线代32工程数学.pptx

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1、3 线性方程组的解 我们知道 n未知数m个方程的线性方程组 可以写成Axb 其中A(aij)x(x1 x2 xn)T b(b1 b2 bm)T 矩阵B(A b)称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它不相容 第1页/共14页2则以矩阵（则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。）同解。化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵第2页/共14页v定理1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 说

2、明 Axb无解R(A)R(A b)的等价叙述 Axb无解R(A)R(A b)R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)Axb有解 R(A)R(A b)Axb无解 要证明定理 只需证明 R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)nAxb有唯一解 R(A)R(A b)nAxb有无限多解 第3页/共14页v定理2 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b)v定理3 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n v定理1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限

3、多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 第4页/共14页 当方程组Axb有无限多个解时 其解的形式为v线性方程组的通解 这是方程组的含有参数的解 称为方程组的通解 令xr1c1 xncnr 可得其中xr1 xn是自由未知数 第5页/共14页v求解线性方程组Axb的步骤 (1)对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B化成行阶梯形 从 B的 行 阶 梯 形 可 同 时 看 出 R(A)和 R(B)若R(A)R(B)则方程组无解 (2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行最简形 (3)设R(A)R(B)r 把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未

4、知数取作非自由未知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B(或A)的行最简形 即可写出含nr个参数的通解 第6页/共14页对系数矩阵A施行初等行变换 得 解 由此得 或其中c1 c2为任意实数 例1 求解齐次线性方程组 c1 c2 第7页/共14页 例2 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 可见R(A)2 R(B)3 故方程组无解 第8页/共14页所以有 例3 求解非齐次线性方程组 解 因为 即(c1 c2R)c1 c2 第9页/共14页 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 例4 设有线性方程组 此方程组(1)有唯一解(2)无解(

5、3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解 问取何值时 (1)当0且3时 R(A)R(B)3 方程组有唯一解 (2)当0时 R(A)1 R(B)2 方程组有无解 (3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解 第10页/共14页 解 例4 设有线性方程组 此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解 问取何值时(3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解 这时 由此得 第11页/共14页v定理4 矩阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(A B)v定理5 设ABC 则R(C)minR(A)R(B)v定理6 矩阵方程AmnXnl0只有零解的充分必要条件是R(A)n v其它结论 第12页/共14页作业P7512；13(1,4)；14(1,4)；15；16；17；18第13页/共14页感谢您的观看！第14页/共14页