重积分及其应用.ppt

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1、数学学院数学学院西安交通大学数学与统计学院 复变函数课程责任教授最优化理论博士、硕导中国-经济数学与管理数学学会理事长办公室电话：029-82665186报告人 魏平数学学院数学学院第第第第3 3 3 3讲讲讲讲 多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用3.1 3.1 3.1 3.1 二重积分问题二重积分问题二重积分问题二重积分问题;3.2 3.2 3.2 3.2 三重积分问题三重积分问题三重积分问题三重积分问题;3.3 3.3 3.3 3.3 重积分应用问题；重积分应用问题；重积分应用问题；重积分应用问题

2、；3.4 3.4 3.4 3.4 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分数学学院数学学院1.二重积分的概念二重积分的概念2.积分存在的条件与性质积分存在的条件与性质定理定理1 连续必可积连续必可积问题问题问题问题1 1 1 1 关于数量值函数积分的统一定义问题关于数量值函数积分的统一定义问题关于数量值函数积分的统一定义问题关于数量值函数积分的统一定义问题数量值函数积分：数量值函数积分：二重积分；二重积分；三重积分；三重积分；第一型线积分；第一型线积分；第一型面积分。第一型面积分。数学学院数学学院在直角坐标系、极坐标系、曲线坐标下在直角坐标系、极坐标系、

3、曲线坐标下二重积分的计算二重积分的计算问题问题问题问题2 2 2 2 二重积分的计算问题二重积分的计算问题二重积分的计算问题二重积分的计算问题1.1.在直角坐标系下在直角坐标系下二重积分的计算二重积分的计算数学学院数学学院2.2.极坐标系下极坐标系下二二重积分的计算重积分的计算数学学院数学学院3.3.曲线曲线坐标系下坐标系下二二重积分的计算重积分的计算数学学院数学学院解解积分区域如图积分区域如图数学学院数学学院 【】2023/4/218例例2解解数学学院数学学院如图，正方形如图，正方形被其对角线划分为四个区域被其对角线划分为四个区域则2023/4/219例3解数学学院数学学院 例例4 4 解解

4、计算二重积分计算二重积分数学学院数学学院 例例5 5 计算积分计算积分 解解 数学学院数学学院 例例6 6 设积分域为设积分域为解解计算二重积分计算二重积分 例例7 7 设积分域为设积分域为计算二重积分计算二重积分数学学院数学学院 例例8 8 设积分域为设积分域为解解计算二重积分计算二重积分 例例9 9 计算定积分计算定积分 解解 数学学院数学学院1利用对称性和奇偶性计算 1)1)若积分域若积分域关于关于轴对称轴对称,则则:2)2)若积分域若积分域关于关于轴对称轴对称,则则:2利用变量对称性计算若若关于关于对称对称,则则问题问题问题问题3 3 3 3 关于重积分的对称性问题关于重积分的对称性问

5、题关于重积分的对称性问题关于重积分的对称性问题数学学院数学学院第第第第3 3 3 3讲讲讲讲 多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用3.1 3.1 3.1 3.1 二重积分问题二重积分问题二重积分问题二重积分问题;3.2 3.2 3.2 3.2 三重积分问题三重积分问题三重积分问题三重积分问题;3.3 3.3 3.3 3.3 重积分应用问题；重积分应用问题；重积分应用问题；重积分应用问题；3.4 3.4 3.4 3.4 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分数学学

6、院数学学院A A.直角坐标系下三重积分的计算法直角坐标系下三重积分的计算法问题问题4.4.三三重积分的计算重积分的计算问题问题数学学院数学学院B.B.柱面坐标系下三重积分的计算柱面坐标系下三重积分的计算C.C.球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算数学学院数学学院18 设设 ，则则 例1数学学院数学学院19 设设 ，则则 .例2解解数学学院数学学院20例3解解数学学院数学学院第第第第3 3 3 3讲讲讲讲 多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用3.1 3.1 3.1 3.1 二重积分问题二重

7、积分问题二重积分问题二重积分问题;3.2 3.2 3.2 3.2 三重积分问题三重积分问题三重积分问题三重积分问题;3.3 3.3 3.3 3.3 重积分应用问题；重积分应用问题；重积分应用问题；重积分应用问题；3.4 3.4 3.4 3.4 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分数学学院数学学院 重积分的应用（微元法）重积分的应用（微元法）1、区域函数及其对域、区域函数及其对域 的导数的导数2、微分与积分的关系、微分与积分的关系3.微元法应用举例微元法应用举例数学学院数学学院2023/4/21 A.质心与形心质心与形心数学学院数学学院非均匀物质薄板的

8、质心非均匀物质薄板的质心数学学院数学学院解解例例1数学学院数学学院B.B.转动惯量转动惯量数学学院数学学院物质薄板的转动惯量物质薄板的转动惯量数学学院数学学院 设设 ，则则 的形心的竖坐标的形心的竖坐标 .28例2解解数学学院数学学院例例3解解积分技巧积分技巧数学学院数学学院例例4解解积分技巧数学学院数学学院补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性数学学院数学学院解解积分域关于三个

9、坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,例5数学学院数学学院第第第第3 3 3 3讲讲讲讲 多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用3.1 3.1 3.1 3.1 二重积分问题二重积分问题二重积分问题二重积分问题;3.2 3.2 3.2 3.2 三重积分问题三重积分问题三重积分问题三重积分问题;3.3 3.3 3.3 3.3 重积分应用问题；重积分应用问题；重积分应用问题；重积分应用问题；3.4 3.4 3.4 3.4 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第一型

10、线积分与面积分第一型线积分与面积分数学学院数学学院（1 1）第一类线积分概念）第一类线积分概念（2 2）转化为定积分计算）转化为定积分计算 例1 求求 的周长的周长。问题问题1.1.在第一型线积分和第一型面积分中在第一型线积分和第一型面积分中数学学院数学学院（3 3）第一类曲面积分的概念）第一类曲面积分的概念（4 4）第一型面积分的计算）第一型面积分的计算 例2 求 的表面积。数学学院数学学院1）.设光滑曲面 的方程是数学学院数学学院37例1解解例2解解数学学院数学学院38例3解解数学学院数学学院 设设 P 为椭球面为椭球面 上的点，若上的点，若 S 在在点点 P 处的切平面与处的切平面与 xOy 面垂直面垂直，求点求点 P 的轨迹的轨迹 C，并计算并计算曲面积分曲面积分 ，其中其中 是椭球是椭球面面 S 位于曲线位于曲线 C 上方的部分上方的部分.39例例4数学学院数学学院例例5解数学学院数学学院Thank you！