第四章的应用精选PPT.ppt

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1、第四章的应用第1页，此课件共26页哦4.1 多项式的运算多项式的生成和表达多项式的生成和表达1、多项式的表达、多项式的表达 在在MATLAB环境下多项式是用向量的形式表达的。环境下多项式是用向量的形式表达的。向量最向量最右边右边的元素表示多项式的的元素表示多项式的0阶，阶，向左数向左数依次表示依次表示多项式的第多项式的第1阶、第阶、第2阶、第阶、第3阶阶。例如多项式例如多项式5x4+3x2+2x+1表示为表示为5 0 3 2 1。第2页，此课件共26页哦 2、多项式的生成、多项式的生成语法：语法：poly(MA)说明：说明：1、若、若MA为方阵，则生成的多项式为方阵，则生成的多项式P为方阵为方

2、阵MA的的特征多项式。特征多项式。2、若、若MA为向量、则向量和多项式满足这样一种关系：为向量、则向量和多项式满足这样一种关系：MAr1 r2 r3 rn 生成的多项式为：生成的多项式为：(x-r1)(x-r2)(x-r3)(x-rn)=a0 xn+a1xn-1+a2xn-2+an即生成的向量为即生成的向量为a0 a1 a2 an3、当然也可以用直接输入的方式生成多项式。、当然也可以用直接输入的方式生成多项式。第3页，此课件共26页哦3.多项式的加减乘除多项式的加减乘除加减法加减法 多项式的加减法与向量的加减法完全相同。多项式的加减法与向量的加减法完全相同。乘除法乘除法A.c=conv(a，b

3、)乘积运算乘积运算B.q r=deconv(b,a)除法运算除法运算 (即有即有b=conv(a,q)+r)1、a、b和和c,q,r均为以均为以向量形式向量形式表示的多项式。表示的多项式。2、q表示除运算的商，表示除运算的商，r表示除运算的余数。表示除运算的余数。第4页，此课件共26页哦 例：求多项式 F(x)=x2+5x和G(x)=2x+1的乘积M(x)。f=1 5 0;g=2 1;m=conv(f,g)m=2 11 5 0即 M(x)=2x3+11x2+5x+0第5页，此课件共26页哦已知：s(x)=5x4+3x3+2x2+x+1,a(x)=x+1求s(x)被a(x)除的结果 s=5 3

4、2 1 1;a=1 1;q,r=deconv(s,a);qq=5 -2 4 -3 rr=0 0 0 0 4即有q(x)=5x3-2x2+4x-3r(x)=4第6页，此课件共26页哦3.多项式求导dp=polyder(p)多项式p(x)的导数dp(x)dp=polyder(p,q)多项式p(x)*q(x)的导数b,a=polyder(p,q)多项式p(x)/q(x)的导数b(x)/a(x)第7页，此课件共26页哦例：求多项式:p(x)=x3+2x2+x+1的一阶和二阶导数。p=1 2 1 1;dp=polyder(p)dp2=polyder(dp)计算结果dp=3 4 1%3x2+4x+1dp2

5、=6 4%6x+4第8页，此课件共26页哦例：求 的一阶导数 b,a=polyder(1 5 1,3 5)b=3 10 22a=9 30 25 polyder(1 5 1,3 5)ans=9 40 28第9页，此课件共26页哦 4.多项式的求根多项式的求根 r roots(p)p 为多项式的向量表示式为多项式的向量表示式r 为多项式的根，为多项式的根，以列向量表示以列向量表示第10页，此课件共26页哦例：求方程x3-3x2-3x+1=0的解。p=1-3-3 1;r=roots(p)r=3.7321 -1.0000 0.2679也即有(x-3.7321)(x-(-1)(x-0.2679)=x3-

6、3x2-3x+1第11页，此课件共26页哦注意：poly和roots功能刚好相反 p=1 2 3 4 5;%x4+2x3+3x2+4x+5 r=roots(p)ans=0.2878+1.4161i 0.2878-1.4161i -1.2878+0.8579i -1.2878-0.8579i poly(r)ans=1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000第12页，此课件共26页哦又如：roots(poly(-1-2-3)ans=-3.0000 -2.0000 -1.0000第13页，此课件共26页哦5.多项式值的计算多项式值的计算y=polyval(p,x);计算自变

7、量为计算自变量为x时，多项式时，多项式p(x)的值。的值。第14页，此课件共26页哦例 计算多项式计算多项式2x当当x=1 2 3 4时的值。时的值。polyval(2 0,1 2 3 4)ans=2 4 6 8第15页，此课件共26页哦6.曲线的拟合曲线的拟合 p=polyfit(x,y,N)；根据输入数据根据输入数据x和和y生成一个生成一个N阶的拟合多阶的拟合多项式项式p(x)。第16页，此课件共26页哦 x=1:10;y=x+rand(1,10)%rand这个函数能产生0，1之间的随机数 y=1.8318 2.5028 3.7095 4.4289 5.3046 6.1897 7.1934

