第九章_多元函数微分法及其应用.ppt

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1、重点重点:多元函数一般概念多元函数一般概念(定义域定义域,极限极限,连续连续)偏导数及其求法偏导数及其求法(复合函数求导复合函数求导,隐函数求导隐函数求导)全微分及其求法全微分及其求法多元函数极值及其求法多元函数极值及其求法1以点 为中心,以 为半径的圆内部点的全体称为 p0 的 邻域.记 (p0,)=U(p0,)p0,称为 p0 的去心 邻域.如图2p0p0U(p0,)(p0,)32.区域区域例如，例如，即为开集即为开集45连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，6有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，73.聚点聚点*内点一定是聚点；内点

2、一定是聚点；说明：说明：说明：说明：*边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点8*点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合94.n维空间维空间*n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明：*n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 10*n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点

3、、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为11类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数1213例例3 3 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为14 2.二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）15二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.16例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,球面球面.单值分支单值分支:1718就是 0,0.当0|x x0|时,有|f(x)A|0,0,当对应的函数值满足|f(x,y)A|则称 A 为z=f(x,y),当 P 趋近于P0时(二重)极限.

4、记作或定义定义1二元函数的极限20说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似21例例1 1 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立2223例例3 3 求极限求极限 解解其中其中24例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在2526xoy27确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：28利用点函数的形式有利用点函数的形式有29四、多元函数的连续性30定义定

5、义2 231323334353637例例1 1解解38多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结多元函数的定义多元函数的定义39404142偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 43把把 y 看成常量看成常量把把 x 看成常量看成常量 44把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 454647偏导数的几何意义偏导数的几何意义48偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处

6、并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，49有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解5051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123