研究生结构工程弹塑性力学CH9.pptx

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1、9-1 建立塑性本构关系的基本要素 建立塑性本构关系，需要考虑三个要素：（1）初始屈服条件，根据这个条件可以判断塑性变形是从何时开始的，以及划分塑性区和弹性区的范围，以便分别采用不同的本构关系来分析。（2）与初始及后继加载面相关连的某一流动法则。也就是说要有一个应力和应变（或它们的增量）间的定性关系。这个关系包括方向关系（即两者主轴之间的关系）和分配关系（即两者的比例关系）。实际上是研究它们的偏量之间的关系。（3）确定一种描述材料硬化特性的硬化条件，亦即加载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量间的定量关系。上述的（1）、（3）两点已经在第八章中作了详细的介绍。本章就在讨论第（2）点

2、即流动法则的基础上来建立塑性的本构关系。第1页/共52页9-2 弹性本构关系 1.1.直角坐标形式2.2.应力强度应变强度形式 3.3.应力应变偏张量形式 第2页/共52页1.1.直角坐标形式（9-1）（9-1）第3页/共52页2.2.应力强度应变强度形式（9-1）（9-2）（9-3）（8-12）由式（9-1）可以得出 代入应力强度表达式第4页/共52页第5页/共52页3.3.应力应变偏张量形式（9-4）（9-4）（9-5）（9-5）（9-6）（9-5）式中只有五个方程是独立的，需要补充（9-4）式，才与（9-1）式等价。第6页/共52页增量形式为了与塑性本构关系中增量理论的公式相对比和运用，

3、将（9-5）和（9-4）式写为增量形式：（9-7）（9-8）第7页/共52页9-3 全量理论 全量理论认为应力和应变之间存在着一一对应的关系，因而用应力和应变的终值（全量）、建立其塑性本构方程。如果我们在简单加载的情况下考察材料的应力应变关系，则塑性变形与非线性弹性变形没有什么区别。所以，全量理论在本质上与非线性弹性理论相似，都是Hooke定律的一个自然推广。历史上，全量理论以伊柳辛（AA）的小弹塑性理论应用最为广泛。“小弹塑性”系为离弹性状态不远，进入塑性状态后，其变形也是小的。第8页/共52页9-3 全量理论 1.伊柳辛理论 2.全量理论的基本方程及边值问题 3.简单加载定理 4.卸载定律

4、第9页/共52页 1伊柳辛理论 1943年，伊柳辛提出了一个硬化材料在弹塑性小变形情况下的塑性本构关系，这个理论以下列基本假设为基础：（1）体积变化是弹性的，且与平均应力m成正比。（2）应变偏量与应力偏量成正比（3）应力强度是应变强度的确定函数 第10页/共52页（1 1）体积变化是弹性的（1）体积变化是弹性的，且与平均应力m成正比。总应变为弹性应变与塑性应变之和，即因体积变化始终是弹性的，塑性变形部分的体积变化恒为零，即 第11页/共52页（2）应变偏量与应力偏量成正比即 这里只是在形式上和广义Hooke定律相似，和广义Hooke定律表达式（9-5）不同，这里的比例系数不是一个常数，它和点的

5、位置以及荷载水平有关，即对物体的不同的点，不同的荷载水平，都不相同，但对同一点，同一荷载水平，是常数。所以这是一个非线性关系。第12页/共52页（3）应力强度是应变强度的确定函数即 （e）根据有关实验证实，在简单加载或偏离简单加载不大时，尽管在主应力空间中射线方向不同，可近似地用单向拉伸曲线来表示。这就是单一曲线假设。因此，（e）式的函数关系与应力状态无关，只和材料特性有关，可根据该种材料的单向拉伸试验来确定。第13页/共52页（9-9）（9-10）（9-11）小弹塑性全量理论本构方程小弹塑性全量理论本构方程（9-12）第14页/共52页全量理论与加载历史的关系对于强化材料，全量理论的应力应变

6、之间存在一一对应关系，最终的应变决定于最终的应力，与加载的历史无关。实际情况一般并非如此，达到最终的应力可以通过不同的加载路径（中间可有强化后的卸载），而最终的应变由于不同加载历史的影响，一般并不相同。若为简单加载，应力分量按同一比例增加，则应变状态与加载历史无关，仅由最终应力状态所决定。所以，简单加载情况下，应用全量理论是正确的。第15页/共52页全量理论的适用范围对于强化材料，全量理论的应力应变之间存在一一对应关系，最终的应变决定于最终的应力，与加载的历史无关。实际情况一般并非如此，达到最终的应力可以通过不同的加载路径（中间可有强化后的卸载），而最终的应变由于不同加载历史的影响，一般并不相

