边界元法与无网格法无网格法概论.ppt

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1、无网格法概论无网格法概论Introduction to Meshless Methods高效伟高效伟大连理工大学大连理工大学 航空航天学院航空航天学院参考文献参考文献|张雄，刘岩.无网格法，清华大学出版社，2004|刘更，刘天祥，谢琴.无网格法及其应用.西北工业大学出版社，2005.|G.R.Liu,Y.T.Gu(王建明、周学军).无网格法理论及程序设计,山东大学出版社，2007.|S.N.Atluri,S.P.Shen.The Meshless Local Petrov-Galerkin Method,Tech Science Press,2002.有限元法存在的某些困难有限元法存在的某些困

2、难|冲压成型：网格畸变|裂纹动态扩展：网格重分|高速碰撞：网格畸变|奇异性问题：解析函数|自适应问题：网格重分(h)、近似函数(p)|应变局部化：网格重分|薄壳问题：近似函数高阶连续性问题|复杂三维结构有限元网格的生成无网格法无网格法|直接利用分布在求解域中的离散点离散点离散点离散点来构造近似函数的一种求解偏微分方程的数值方法。不需要借助于网格。网格法（有限元法、边界元）无网格法对某些特殊问题，无网格法很有效。无网格法概论无网格法概论|无网格法的研究历史无网格法的研究历史|全域插值函数全域插值函数|典型无网格法典型无网格法无网格法的研究历史无网格法的研究历史|七十年代：非规则网格有限差分法|1

3、977年：Smoothed particle hydrodynamics SPH归一化光滑函数算法 分片试验不稳定的起因及稳定化方案 克服零能模态的具体方案MLSPH水下爆炸仿真模拟、高速碰撞等无网格法的研究历史无网格法的研究历史|1992年：Diffuse element(Nayroles等)|1994年：Element Free Galerkin(Belytschko)动态裂纹扩展数值模拟三维撞击、流体晃动分析 板壳分析EFG和有限元、边界元法耦合相变问题；扩散问题|1995年：Reproducing Kernel Particle Method（W K Liu）多尺度分析、自适应分析结构

4、动力学、流体动力学动态断裂和局部化金属加工成形中厚梁板、微电子机械系统纳米管起皱 节理岩体 2000边界条件 2001质点积分 2006实质上与EFG等价！无网格法的研究历史无网格法的研究历史|1996年：Finite Point Method（Onate等）流体动力学 弹塑性分析弹塑性分析|1996年：Hp Clouds(Oden等)铁摩辛柯梁问题厚板的弯曲问题基于云团法的新型hp有限元Hp无网格云团法|1996年：PUFEM和GFEM（Babuska等）动态裂纹扩展问题|1998年：Local boundary integral equation method(LBIE)和Meshless

5、 local Petrov-Galerkin法(MLPG)(Atluri,Sladek)无网格法的研究历史无网格法的研究历史|将无网格法的思想引入有限元法中PUFEM Babuska，1996GFEM DuarteXFEM Belytschko流形元法（石根华）动态裂纹扩展动态裂纹扩展节理岩体节理岩体应变局部化应变局部化网格连续网格连续近似函数不连续近似函数不连续无网格法类型无网格法类型|2000年：紧支径向基函数配点法紧支径向基函数配点法|2001年：最小二乘配点无网格法最小二乘配点无网格法|2001年：加权最小二乘无网格法加权最小二乘无网格法|2003年：伽辽金最小二乘无网格法伽辽金最小二

6、乘无网格法|2003年：伽辽金配点无网格法伽辽金配点无网格法|2004年：边界弱形式配点法边界弱形式配点法|2005年：物质点有限元法物质点有限元法|2006年：质点积分无网格伽辽金法质点积分无网格伽辽金法|2009年：冲击爆炸三维物质点法数值仿真软件冲击爆炸三维物质点法数值仿真软件MPM3D无网格法活动无网格法活动|1996年 Computer Methods in Engineering Mechanics and Engineering 出版了无网格法专辑（139卷）|2000年 Computational Mechanics 出版了无网格法专辑（25卷，2-3期）|近年来许多著名数值方

