积分变换1-2.ppt

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1、第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换一一傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念二二单位脉冲函数及其傅里叶变换单位脉冲函数及其傅里叶变换三三 非周期函数的频谱非周期函数的频谱1 1第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换一一 傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念在上节中，我们已经知道如果函数在上节中，我们已经知道如果函数积分收敛定理的条件，积分收敛定理的条件，满足傅立叶满足傅立叶则在则在

2、的连续点处有的连续点处有如果在上式中设如果在上式中设则则这表明这表明和和可以通过指定的积分运算互相表可以通过指定的积分运算互相表示。示。2 2第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换定义定义 称称为为的的傅立叶变换傅立叶变换式式，称称为为的的傅氏变换的像函数傅氏变换的像函数称称为为的的傅立叶逆变换式傅立叶逆变换式，记记称称为为的的傅氏逆变换的像原函傅氏逆变换的像原函数数。根据定义我们有根据定义我们有后一个式子在后一个式子在的连续点成立。的连续点成立。作作 记为记为 3 3第二节第二节第二节第二节 傅里叶

3、变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换例例1 1 设函数设函数求求的傅立叶变换及其傅立叶积分。的傅立叶变换及其傅立叶积分。称为指数称为指数衰减衰减函数函数，在工程技术中经常遇到这个函数。，在工程技术中经常遇到这个函数。解解 4 4第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换根据傅立叶逆变换的定义，根据傅立叶逆变换的定义，傅立叶积分实际上傅立叶积分实际上就是就是的傅立叶逆变换，的傅立叶逆变换，利用奇、偶函数的积分性利用奇、偶函数的积分性质，我们有质

4、，我们有利用傅氏积分收敛定理，可得含参变量广义积分利用傅氏积分收敛定理，可得含参变量广义积分的结果，的结果，5 5第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换解解 例例2 2设设求求 6 6第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换例例3 3求钟形脉冲函数求钟形脉冲函数的傅氏的傅氏变换。变换。解解令令则则且且 7 7第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里

5、里里叶叶叶叶变变变变换换换换所以所以利用利用得得即即8 8第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换由前节可知偶函数由前节可知偶函数的傅立叶积分为的傅立叶积分为奇函数奇函数的傅立叶积分为的傅立叶积分为由此可以得到傅立叶余弦变换、傅立叶正弦变换。由此可以得到傅立叶余弦变换、傅立叶正弦变换。定义定义 设设在区间在区间满足傅立叶积分收敛满足傅立叶积分收敛的条件，的条件，称称为函数为函数傅立叶余弦傅立叶余弦变换式变换式，记为记为即即9 9第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一

6、一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换称称为为傅立叶余弦变换像函数傅立叶余弦变换像函数。称称为为的傅立叶余弦逆变换的傅立叶余弦逆变换像原函数像原函数.为为傅立叶余弦逆变换式傅立叶余弦逆变换式,记为记为即即称称称称为函数为函数傅立叶正弦变换式傅立叶正弦变换式，记为记为即即记为记为1010第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换称称为为傅立叶正弦变换像函数傅立叶正弦变换像函数。称称为为的傅立叶正弦逆变换的傅立叶正弦逆变换像原函数像原函数.为为傅立叶正弦逆变换式傅立叶正弦逆变换式,记为记为即

7、即称称1111第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换例例求函数求函数傅立叶余弦、正弦傅立叶余弦、正弦变换。变换。解解1212第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换1313第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换二二 单位脉冲函数及其傅里叶变换单位脉冲函数及其傅里叶变换在电流为零的线性电路中，某一瞬间在电流为零的线性电路

8、中，某一瞬间(设为设为)进进入一单位电量，入一单位电量，现确定该电路的电流现确定该电路的电流设电路的电设电路的电荷函数为荷函数为则则由于电流强度为电荷函数对时间的变化率，由于电流强度为电荷函数对时间的变化率，所以所以即即1414第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换另一方面，通过电路的总电荷等于电流强度对时间另一方面，通过电路的总电荷等于电流强度对时间的积累，的积累，即即在通常的意义下的函数类中找不到一个函数能够在通常的意义下的函数类中找不到一个函数能够满足满足因此满足因此满足是一个广是一个广义上的函

