医药高等数学3-3 函数的单调性与极值081026.ppt

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1、第三节第三节 函数的单调性极值函数的单调性极值第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用1定理定理1一、单调性的判别法一、单调性的判别法函数的单调性函数的单调性2证证 拉氏定理拉氏定理(1)函数的单调性函数的单调性3例例解解 定义域为定义域为函数的单调性函数的单调性4例例解解 定义域为定义域为函数的单调性函数的单调性5(1)导数变号的分界点一定是导数为零点或导数变号的分界点一定是导数为零点或导数不存在点，导数不存在点，反之不一定成立反之不一定成立注注函数的单调性函数的单调性但但x=0不是导数变号分界点不是导数变号分界点3xy=二、单调区间的求法二、单调区间的求法6x符号符号

2、单调情况单调情况0或不存在或不存在符号符号单调情况单调情况说明：说明：函数的单调性函数的单调性(2)单调区间的求法单调区间的求法 列表求单调区间列表求单调区间7例例解解(1)函数定义域函数定义域由上表可知，由上表可知，无导数不存在点无导数不存在点(2)导数导数(4)填表填表函数在函数在内单调增加，内单调增加，函数的单调性函数的单调性8定义定义极大值极大值(或极小值或极小值),函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点.函数的极值与最值函数的极值与最值三、函数的极值及其求法三、函数的极值及其求法1.函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x

3、0(自变量自变量)称为称为9极大值：极大值：极大值点：极大值点：极小值：极小值：极小值点：极小值点：函数的极值与最值函数的极值与最值10定理定理1 1(必要条件必要条件)注注如如,(1)驻点驻点.可导函数，可导函数，2.可能的极值点可能的极值点驻点驻点极值极值,函数的极值与最值函数的极值与最值极值点极值点11极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如,但但(2)不可导不可导.是极小值点是极小值点.函数的极值与最值函数的极值与最值12定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)则则为为极大值极大值则则不是极值不是极值.(极小值极小值);3.极值的充分条件极值的充分条件函数的极值

4、与最值函数的极值与最值13一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数;求驻点与不可导点求驻点与不可导点;列表求相应区间的导数符号列表求相应区间的导数符号,判别单调性判别单调性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)函数的极值与最值函数的极值与最值14例例解解(1)(2)驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.函数的极值与最值函数的极值与最值15非非极极值值极极小小值值不存在不存在极极大大值值驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:单增区间单增区间:单减区间单减区间:函数的极值与最

5、值函数的极值与最值16定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)极大值极大值(极小值极小值).注注定理失效定理失效定理对定理对导数不存在点导数不存在点失效失效函数的极值与最值函数的极值与最值17例例解解因为因为,函数的极值与最值函数的极值与最值18四、四、函数在区间函数在区间a,b上的最值上的最值方法：方法：(1)(2)点所对应的函数值，点所对应的函数值，再将它们与端点值比较再将它们与端点值比较.(3)函数的极值与最值函数的极值与最值19例例解解 因因故故f(x)在在-1,2上的驻点为上的驻点为:无导数不存在的点无导数不存在的点又因为又因为函数的极值与最值函数的极值与最值解得解得:所以，所以，最小值最小值20