8、 8.6822 9.3028 10.5417 p=polyfit(x,y,7)p=0.0001 -0.0040 0.0520 -0.3204 0.9418 -1.0304 0.6378 1.5504 y2=polyval(p,x)%由多项式获得相应的y2值y2=1.8273 2.5337 3.6224 4.5467 5.2558 6.1106 7.3314 8.5866 9.3358 10.5370 figure;plot(x,y,b,x,y2,r);第17页，此课件共26页哦第18页，此课件共26页哦作业1.已知p(x)=4x3+3x2+2x+5;q(x)=x+1(1)试求q(x)的4次幂(

9、2)求p(x)/q(x)(3)p(x)的一阶、二阶和三阶导数(4)绘制x=(1,10)范围内的p(x)和q(x)的曲线2.已知y=sin(x),x=(0,pi)，试分别用3,5,7阶多项式拟合此曲线，比较原数据与拟合后数据的差异情况，并将绘制相应曲线和误差曲线。第19页，此课件共26页哦作业2程序:x=0:0.1:pi;y=sin(x);p=polyfit(x,y,7);z=polyval(p,x);figure;plot(x,y,b,x,z,r);figure;plot(x,y-z);第20页，此课件共26页哦第21页，此课件共26页哦误差曲线第22页，此课件共26页哦利用利用MATLAB

10、处理牛顿环实验数据处理牛顿环实验数据实验以牛顿环中心圆斑为实验以牛顿环中心圆斑为0 级条纹级条纹,依次测依次测量了第量了第3026 级、级、106 级两组暗环直径级两组暗环直径数据如表数据如表1 根据光的等厚干涉原理根据光的等厚干涉原理,干涉条干涉条纹级次纹级次k、第、第k 级条纹直径级条纹直径Dk、第23页，此课件共26页哦入射光波长入射光波长与透镜表面的几何参量之间满足关系与透镜表面的几何参量之间满足关系:Dk2=4Ak+Bk22 (1)式中式中A、B 为与透镜表面几何参量有关的系数为与透镜表面几何参量有关的系数,(1)对抛物线参量为对抛物线参量为2P 的旋转抛物面有的旋转抛物面有A=P,

11、B=0;(2)对半径为对半径为R 的球面有的球面有A=R,B=-1;(3)对主轴为对主轴为2a、虚轴为、虚轴为2b、双曲线参量为、双曲线参量为2P 的旋转双曲面有的旋转双曲面有A=P,B=P/a第24页，此课件共26页哦在传统的牛顿环测定透镜表面曲率半径实验中在传统的牛顿环测定透镜表面曲率半径实验中,为简化实验数据的处理为简化实验数据的处理,省省略了略了(1)式中的二次项式中的二次项Bk22,即即Dk2=4Rk,变换该式得曲率半径变换该式得曲率半径R=(Dk2-Dk2)/4(k-k)将表将表1 数据及数据及=5893A 代入代入,计算知计算知P=2323.1mm由于省略了二次项由于省略了二次项

12、,这种处理实际上是将透镜表面近似为旋转抛物面对待这种处理实际上是将透镜表面近似为旋转抛物面对待,因此给测量结果因此给测量结果带来了理论误差带来了理论误差为考虑二次项为考虑二次项Bk22 的贡献的贡献,并减小因镜面灰尘及弹性形变引起附加程差带并减小因镜面灰尘及弹性形变引起附加程差带来的误差来的误差,设中心圆斑的条纹级次为设中心圆斑的条纹级次为k0,第第k 级条纹与中心圆斑的级差级条纹与中心圆斑的级差为为x=k-k0,整理整理(1)式得式得:第25页，此课件共26页哦Dk2=(4Ak0+Bk0)+(4A+2Bk02)x+B2x2 （2）令令y=Dk2,a0=4Ak0+Bk0,a1=4A+2Bk02

13、,a2=B2 得得y=a0+a1x+a2x2 因此因此,只要由表只要由表1 实验数据求出该二次多项式的系数实验数据求出该二次多项式的系数a0、a1、a2,代入代入(2)式即可计算式即可计算出透镜表面几何参量出透镜表面几何参量A、B 及及k0MATLAB 有多项式拟合函数有多项式拟合函数a=polyfit(x,y,n),a 是求出的多项式系数向量是求出的多项式系数向量 因此因此,我们只需在我们只需在MATLAB 命令窗口输入下面三条语命令窗口输入下面三条语句句:x=30,29,28,27,26,10,9,8,7,6y=164.746,159.238,153.733,148.230,142.730

14、,55.114,49.662,44.213,38.766,33.322a=polyfit(x,y,2)便可得结果便可得结果:a=010014,514256,017181即即a0=0.7181,a1=5.4256,a2=0.0014代入代入(2)式求得式求得A=2301.6mm,B=4031.4mm,k0=0.13241可见可见,透镜表面曲率半径透镜表面曲率半径P=A=2301.6mm,传统方法处理数据所得结果与之相比存传统方法处理数据所得结果与之相比存在偏差在偏差0.93%;k0 0,说明透镜表面与平板玻璃并没有接触说明透镜表面与平板玻璃并没有接触,这可能是由于尘埃等原因这可能是由于尘埃等原因所致所致;B 0,表明所测透镜表面实为双曲面表明所测透镜表面实为双曲面第26页，此课件共26页哦