第十讲无穷级数精选PPT.ppt

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1、第十讲 无穷级数第1页，此课件共50页哦一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积 A.设 a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，此课件共50页哦定义定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，此课件共50页哦当级数收敛时,称差值为级数的余项余项.则称无穷级数

2、发散发散.显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，此课件共50页哦例例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，此课件共50页哦2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，此课件共50页哦例例2.判定下列级数的敛散性（1）（3）（2）第7页，此课件共50页哦例例3.判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数(1)发散;技巧技巧:

3、利用“拆项相消拆项相消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，此课件共50页哦(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，此课件共50页哦二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 第10页，此课件共50页哦第11页，此课件共50页哦说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如例如,(1)性质1表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，此课件共50页哦例例4.利用性质判断下列级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数发散

4、,从而原级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束（1）第13页，此课件共50页哦（2）解解:所以级数(2)发散（3）解解:所以级数(3)发散第14页，此课件共50页哦（1）（2）思考与练习思考与练习判断下列级数的敛散性:（3）（4）第15页，此课件共50页哦若 收敛，判断下列级数的敛散性:第16页，此课件共50页哦三、正项级数及其审敛法三、正项级数及其审敛法若定理定理 1.正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，此课件共50页哦定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1)若“大”级数则“小”级数(2)若“小”级数则“大”级数则有

5、收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数 k 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，此课件共50页哦例例1.讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)若p 级数收敛.第19页，此课件共50页哦证明级数发散.证证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，此课件共50页哦定理定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=设两正项级数满足(1)当 0 l 时,机

6、动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，此课件共50页哦的敛散性.例例3.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知例例4.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，此课件共50页哦思考与练习思考与练习用比较判别法判定下列级数的敛散性(1)(2)(3)第23页，此课件共50页哦定理定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数但级数收敛;级数发散.第24页，此课件共50页哦例例5

7、.讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，此课件共50页哦思考与练习思考与练习用比值判别法判定下列级数的敛散性(1)(2)(3)第26页，此课件共50页哦定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,级数可能收敛也可能发散.例例6.用根值法判定下列级数的敛散性(1)(2)第27页，此课件共50页哦例例7.证明级数收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，此课件

8、共50页哦四四、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页，此课件共50页哦收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页，此课件共50页哦五、绝对收敛与条件收敛五、绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件

9、收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛.第31页，此课件共50页哦例例8.判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)(2)(3)条件收敛.绝对收敛；发散 第32页，此课件共50页哦例例9.证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页，此课件共50页哦(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页，此课件共50页哦内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比

10、较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页，此课件共50页哦3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页，此课件共50页哦思考与练习思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由比较判敛法可知收敛.注意注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页，此课件共50页哦六、六、函数项级数的概念函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数.对若常数项级数敛点敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数为定义在

11、区间 I 上的函数,称收敛,发散,所有为其收收 为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散域发散域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页，此课件共50页哦为级数的和函数和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页，此课件共50页哦例如例如,等比级数它的收敛域是有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第40页，此课件共50页哦七、幂级数七、幂级数第41页，此课件共50页哦第42页，此课件共50页哦第43页，此课件共50页哦第44页，此课件共50页哦第45页，此课件共50页哦第46页，此课件共50页哦第47页，此课件共50页哦八、函数展开成幂级数八、函数展开成幂级数 展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 第48页，此课件共50页哦第49页，此课件共50页哦第50页，此课件共50页哦