研究生数值分析(2).ppt

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1、 为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简要介绍向量范数与矩阵范数（模）。向量范数和要介绍向量范数与矩阵范数（模）。向量范数和矩阵范数是用于描述向量和矩阵大小的量。矩阵范数是用于描述向量和矩阵大小的量。(1)向量的范数向量的范数其长度为其长度为我们用其度量向量我们用其度量向量 的的“大小大小”。3 向量范数与矩阵范数向量范数与矩阵范数对于空间直角坐标系对于空间直角坐标系 中的任意向量中的任意向量实质上向量范数实质上向量范数 是一个实值函数，是一个实值函数，(1非负性非负性).

2、对任意对任意 ，都有，都有(2齐次性齐次性).对任意对任意 和向量和向量 ,(3三角不等式三角不等式).对任意对任意 ,都有都有将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。它满足如下它满足如下3个条件：个条件：当且仅当当且仅当定义定义1 1 设设 是定义在是定义在 上的实值函数，上的实值函数，非负性，即 当且仅当 齐次性，即 三角不等式三角不等式，即对，即对 ,总有总有则称则称 为为 上向量上向量 的范数（或模）。的范数（或模）。向量向量 的的1范数：范数：向量向量 的的2范数：范数：向量向量 的的 范数：范数：如果它满足三个条件：如果它满足三个

3、条件：最常用的有如下最常用的有如下3种向量范数：种向量范数：下面只证下面只证 是向量是向量范数：范数：证明：证明：（1）由向量）由向量的的2范数有范数有满足定义中条件满足定义中条件（2）对任一）对任一 有有满足定义中条件满足定义中条件由由 的含义，可用内积表示，即的含义，可用内积表示，即（3）任取向量）任取向量 ，则有，则有（3）任取向量）任取向量 ，则有，则有根据根据Cauchy-Schwarz（柯西（柯西-施瓦兹）不等式施瓦兹）不等式有有满足定义中条件满足定义中条件。证毕。证毕向量向量的的2范数也称为范数也称为Euclid(欧几里德欧几里德)范数。范数。其实，向量其实，向量的的1范数，范数

4、，2范数，范数，范数，范数，它们都是它们都是p范数的特例范数的特例其中，正整数其中，正整数 ，并且有，并且有容易验证容易验证 的的3种范数之间有如下关系：种范数之间有如下关系：下面验证第下面验证第2式式设设，则，则例例5 设设 ，求，求解：解：由向量由向量 的的1，2，范数定义范数定义于是有于是有，又，又即有即有，故有，故有定义定义2 设设 是定义在是定义在 上的实值函数，上的实值函数，1.非负性，非负性，即即 当且仅当当且仅当2.齐次性，齐次性，即即3.三角不等式，即对三角不等式，即对 ,总有总有4.矩阵乘法不等式，即对矩阵乘法不等式，即对 ,总有总有则称则称 为为 上矩阵上矩阵 的范数（或

5、模）。的范数（或模）。(2)矩阵的范数矩阵的范数如果它满足如果它满足4个条件：个条件：定理定理 设向量设向量 ,矩阵矩阵 ，给定一种向量，给定一种向量，若，若则称为矩阵则称为矩阵 的范数，称为算子范数，并且它与所的范数，称为算子范数，并且它与所 在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定关系，即满足矩阵、向量乘法的相容性，且有结论关系，即满足矩阵、向量乘法的相容性，且有结论范数范数给定的向量范数相容。给定的向量范数相容。证证 首先证明相容性。首先证明相容性。所以有所以有此结果显然也适用于此结果显然也适用于Y=0的情形。的情形。对任意矩阵对任意矩阵 和任意的非零向量和任意的非零向量由于由于再证明再证明满足矩阵范数的四个条件。满足矩阵范数的四个条件。（1）当）当A=0时，时，；当；当A0时时，必有，必有（3）对任意的矩阵）对任意的矩阵有有（2）对任一数）对任一数，式，式成立。成立。（4）证毕。证毕。1范数（列模）范数（列模）2范数（谱模）范数（谱模）范数（行模）范数（行模）其中其中为为 的特征值。的特征值。常用的常用的3种算子范数的定义与算式为：种算子范数的定义与算式为：p10-11例例6 设设 ，求，求 及及 。解：解：又又的特征方程为的特征方程为 它的根为它的根为 因而因而练习练习:已知矩阵已知矩阵A和向量和向量X，求求，及。其中其中