7、同。若为简单加载，应力分量按同一比例增加，则应变状态与加载历史无关，仅由最终应力状态所决定。所以，简单加载情况下，应用全量理论是正确的。第16页/共52页2.全量理论的基本方程及边值问题 平衡方程几何方程本构方程 以上基本方程共15个，求解时还要用到边界条件.（9-15）（9-13）（9-14）第17页/共52页全量理论小结对塑性力学的全量理论而言，其边值问题归结为在上述边界条件下求解15个基本方程，以确定15个未知物理量。关于求解方法，和弹性力学相似，也可以采用两种基本解法，即按位移求解和按应力求解。显然，要比弹性力学求解困难得多，因为这里的方程（9-15）是非线性的，解题时会遇到数学上的困

8、难。上述是针对塑性区而言的，对弹性区或卸载区应按弹性力学求解，且在弹、塑性区交界面上还应满足适当的连续条件。第18页/共52页简单加载定理 在比例加载条件下，全量理论是正确的。现在提出了一个问题，物体处在什么条件下，才能保证其内部的每个单元体处于简单加载。伊柳辛于1946年提出了简单加载定理，回答了这个问题.第19页/共52页简单加载定理如果满足下面一组充分条件，物体内部每个单元体都处于简单加载之中。这组条件是（1）小变形；（2）材料不可压缩，即（3）载荷按比例单调增长，如果有位移边界条件，则只能是零位移边界条件；（4）材料的 曲线具有幂函数 的形式，其中A和n为材料常数。利用平衡方程，全量理

9、论的本构关系及边界条件，可以证明定理的正确性。第20页/共52页讨论 尽管全量理论有其局限性，但应用比较方便，许多人在非简单加载时也用了全量理论。由于缺乏理论根据，在应用时还必须用实验加以验证，而大部分的实验验证尚能符合，值得令人深思。看来在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载。这个范围的确定，以及在这个范围内应用全量理论所引起的误差，都尚需作进一步的研究。第21页/共52页4.卸载定律一、单向拉伸应力状态的卸载 二、复杂应力状态的卸载 第22页/共52页9-4 刚塑性材料的增量理论 在塑性变形阶段，由于塑性变形的不可逆性，使塑性区的变形不仅取决于其最终状态的应力，而且与加载路径（即变

10、形路径）有关。为了对变形的发展过程作出分析，描述塑性变形规律的塑性本构关系，应该是它们增量之间的关系。所以，一般而言，对塑性力学问题，只有按增量形式建立起来的理论，才能追踪整个加载路径来求解。这就是增量理论的出发点。如果所研究问题的塑性变形远大于其弹性变形，可以略去弹性变形而将构件视为刚塑性材料。适用于刚塑性材料的增量理论，即是Levy-Mises增量理论。第23页/共52页9-4 刚塑性材料的增量理论1Levy-Mises流动法则 2.Levy-Mises理论采用的假设 3.Levy-Mises理论本构方程及其应用第24页/共52页1Levy-Mises流动法则 历史上对塑性变形规律进行探讨

11、是从1870年由Saint-Ven-ant对平面应变的处理开始的。他从对物理现象的深刻理解提出了应变增量（而不是应变全量）主轴和应力主轴重合的假设。接着1871年M.Levy引用了Saint-Venant的这个关于方向的假设，并进一步提出了分配关系：应变增量各分量与相应的应力偏量各分量成比例，即 （9-20）式中的比例系数d决定于质点的位置和荷载水平。这一假设在塑性力学的发展过程中是具有很重要意义的，但在当时并没有引起人们的重视，他们的这一成果在他们本国以外很少为人们所知。直到40多年以后，于1913年Von Mises又独立地提出了相同的关系式以后，才广泛地作为塑性力学的基本关系式。后来实验

12、表明，这个关系式并不包括弹性变形部分。所以，现在认为这个关系式是适用于刚塑性体的，就把这个关系式称为Lvy-Mises流动法则。第25页/共52页2.Levy-Mises理论采用的假设（1）在塑性区总应变等于塑性应变（2）塑性变形中无体积变化（3）塑性应变增量的偏量与应力偏量成正比（4）采用Mises屈服条件 第26页/共52页（1）在塑性区总应变等于塑性应变略去弹性应变 第27页/共52页（2）塑性变形中无体积变化体积变化基本是弹性的，塑性变形引起的体积改变可以略去不计 第28页/共52页（3）塑性应变增量的偏量与应力偏量成正比由于 不计弹性应变不计弹性应变 式中式中dd也是非负的比例因子，