7、法国际会议都设置了无网格法的主题会。|许多著名有限元专家，如Zienkiewicz、Belytscho、Atluri、WK Liu、KJ Bathe等都对无网格法进行了深入研究。无网格法概论无网格法概论|无网格法的研究历史无网格法的研究历史|全域插值函数全域插值函数|典型无网格法典型无网格法点插值法点插值法MLS拟合（n m）：I=1,2,n线性函数：二次函数：配点：函数逼近：紧支试函数紧支试函数|移动最小二乘法(Moving Least Square)|核函数近似(Kernel approximation)|重构核近似(Reproducing Kernel approx.)|单位分解法(Pa

8、rtition of Unity)|径向基函数（Radial basis functions）|点插值法（Point interpolation method）|自然邻接点插值|Kriging插值|非均匀有理B样条（NURBS）函数u(x)可以近似为大多数无网格法形函数不满足插值特性，即径向基函数径向基函数|一类以点x到节点xI的距离dI为自变量的函数，也称为距离函数 中心位于节点xI的距离基函数MQ：RMQ：TPS：Gaussians：4th order spline radial basis function：紧支性：紧支性：当当径向基函数径向基函数径向基函数径向基函数|增加多项式基后，M

9、Q插值正定p如果p中包含常数基和线性基，则插值具有一阶一性；pWang等采用局部形式 径向基点插值法|Hermite型径向基函数插值移动最小二乘近似移动最小二乘近似|近似函数 基函数（多项式或其它已知函数）待定系数线性基：二次基：移动最小二乘近似移动最小二乘近似 待定系数的确定待定系数的确定|有限元法有限元法 令uh(x)在单元节点i处等于函数u(x)在该节点处的函数值ui待定系数的个数必须等于单元自由度uh(xi)=u(xi)具有插值特性依赖于网格|MLS 使uh(x)在节点处的误差在加权最小二乘意义下取极小值精度高，并且可具有高阶连续性能够精确重构基中的任何函数计算量大uh(xi)u(xi

10、)不具有插值特性(拟合)移动最小二乘近似移动最小二乘近似移动最小二乘近似移动最小二乘近似移动最小二乘近似移动最小二乘近似|当基函数中最高阶完备多项式的阶数k=0时，MLS形函数退化为为Shepard函数|如果在MLS近似中将权函数在域内取为1，在域外取为0，则MLS近似退化为标准的最小二乘近似|MLS近似可以精确重构包含在基底中的任何函数pi(x)，即对于裂纹扩展问题，基函数可以取为对于声场，基函数可以取为广义移动最小二乘近似广义移动最小二乘近似|MLS要求近似函数在各节点处误差的平方和为最小，但对近似函数导数的误差没有任何约束|Atluri等人在分析欧拉梁时，要求近似函数及其导数在各点处误差

11、的平方和最小可只将函数在面力边界各节点处的导数作为自变量，要求近似函数在所有节点处误差的平方和与近似函数导数在面力边界各点处误差的平方和之和最小无网格法概论无网格法概论|无网格法的研究历史无网格法的研究历史|全域插值函数全域插值函数|典型无网格法典型无网格法典型无网格法典型无网格法典型无网格法典型无网格法p伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法p配点型无网格法配点型无网格法配点型无网格法配点型无网格法p基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法p最小二乘无网格

12、法最小二乘无网格法最小二乘无网格法最小二乘无网格法p物质点法物质点法物质点法物质点法p加权余量法加权余量法加权余量法加权余量法伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法|EFGMLSGalerkin|RKPMRKGalerkin|PIMPIGalerkin伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法等效积分弱形式（虚位移原理）MLS近似：|计算量大|精度高，稳定性好|需要背景网格进行积分|系数矩阵对称|不易施加本质边界条件处理伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法 数值积分|背景网格积分伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法 数值积分伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法 数值积分|节点积分稳定化方案零能模态伽辽金型无网格法伽辽金型

