算法案例秦九邵算法.pptx

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1、问题提出 1.1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.2.2.对于求n n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.第1页/共17页第2页/共17页问题问题1设计求多项式设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值的算法时的值的算法,并写出程序并写出程序.x=5f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7PRINT fEND程序程序点评点评:上述算法一共做了上述算法一共做了15次乘法运算次乘法运算

2、,5次次加法运算加法运算.优点是简单优点是简单,易懂易懂;缺点是不通用缺点是不通用,不能不能解决任意多项多求值问题解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高而且计算效率不高.知识探究(一):):秦九韶算法的基本思想 第3页/共17页思考2:2:在上述问题中，若先计算x x2 2的值，然后依次计算x x2 2xx，(x(x2 2x)xx)x，(x(x2 2x)x)xx)x)x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？9次乘法运算，次乘法运算，5 5次加法运算次加法运算.第二种做法与第一种做法相比第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数乘法的运算次数减少

3、了减少了,因而能提高运算效率因而能提高运算效率.而且对于计算机来说而且对于计算机来说,做做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此因此第二种做法能更快地得到结果第二种做法能更快地得到结果.第4页/共17页思考3:能否探索更好的算法能否探索更好的算法,来解决任意多项式来解决任意多项式的求值问题的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0

4、x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以,当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就叫这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法秦九韶算法.5次乘法运算，次乘法运算，5 5次加法运算次加法运算.第5页/共17页思考4:4:利用最后一种算法求多项式f(x)=af(x)=an nx xn n+a+an-1n-1x xn-1n-1+a+a1 1x+ax+a0 0的值，这个多项式应写成哪种形式？f(x)=af(x)=an nx xn n+a+an-

5、1n-1x xn-1n-1+a+a1 1x+ax+a0 0 =(a(an nx xn-1n-1+a+an-1n-1x xn-2n-2+a+a2 2x+ax+a1 1)x+ax+a0 0=(=(a(an nx xn-2n-2+a+an-1n-1x xn-3n-3+a+a2 2)x+ax+a1 1)x+a)x+a0 0 =(=(a(an nx+ax+an-1n-1)x+ax+an-2n-2)x+a)x+a1 1)x+a)x+a0 0.第6页/共17页思考4:4:对于f(x)=(af(x)=(an nx+ax+an-1n-1)x+a)x+an-2n-2)x+a)x+a1 1)x+a)x+a0 0，由

6、内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？第一步，计算第一步，计算v v1 1=a=an nx+ax+an-1n-1.第二步，计算第二步，计算v v2 2=v=v1 1x+ax+an-2n-2.第三步，计算第三步，计算v v3 3=v=v2 2x+ax+an-3n-3.第第n n步，计算步，计算v vn n=v=vn-1n-1x+ax+a0 0.第7页/共17页思考5:5:上述求多项式 f(x)=af(x)=an nx xn n+a+an-1n-1x xn-1n-1+a+a1 1x+ax+a0 0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(xf(x0 0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次

7、加法运算？思考6:6:在秦九韶算法中，记v v0 0=a=an n，那么第k k步的算式是什么？v vk k=v=vk-1k-1x+ax+an-kn-k(k=1(k=1，2 2，n)n)n次乘法运算，n次加法运算第8页/共17页知识探究(二):):秦九韶算法的程序设计 思考1:1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，输入多项式的次数第一步，输入多项式的次数n n，最高次，最高次 项的系数项的系数a an n和和x x的值的值.第二步，令第二步，令v=av=an n，i=n-1.i=n-1.第三步，输入第三步，输入i i次项的系数次项的系数a ai

8、 i.第四步，第四步，v=vx+av=vx+ai i，i=i-1.i=i-1.第五步，判断第五步，判断i0i0是否成立是否成立.若是，则返回第若是，则返回第 二步；否则，输出多项式的值二步；否则，输出多项式的值v.v.第9页/共17页思考2:2:该算法的程序框图如何表示？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii0？i=n-1i=i-1结束是输出v否第10页/共17页思考3:3:该程序框图对应的程序如何表述？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii0？i=n-1i=i-1结束是输出v否INPUT “n=”INPUT “n=”；n nINPUT “aINPUT “a

9、n n=”=”；a aINPUT “x=”INPUT “x=”；x x v=a v=an ni=n-1i=n-1WHILE iWHILE i=0=0INPUT“aINPUT“ai i=”=”；b b v=v*x+b v=v*x+bi=i-1i=i-1 WENDWENDPRINT yPRINT yENDEND第11页/共17页理论迁移 例1 1 已知一个5 5次多项式为 用秦九韶算法求f(5)f(5)的值.f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.v v1 1=55+2=27=55+2=27；v v

10、2 2=275+3.5=138.5=275+3.5=138.5；v v3 3=138.55-2.6=689.9=138.55-2.6=689.9；v v4 4=689.95+1.7=3451.2=689.95+1.7=3451.2；v v5 5=3451.25-0.8=17255.2.=3451.25-0.8=17255.2.所以f(5)=17255.2.f(5)=17255.2.第12页/共17页 变式：例2 2 已知一个5 5次多项式为 用秦九韶算法求当x=5x=5时，V V1 1,V,V3 3的值及求f(5)的值做多少次乘法运算.解：f(x)=(5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)

11、x-0.8.f(x)=(5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.v v1 1=55+0=25=55+0=25；v v2 2=255+3.5=128.5=255+3.5=128.5；v v3 3=128.55+0=642.5=128.55+0=642.5；v v4 4=642.55+1.7=3214.2=642.55+1.7=3214.2；v v5 5=3214.25-0.8=16070.8.=3214.25-0.8=16070.8.所以v1=25，v3=642.5，f(5)=f(5)=16070.8.第13页/共17页 例3 3 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？INPU

12、T“x=”INPUT“x=”；a an=0n=0y=0y=0WHILE nWHILE n5 5 y=y+(n+1)*any=y+(n+1)*an n=n+1 n=n+1WENDWENDPRINT yPRINT yENDEND求多项式 在x=ax=a时的值.第14页/共17页小结作业 评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.第15页/共17页作业：P45P45练习：2.2.P48P48习题1.3A1.3A组：2.2.第16页/共17页感谢您的观看！第17页/共17页