高三数学最新复习课件：空间几何体的表面积与体积.ppt

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1、8.2空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考8.2空空间间几几何何体体的的表表面面积积与与体体积积双基研习双基研习面对高考面对高考柱、锥、台与球的侧面积和体积柱、锥、台与球的侧面积和体积双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理2rhr2hrl(r1r2)lchSh思考感悟思考感悟 对对不不规则规则的几何体的几何体应应如何求体如何求体积积？提提示示：对对于于求求一一些些不不规规则则的的几几何何体体的的体体积积常常用用割割补补的的方方法法，转转化化为为已已知知体体积积公公式式的的几几何何体体进进行行

2、解解决决课前热身课前热身课前热身课前热身1(教材习题改编教材习题改编)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为为3 cm，瓶里所装的水深为，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，则钢球，则钢球的半径为的半径为()A1 cmB1.2 cmC1.5 cm D2 cm答案：答案：C答案：答案：B3(2011年蚌埠质检年蚌埠质检)如图，一个空间几何体的主如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为如果直角三角

3、形的直角边长为1，那么这个几何体，那么这个几何体的表面积为的表面积为()答案：答案：A5(2009年高考上海卷年高考上海卷)若等腰直角三角形的直若等腰直角三角形的直角边长为角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是转一周所成的几何体体积是_考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破几何体的表面积几何体的表面积求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、

4、边长棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧面展开图的面积面展开图的面积例例例例1 1【思思路路点点拨拨】根根据据图图形形特特征征，球球心心为为三三棱棱柱柱上上、下下底底面面的的中中心心连连线线的的中中点点，构构造造三三角角形形可可求求得得球球的半径，代入公式可求得表面的半径，代入公式可求得表面积积【解析解析】三棱柱如三棱柱如图图

5、所示，所示，【答案答案】B【名名师师点点评评】求求几几何何体体的的表表面面积积要要抓抓住住关关键键量量，如如多多面面体体的的高高，底底面面边边长长及及几几何何体体特特征征，旋旋转转体体的的高高、底底面面半半径径及及几几何何特特征征，球球的的半半径径，同同时时注注意意整整体思体思维维的运用，以减少的运用，以减少计计算量算量变变式式训训练练1(2009年年高高考考海海南南、宁宁夏夏卷卷)一一个个棱棱锥锥的的三三视视图图如如图图，则则该该棱棱锥锥的的全全面面积积(单单位位：cm2)为为()解解析析：选选A.由由三三视视图图可可知知原原棱棱锥锥为为三三棱棱锥锥，记记为为P-ABC(如如图图)，且且底底

6、面面为为直直角角三三角角形形，顶顶点点P在底面的射影在底面的射影为为底底边边AC的中点，的中点，几何体的体积几何体的体积计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解问题求解 (2010年高考陕西卷年高考陕西卷)如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是分别是PB，PC的的中点中点(1)证明

7、：证明：EF平面平面PAD；(2)求三棱锥求三棱锥E-ABC的体积的体积V.例例例例2 2变变式式训训练练2有有一一根根木木料料，形形状状为为直直三三棱棱柱柱形形，高高为为6 cm，横横截截面面三三角角形形的的三三边边长长分分别别为为3 cm、4 cm、5 cm，将将其其削削成成一一个个圆圆柱柱形形积积木木，求求该该木木料被削去部分体料被削去部分体积积的最小的最小值值解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半削去部分体积才能最小，设此

8、时圆柱的底面半径为径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高，圆柱的高即为直三棱柱的高几何体的折叠与展开几何体的折叠与展开几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用了空间问题平面化的思想把一个平面图的，利用了空间问题平面化的思想把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点高考的一个热点例例例例3 3 (1)有一根长为有一根长为3 cm、底面半径为、底面半径为1 cm的圆的圆柱形铁管，用一段铁丝在

9、铁管上缠绕柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？最短长度为多少？(2)把长、宽分别为把长、宽分别为4 cm和和3 cm的矩形卷成圆柱，的矩形卷成圆柱，如何卷能使体积最大？如何卷能使体积最大？【思路点拨思路点拨】把圆柱沿着铁丝的两个端点落在的把圆柱沿着铁丝的两个端点落在的那条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短那条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离距离【解解】(1)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形在平面上得到矩形