13、无网格法 位移边界条件的处理位移边界条件的处理|拉格朗日乘子法伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法 位移边界条件的处理位移边界条件的处理|修正变分原理伽辽金型无网格法伽辽金型无网格法 位移边界条件的处理位移边界条件的处理|罚函数法加权余量法加权余量法平衡方程应变-位移关系应力-应变关系 边界条件线弹性力学的控制方程线弹性力学的控制方程加权余量法加权余量法对于复杂问题，只能求近似解加权余量法不要求余量在各点均为零，而要求余量的加权积分为零 平均意义上满足方程近似解：加权余量法的物理意义：选取合适的待定参数强迫余量在某种平均意义下为零等效积分形式检验函数Test functions 试探函数(tria

14、l function)待定系数加权余量法加权余量法如何选取权函数？取：选择不同的权函数，得到不同的加权余量法 Test function加权余量法加权余量法1.配点法强迫余量在域内N个离散点上为零!2.子域法强迫余量在N个子域VI上的积分为零!加权余量法加权余量法3.最小二乘法强迫余量的均方和为最小！4.伽辽金法在有限元法中主要采用伽辽金法加权余量法加权余量法5.局部彼得洛夫-伽辽金法余量在各子域s上消除，且检验函数和试探函数取自不同的函数空间加权余量法加权余量法|子域s以各节点为中心：球形、椭球、立方体在子域中积分，易于实现|检验函数MLS权函数Dirac 函数误差函数微分方程的基本解：等价

15、于LBIE单位阶跃函数：无域内积分，效率高近似函数：与Galerkin法等价|最终得到的求解方程的系数矩阵一般是不对称无网格法的应用无网格法的应用|天体物理|水下爆炸|高速碰撞|动态裂纹扩展|板壳分析|流体力学|相变问题|大变形|自适应|金属加工成型|塑性变形局部化|纳米管起皱岩土数值模拟岩土数值模拟|岩土特性：强度和压力相关性，剪胀性，非关联塑性，以岩土特性：强度和压力相关性，剪胀性，非关联塑性，以及应变软化和等压屈服特性。及应变软化和等压屈服特性。|Drucker-Prager弹塑性本构模型弹塑性本构模型 屈服面与压力相关，剪胀性和非关联塑性。屈服面与压力相关，剪胀性和非关联塑性。屈服面：

16、屈服面：f s和和f t平面上平面上 岩土数值模拟岩土数值模拟|Drucker-Prager模型模型剪切失效剪切失效-屈服函数屈服函数 拉伸失效拉伸失效-屈服函数屈服函数 屈服面 剪切失效剪切失效-塑性势函数塑性势函数 非关联流动非关联流动拉伸失效拉伸失效-塑性势函数塑性势函数 关联流动关联流动摩擦角：粘聚力：c剪胀角：岩土数值模拟岩土数值模拟 边坡失效边坡失效|粘土边坡粘土边坡E=70MPa,=0.3,=2.1 g/cm3 =20;=00;c=10.0 kPaMPM 边坡滑移时间边坡滑移时间:5.8s 滑移距离滑移距离:7.5m CPU时间时间:6分钟分钟 LS-DYNA(FEM)滑移时间滑移时间:6.2s 滑移距离滑移距离:6.5m CPU时间时间:262分钟分钟 岩土数值模拟岩土数值模拟 边坡失效边坡失效|沙土边坡沙土边坡=20;c=0.1 kPa;=00MPM 休休 止止 角角:15.5 滑移时间：滑移时间：8s 计算时间：计算时间：6分钟分钟LS-DYNA(FEM)休休 止止 角角:17.5 滑移时间滑移时间:8.5s 计算时间计算时间:19.8小时小时严重网严重网格畸变格畸变