，此课件共25页哦oxyzmlabcdD。(x,y)例例2 计算计算其中其中 是三个坐标面与平面是三个坐标面与平面 x+y+z=1 所围成的区域所围成的区域第8页，此课件共25页哦Dxyzo解解画出区域画出区域D第9页，此课件共25页哦解解第10页，此课件共25页哦第11页，此课件共25页哦第12页，此课件共25页哦 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求

5、关于某两个变量的二重积分再求关先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分于另一个变量的定积分若若 f(x,y,z)在在 上连续上连续介于两平行平面介于两平行平面 z=c1 ,z=c2 (c1 c2 )之间之间用任一平行且介于此两平面的平面去截用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域得区域则则先重后单先重后单第13页，此课件共25页哦 易见，若被积函数与易见，若被积函数与 x,y 无关，或二重积分无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，容易计算时，用截面法较为方便，就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积

6、较易计算正方形等，面积较易计算 尤其当尤其当 f(x,y,z)与与 x,y 无关时无关时第14页，此课件共25页哦第15页，此课件共25页哦例例5 计算计算解解故故第16页，此课件共25页哦例例6解一解一解二解二先单后重先单后重将将 投影到投影到 xoy 面得面得D先重后单先重后单第17页，此课件共25页哦（用极坐标，用对称性）（用极坐标，用对称性）此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法下的计算法第18页，此课件共25页哦三、小结三、小结三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素第19页，此课件共25页哦思考题思考题选择题选择题:第20页，此课件共25页哦练练 习习 题题第21页，此课件共25页哦第22页，此课件共25页哦第23页，此课件共25页哦练习题答案练习题答案第24页，此课件共25页哦第25页，此课件共25页哦