13、随载荷及点的位置而改变。在同一载荷同一点对各个方也是非负的比例因子，随载荷及点的位置而改变。在同一载荷同一点对各个方向而言是常数。向而言是常数。（9-28）第29页/共52页 d的确定 将以上两式的分子分母分别平方，并将第二式分子分母平方后各乘以3/2的系数，将其相加就有 第30页/共52页称为“等效塑性应变增量”第31页/共52页（4）采用Mises屈服条件 刚塑性材料屈服后第32页/共52页3.Levy-Mises理论本构方程及其应用由于在此不计弹性变形，塑性应变即为总应变。将（9-25）式写成一般形式：（9-29）第33页/共52页讨论 在已知应变增量时，由式（9-29）可以确定应力偏量

14、。但由于体积的不可压缩性，不能确定应力球张量，所以就不能确定应力张量。反之，如果已知应力分量，就可以知道应力偏量，但由（9-29）式只能求得应变增量各分量的比值，不能确定应变增量各分量的实际大小。这是因为对于进入塑性状态的刚塑性体，在一定应力下应变可取无数个值。第34页/共52页9-5 弹塑性材料的增量理论1.普朗特罗依斯（Prandtl-Reuss）理论 2.理想弹塑性材料的增量型本构方程3.弹塑性强化材料的增量型本构方程 4.增量理论假设的实验验证 5.增量理论的基本方程及边值问题第35页/共52页1.1.普朗特罗依斯（Prandtl-ReussPrandtl-Reuss）理论下面将针对不

15、同材料不同材料来确定比例系数d第36页/共52页2.理想弹塑性材料的增量型本构方程（9-34）第37页/共52页采用Mises屈服条件，为了便于确定d，将其写为以Sx、Sy、Sz分别乘方程（9-34）的左三式，以xy、yz、xz分别乘（9-34）的右三式并相加，再利用（a）、（b）式，即可得出（a）（b）第38页/共52页如令 在此dWd为形状改变比能增量,在塑性变形中dWd恒大于零,从而由式(c)有（d）第39页/共52页理想弹塑性材料的增量型本构方程（9-35）（9-35）第40页/共52页分析理想弹塑性材料的初始屈服面与加载曲面相重合。加载时，应力点位于屈服面上，有新的塑性变形产生 卸载

16、时，应力点由屈服面上退回到屈服面内当应力点位于屈服面内，即处于弹性状态第41页/共52页应用如果应力和应变增量已知，从式（d）算出dWd，代入（9-35）后即可求出应力增量的偏张量各个分量和平均应力增量dm，最后求得各个应力增量，将它们叠加到原有应力上去，即得到新的应力水平，它们就是产生新的塑性应变以后的各个应力分量。但另一方面，在已知应力及应力增量时，不能由式（9-35）确定应变增量，而只能确定其各个分量间的比值。只有当变形受到适当的制约的情况下，才有可能确定其应变的大小。这是因为对理想弹塑性材料，在一定应力下应变可以取无数个值。第42页/共52页9-6 塑性势理论 1.稳定材料和不稳定材料

17、 2.德鲁克（Drucker）公设及其推论 3.塑性势理论 第43页/共52页图9-3 稳定材料和不稳定材料1.1.稳定材料和不稳定材料稳定材料和不稳定材料 第44页/共52页稳定材料 对图9-3（a）所示材料，随着加载，应力有增量时，产生相应的应变增量，材料是强化的。在这一变形过程中表明附加应力在应变增量上作正功，具有这种特性的材料称为稳定材料或强化材料。第45页/共52页图9-3 稳定材料和不稳定材料第46页/共52页请大家批评指正！谢谢 ！第47页/共52页9-5 弹塑性材料的增量理论 1.Prandtl-Reuss流动法则19241924年L.PrandtlL.Prandtl将L Lv

18、y-Misesvy-Mises关系式推广应用于塑性平面应变问题。他考虑了塑性状态的变形之中的弹性变形部分，并认为弹性变形服从广义HookeHooke定律。而塑性变形部分，假定塑性应变增量张量和应力偏张量相似且同轴线。19301930年A.ReussA.Reuss又把L.PrandtlL.Prandtl应用在平面应变上的这个假设推广到一般三维问题。根据这个假设建立起来的关系称为Prandtl-ReussPrandtl-Reuss流动法则。这个关系式可表示为 （9-30）第48页/共52页精品课件精品课件！第49页/共52页精品课件精品课件！第50页/共52页比例系数也是和质点位置和荷载水平有关，所以是一个非线性的关系式。第51页/共52页感谢您的观看！第52页/共52页