9、数称为义上的函数称为狄拉克函数狄拉克函数，在工程技术上又称为在工程技术上又称为单单位脉冲函数位脉冲函数，记为记为狄拉克函数是一个广义函数，它的精确定义必须有狄拉克函数是一个广义函数，它的精确定义必须有泛函分析的的基础泛函分析的的基础,在这里我们仅把狄拉克函数看作在这里我们仅把狄拉克函数看作弱收敛函数列的弱极限，弱收敛函数列的弱极限，即对于任何一个无限次可微即对于任何一个无限次可微1515第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换函数函数如果满足如果满足其中其中则称则称为函数列为函数列的弱极限，的弱极限，记

10、为记为或简记为或简记为利用利用我们有我们有这就是这就是式。式。1616第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换利用利用我们还可以推出我们还可以推出的一个重要的性的一个重要的性质，即质，即筛选性质筛选性质：如果函数如果函数为一个无限次可微函数，为一个无限次可微函数，则有则有事实上，事实上，由于由于连续，按积分中值定理有连续，按积分中值定理有1717第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换同理我们有同理我们有即即或或

11、同理有同理有或或由此可知由此可知1818第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换需要指出：关于需要指出：关于的傅氏变换是按的傅氏变换是按式来定式来定义的，是一种广义的傅立叶变换，义的，是一种广义的傅立叶变换，有了狄拉克函数及其傅立叶变换后，许多函数如常有了狄拉克函数及其傅立叶变换后，许多函数如常数函数、符号函数、单位阶跃函数及其正、余弦函数数函数、符号函数、单位阶跃函数及其正、余弦函数都可以求都可以求(广义广义)傅立叶变换。傅立叶变换。采用古典意义下的定义形式。采用古典意义下的定义形式。为方便起见我们仍

12、为方便起见我们仍1919第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换例例4 4设设（称其为单位阶跃函数），（称其为单位阶跃函数），证明证明 证证 设设由于由于 2020第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换由于由于所以所以因此因此所以所以 2121第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换为了不涉及狄拉克函数的较深入理论，经常

13、通过为了不涉及狄拉克函数的较深入理论，经常通过求傅氏逆变换的方法来推出某些函数的傅氏变换。求傅氏逆变换的方法来推出某些函数的傅氏变换。例如由于例如由于 所以所以 同理同理 2222第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换上述的几个积分在普通的广义积分下是不收敛的，上述的几个积分在普通的广义积分下是不收敛的，这里的积分是在更广意义下进行的，严格的讲是按这里的积分是在更广意义下进行的，严格的讲是按式定义的。式定义的。有了这些积分后，我们可以方便地求某些函数的有了这些积分后，我们可以方便地求某些函数的傅氏变换

14、。傅氏变换。2323第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换例例4 4求正弦函数求正弦函数的傅氏变换。的傅氏变换。解解 2424第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换例例6 6求符号函数求符号函数的傅氏变换。的傅氏变换。解解 2525第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换三三 非周期函数的频谱非周期函数的频谱在傅立叶级

15、数的理论中，一个以在傅立叶级数的理论中，一个以为周期的非正为周期的非正弦函数弦函数的第的第次谐波为次谐波为其中其中为频率，为频率，为振幅，为振幅，在在复数形式下，第复数形式下，第次谐波为次谐波为其中其中2626第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换且且因此因此这反映了振幅与频率之间的关系。这反映了振幅与频率之间的关系。所谓的频谱图就是反映振幅与频率的关系图，所谓的频谱图就是反映振幅与频率的关系图，称为振幅频谱。称为振幅频谱。所以这种频谱图是不连续的，所以这种频谱图是不连续的，由于由于称之为称之为离散频

16、谱。离散频谱。例例6 6画出如图所示的函数的频谱图。画出如图所示的函数的频谱图。2727第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换解解以以为周期，为周期，在一个周期内在一个周期内的表示的表示式为式为利用上节利用上节式可得：式可得：2828第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换2929第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换

17、对于非周期函数对于非周期函数在在的连续点有的连续点有其中其中在频谱分析中，在频谱分析中，称为称为的的频谱函数频谱函数，称为称为振幅频谱振幅频谱（简称为（简称为频谱频谱),),由于由于是连续是连续变化的，因此称之为变化的，因此称之为连续频谱连续频谱。例例7 7作出函数作出函数的频谱图。的频谱图。解解利用本节例利用本节例2 2可得可得3030第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换所以所以由于由于所以所以即振幅频谱为即振幅频谱为的偶函数。的偶函数。3131第二节第二节第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换我们定义我们定义为函数为函数的的相角频谱相角频谱，则相角频谱为，则相角频谱为的奇函数。的奇函数。3232