10、ABCD(如图如图)，由题意知，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点，点A与点与点C分别是铁丝的起、分别是铁丝的起、止位置，故线段止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度的长度即为铁丝的最短长度【规规律小律小结结】几何体的展开几何体的展开图图方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决点与平面几何知识来解决(如例如例1)2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公

11、式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用已知元素彼此离散时，我们可采用“割割”、“补补”的的技巧，化复杂几何体为简单几何体技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利或化离散为集中，给解题提供便利(如例如例2)3有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素角形、直角梯形求有关的几何元素失误防范失误防范1面积、体积的计算中应注意的问题面积

12、、体积的计算中应注意的问题(1)柱、锥、台体的侧面积分别是某侧面展开图的柱、锥、台体的侧面积分别是某侧面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各线段的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各线段的位置关系，是求侧面积及解决有关问题的关键位置关系，是求侧面积及解决有关问题的关键(2)计算柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底计算柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底面积和高充分运用多面体的截面及旋转体的轴面积和高充分运用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化成平面问题截面，将空间问题转化成平面问题(3)球的有关问题，注意球半径与截面圆半径，球的有关问题，注意球半径与截面圆半径，球心到截面距离构

13、成直角三角形球心到截面距离构成直角三角形(4)有关几何体展开图与平面图形折成几何体有关几何体展开图与平面图形折成几何体问题，在解决的过程中注意按什么线作轴来展问题，在解决的过程中注意按什么线作轴来展或折，还要坚持被展或被折的平面，变换前、或折，还要坚持被展或被折的平面，变换前、后在该面内的大小关系与位置关系不变在完后在该面内的大小关系与位置关系不变在完成展或折后，要注意条件的转化对解题也很重成展或折后，要注意条件的转化对解题也很重要要2与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接

14、点的接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或合，通过多面体的一

15、条侧棱和球心，或“切点切点”、“接点接点”作出截面图作出截面图考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考空间几何体的表面积、体积是高考的必考知识点空间几何体的表面积、体积是高考的必考知识点之一题型既有选择题、填空题，又有解答题，之一题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档客观题主要考查由三视图得出难度为中、低档客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查比较全的表面积、体积得出某些量；主观题考查比较全面，其中一步往往设置为表面积、体积问题，无面，其中一步往往设置

16、为表面积、体积问题，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力论是何种题型都考查学生的空间想象能力预测预测2012年高考仍将以空间几何体的表面积、年高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力象能力、运算能力及逻辑推理能力 规范解答规范解答规范解答规范解答例例例例 (本题满分本题满分12分分)(2010年高考课标全国卷年高考课标全国卷)如如图，已知四棱锥图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为，垂足为H，PH是四棱锥的高是四棱锥的高【解解】(1)证明：因为证明

17、：因为PH是四棱锥是四棱锥P-ABCD的的高，高，所以所以ACPH.又又ACBD，PH、BD都在平面都在平面PBD内，且内，且PHBDH，所以所以AC平面平面PBD，又，又AC 平面平面PAC，故平面故平面PAC平面平面PBD.6分分【名师点评名师点评】(1)本题易失误的是：本题易失误的是：不会转化思不会转化思想的应用，一看到梯形就定向思维以致求不出底面想的应用，一看到梯形就定向思维以致求不出底面积；积；用错锥体体积的计算公式用错锥体体积的计算公式(2)计算空间几何体的体积时要注意：计算空间几何体的体积时要注意：分析清楚空分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构间几何体的结构，搞

18、清楚该几何体的各个部分的构成特点；成特点；进行合理的转化和一些必要的等积变换，进行合理的转化和一些必要的等积变换，如三棱锥的体积计算就可以通过如三棱锥的体积计算就可以通过“换顶点换顶点”的方法进的方法进行等积变换；行等积变换；正确选用体积计算公式在体积计正确选用体积计算公式在体积计算中都离不开空间几何体的算中都离不开空间几何体的“高高”这个几何量这个几何量(球除外球除外)，因此体积计算中的关键一步就是求出这个量在，因此体积计算中的关键一步就是求出这个量在计算这个几何量时要注意多面体中的计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图特征图”和旋和旋转体中的轴截面转体中的轴截面如图所示如图所示(单位：单位：cm)，求图中阴影部分绕，求图中阴影部分绕AB旋旋转一周所形成的几何体的体积转一周所形成的几何体的体积名师预测名师预测名师预测名师预测