第四章 随机变量的数学期望精选PPT.ppt
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1、第四章 随机变量的数学期望第1页,此课件共48页哦4.1 4.1 数学期望数学期望 4.1.1 概念概念例例1 1、盒子中有、盒子中有6 6个球(如图),个球(如图),122333从中任取一球再放回,重复了三次,问三次抽从中任取一球再放回,重复了三次,问三次抽到号码的平均值。到号码的平均值。第2页,此课件共48页哦定义定义4.1:设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布列是的分布列是 ,若级数若级数 收收敛敛,则则称称随随机机变变量量 X 的的数数学学期期望望存存在在,且且称称级级数数 的和为的和为 X 的数学期望,并记为的数学期望,并记为EX,有时也称,有时也称 EX 为为 X 的均值。的
2、均值。第3页,此课件共48页哦对连续型随机变量对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定的数学期望类似的可定义如下:义如下:定义定义4.2:如果连续型随机变量如果连续型随机变量X具有密度函数具有密度函数 f(x),积分,积分 收敛,则称收敛,则称 X 的数学的数学期望存在,否则称期望存在,否则称X的数学期望不存在。若的数学期望不存在。若X 的数学期望存在,称积分值的数学期望存在,称积分值 为为 X 的数学期望,也记为的数学期望,也记为 EX。第4页,此课件共48页哦注注1、若、若 ,仍称,仍称X的的 数学期望不存在。数学期望不存在。2、离散型取有限个值,连续型密度函数只在有限、离散型取有限个值
3、,连续型密度函数只在有限区间上积分,则区间上积分,则X的期望一定存在。的期望一定存在。3、离散型只取非负值,连续型只在、离散型只取非负值,连续型只在x0时时f(x)0,则只需直接计算期望。,则只需直接计算期望。第5页,此课件共48页哦4.1.2 4.1.2 常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望 (1)()(01)分布)分布p1-pP10X第6页,此课件共48页哦(2)二项分布)二项分布B(n,p)第7页,此课件共48页哦(3)泊松分布)泊松分布P()第8页,此课件共48页哦(4)几何分布)几何分布G(p)第9页,此课件共48页哦(5)超几何分布)超几何分布H(N,M,n)第10页,此课
4、件共48页哦(6)均匀分布)均匀分布U(a,b)第11页,此课件共48页哦(7)指数分布)指数分布第12页,此课件共48页哦(8)正态分布)正态分布 N(,2 2)第13页,此课件共48页哦4.1.3 4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 定理定理4.14.1:设设Y是随机变量是随机变量X的函数,即的函数,即 (g 是连续函数),是连续函数),(1 1)若)若X是离散型随机变量,其分布律为是离散型随机变量,其分布律为而级数而级数 绝对收敛,则有绝对收敛,则有第14页,此课件共48页哦(2 2)若)若 X 是连续型随机变量,其密是连续型随机变量,其密度函数为度函数为 ,若积分
5、,若积分 绝对收敛,则有绝对收敛,则有 第15页,此课件共48页哦定理定理4.24.2:设设Z Z是二维随机变量是二维随机变量(X,Y)的的函数,即函数,即Zg(X,Y),),则则(1 1)若)若(X,Y)是二维离散型随机变量,有是二维离散型随机变量,有(2 2)若)若(X,Y)是二维连续型随机变量,有是二维连续型随机变量,有第16页,此课件共48页哦例例1 1:设:设 XB(n,p),),求求EX(X1)。解:因解:因XB(n,p),),则则X的分布律为的分布律为令令 Yg(X)X(X1)第17页,此课件共48页哦例例2 2、已知、已知XN(0,1),求,求E(X4)第18页,此课件共48页
6、哦例例3 3、(X,Y)的联合密度函数为:的联合密度函数为:求:求:EY第19页,此课件共48页哦例例4 4:设随机变量:设随机变量(X,Y)服从二维正态分服从二维正态分 布,其密度为布,其密度为求求 的数学期望的数学期望。解:解:第20页,此课件共48页哦例例5 5:设:设X、Y相互独立同服从标准正态分布相互独立同服从标准正态分布N(0,1),),求求 E(maxX,Y)。解:由题设,解:由题设,(X,Y)的联合密度为的联合密度为第21页,此课件共48页哦(1 1)ECC,(C为常数为常数)(2 2)E(CX)CEX,(C为常数为常数)(3 3)E(X+Y)EXEY E(aX+b)aEXb,
7、E()(4 4)若若X、Y是相互独立的随机变量,则是相互独立的随机变量,则 E(XY)EXEY。4.1.4 4.1.4 数学期望的性质数学期望的性质第22页,此课件共48页哦例例6 6、盒中有、盒中有N个球,其中个球,其中M个黑球,个黑球,N-M个个白球,从中任取白球,从中任取n个球,令个球,令X表示取得黑球的表示取得黑球的个数,求个数,求 EX。第23页,此课件共48页哦4.2 随机变量的方差随机变量的方差 4.2.1 4.2.1 方差的定义方差的定义 对随机变量的特征进行考察,除了数学期对随机变量的特征进行考察,除了数学期望外,还要考察望外,还要考察X的可取值与的可取值与EX的偏离情况,由
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