等差等比数列的性质.ppt

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1、等差等差、等比数列等比数列的判定与的判定与性质（一）性质（一）题组（一）等差等比数列的判定题组（一）等差等比数列的判定记住，不吃亏！记住，不吃亏！题组（一）等差等比的判定题组（一）等差等比的判定记住，不吃亏！记住，不吃亏！题组（一）等差等比的判定题组（一）等差等比的判定记住，不吃亏！记住，不吃亏！1.命命题题:若若数数列列an的的前前n项项和和Sn=an+b(a1),则则数数列列an是等比数列是等比数列;命命题题:若若数数列列an的的前前n项项和和Sn=an2+bn+c(a0),则则数数列列an是等差数列是等差数列;命命题题：若若数数列列an的的前前n项项和和Sn=na-n,则则数数列列an既

2、是等差数列，又是等比数列既是等差数列，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有上述三个命题中，真命题有()AA.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个训练（一）训练（一）2.判断是非：常数数列判断是非：常数数列an是此数列既成是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件等差数列又成等比数列的必要非充分条件.3.训练（2 2）若）若 a an n，b bn n 是等差数列，证明是等差数列，证明 papan n+qbqbn n 是等差数列。是等差数列。（1 1）若）若 a an n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为d d，证明，证明 a a2 2n n 也是等差数列也是等差数列.（3 3

3、）若）若 a an n 是等差数列，证明：是等差数列，证明：也成等差也成等差数数列，列，（4 4）S Sm m，S S2 2m m，S S3 3m m分别为等差数列分别为等差数列 a an n 的前的前m m项，前项，前2 2m m 项，项，前前3 3m m项的和，项的和，S Sm m，S S2 2m m-S Sm m，S S3 3m m-S-S2 2m m成等差数列成等差数列.片段和性质的证明方法与结论应用片段和性质的证明方法与结论应用（6 6）若若 a an n，b bn n（项项数数相相同同）是是等等比比数数列列，判判断断 a an n（0 0），），a an nb bn n，是否为等比

4、数列是否为等比数列.（5 5）公比不为）公比不为-1-1的等比数列的等比数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，求证：求证：S Sn n，S S2 2n n-S Sn n，S S3 3n n-S S2 2n n仍成等比数列仍成等比数列.片段和性质的证明方法与结论应用片段和性质的证明方法与结论应用综合训练一2.题型二题型二 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明【例【例2 2】（20082008湖北）湖北）已知数列已知数列 a an n 和和 b bn n 满足：满足：a a1 1=,=,a an n+1+1=a an n+n n-4,-4,b bn n=(-1)=(-1)

5、n n(a an n-3-3n n+21),+21),其中其中 为为 实数，实数，n n为正整数为正整数.（1 1）证明：对任意实数）证明：对任意实数 ,数列数列 a an n 不是等比数列不是等比数列;（2 2）证明：当）证明：当 -18 -18时，数列时，数列 b bn n 是等比数列是等比数列.3.证明证明 （1 1）假设存在一个实数）假设存在一个实数 ,使使 a an n 是等比数列是等比数列,则有则有 =a a1 1a a3 3,即即 9=0,9=0,矛盾矛盾.所以所以 a an n 不是等比数列不是等比数列.（2 2）b bn n+1+1=(-1)=(-1)n n+1+1a an

6、n+1+1-3(-3(n n+1)+21+1)+21=(-1)=(-1)n n+1+1(a an n-2-2n n+14)+14)=-(-1)=-(-1)n n(a an n-3-3n n+21)=-+21)=-b bn n.又又 -18 -18，所以，所以b b1 1=-(+18)0.=-(+18)0.由上式知由上式知b bn n0,0,所以所以 (n nN N*).).故当故当 -18 -18时，数列时，数列 b bn n 是以是以-(+18)-(+18)为首项，为首项，为公比的等比数列为公比的等比数列.等差数列等差数列 中中 等比数列等比数列 中中 知识再现知识再现 若若m+n=p+qm

7、+n=p+q 则 若若m+n=p+qm+n=p+q 则任意连续任意连续m项的和构成的数列项的和构成的数列成等差数列成等差数列 任意连续任意连续m项的和构成的数列项的和构成的数列成等比数列成等比数列 等比数列中，等比数列中，（1）Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.（2）当当项项数数为为偶偶数数2n时时，S偶偶=；项数为奇数；项数为奇数2n-1时时,S奇奇=a1+qS偶偶.qS奇奇特别：特别：关于等差数列中：关于等差数列中：若项数为若项数为2 2n n，则，则S S偶偶-S S奇奇=，=.若项数为若项数为2 2n n-1-1，则，则S S偶偶=（n n-1-1）a an n，S S奇奇=a

8、 an n，S S奇奇-S S偶偶=，(4)(4)两个等差数列两个等差数列 a an n、b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n、T Tn n之间之间的关系为：的关系为：=.ndndn na an n特别：特别：1.在等差数列在等差数列an与等比数列与等比数列bn中，下列中，下列结论正确的是结论正确的是()CA.a1+a9=a10,b1b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1b9=b4b6D.a1+a9=2a5,b1b9=2b5综合训练 二 设等差数列的前n项和为 ，前6 6项的和为36，最后6项的和为180180(n6)(n6)

9、，求数列的项数n。解：由题意知，+得：2.3.4.(1)等等差差数数列列的的前前n项项的的和和为为54，前前2n项项的的和为和为60，则前，则前3n项的和为项的和为 ；(2)等等比比数数列列的的前前n项项和和为为54，前前2n项项的的和为和为60，则前，则前3n项的和为项的和为 .1860题型三题型三 等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用5.5.在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5=8=8且且 =2,=2,求求a a3 3.（1 1）由由已已知知条条件件可可得得a a1 1与与公公比比q q的的方方程程组，解出组，

10、解出a a1 1、q q，再利用通项公式即可得，再利用通项公式即可得a a3 3.=（a a1 1q q2 2）2 2=4=4，a a3 3=2.=2.方法二方法二 由已知得由已知得 =4.=4.a a3 3=2.=2.由已知条件得由已知条件得【活页】【活页】等比数列等比数列an的前的前n项和项和Sn=2n-1，则，则问题问题1 1例4:在等比数列an中，已知 求 .解:则则bn是公比为是公比为-2的等比数列。的等比数列。题组（三）题组（三）练习（练习（1）已知已知an是等比数列是等比数列,a2=2,a5=,则则a1a2+a2a3+anan+1等于？等于？1.等差数列 的公差为 ，则 题组（四）题组（四）2.在正项等比数列在正项等比数列an中，公比中，公比q=2，且，且a1a2a3a30=230，求，求a3a6a9a305.已已知知数数列列an、bn分分别别为为等等差差、等等比比数数列列，且且a1=b10，a3=b3，b1b3，则则一一定定有有a2 b2，a5 b5（填（填“”“0，b30，又，又b1b3，a2=|b2|，故，故a2b2；同理，同理，a5=2a3-a1，b5=，所以所以b5-a5=-(2b3-b1)=0,即即b5a5.