运筹学线性规划基本性质及建模.pptx

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1、第一章 线性规划基本性质及建模 线性规划主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分的发挥资源的效能去获取最佳经济效益。为叙述简便，以后我们把“线性规划”用LP代替。第1页/共22页 第一节 线性规划的一般模型1.1产品结构优化问题1 1、范例、范例1 1 某厂拟生产甲乙两种适销产品，每件利润为3、5百元。甲乙产品的部件各自在A、B两个车间分别生产，每件甲乙产品的部件分别需要A、B车间的生产能力1、2工时；两种产品的部件最后都要在C车间装配，装配每件甲乙产品分别需要3、4工时,A、B、C三个车间每天可用于生产这两这种产品的工时分别为8、

2、12、36，应如何安排生产才能获利最多？第2页/共22页列出数据表车间甲（工时/件）乙（工时/件）生产能力（工时/天）A108B0212C3436利润（元/件）35第3页/共22页解：这是一个典型的产品结构优化问题，现在建立这个问题的数学模型。设 分别为甲、乙产品的日产量，z为这两种产品每天总的利润。可得数学模型简记为:其中max是英文maximize(最大化)的缩写；s.t.是subject to(受约束于)的缩写。第4页/共22页1.2 线性规划的一般模型（1）可用一些变量表示这类问题的待定方案，这些变量的一组定值就代表一个具体方案。因此可将这些变量称为决策变量，并要求它们为非负。（2）存

3、在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于决策变量的线性不等式或等式来表示。（3）有一个期望达到的目标，这些目标能以某种确定的数量指标刻画出来，而这种数量指标可表示为关于决策变量的线性函数，按所考虑问题的不同，要求该函数值最大化或最小化。这类问题就是线性规划问题。一般LP模型可表示如下：其中opt是英文optimize(最优化)的缩写。按问题要求不同，可表示为max或min。第5页/共22页(1-1)(1-1)式称为最优化目标函数，其中 称为目标函数，optopt称为其优化，也可称为目标要求；(1-2)(1-2)式称为函数约束；(1-3)(1-3)式中的 称为非负性约束；称为非正性约束；(1-2

4、)(1-2)、(1-3)(1-3)式统称为约束条件，简称约束。称为决策变量。称为LPLP模型的参数。第6页/共22页第二节 关于解的几种可能结果线性规划问题的解可能出现以下几种情况唯一解有且仅有一个既在可行域内，又使目标值达到最优的解。无穷解有无穷多个既在可行域内、又使目标值达到最优的解。无可行解约束条件不能同时满足，将出现无可行域的情况。有可行解但无最优解(无界解)是指最大化问题中目标函数值可以无限增大，或最小化问题中目标函数值可以无限减小第7页/共22页第三节 非标准形LP问题的标准化1、目标函数。如LP问题的目标函数是：可以将原目标函数化为2、函数约束。(1)的情形。(2)约束为 形式的

5、情形。(3)约束为 形式的情形。3、决策变量 1）小于零时 2）自由变量时第8页/共22页非标准形LP问题的标准化 例题 将如下LP问题化成标准形：第9页/共22页Answer:第10页/共22页第四节 线性规划的解及其性质4.1 4.1 线性规划的解的概念线性规划的解的概念1 可行解。满足LP问题所有的约束条件的向量X称为可行解，所有可行解构成的集合称为可行域，记为R。2 最优解。满足目标要求的可行解称为最优解，记为 ；它所对应的目标函数值称为最优值，记为 。有时把 统称为最优解，简称为解。第11页/共22页第四节 线性规划的解及其性质3 基本解。其概念只适用于标准形LP问题。就范例的标准形

6、进行研讨：第12页/共22页其增广阵为：其系数阵A中有一个三阶子阵为单位阵，其行列式不为0，故r(A)=r()=r=3=m,方程组相容。又因r=35=n,故方程组有无穷多解。取A中单位阵对应的变量x3,x4,x5为基本变量，则x1,x2为自由变量，令x1=c1,x2=c2,容易得到一个通解：第13页/共22页当取C1=C2=0 时，可得方程组一个特解：X0=（0，0，8，12，36）T 称之为方程组的一个基本解。其中x3,x4,x5为基本变量，则x1,x2为不再自由，改称非基本变量。由此可见，基本解是由r 个基本变量与n-r个非基本变量构成的。由于总是规定标准形LP问题的系数阵A满秩，即r(A

7、)=m n,因此可以说，基本解是由m个基本变量与n-m 个非基本变量构成的，其中基本变量对应的系数列向量构成一个m阶非奇异方阵。基本变量一般不为0，而非基本变量都须为0。第14页/共22页 现在考虑一般LP问题的标准形。设B是由方程组(1-5)的m个线性无关的系数列向量构成的m阶方阵()，则称B为LP问题的一个基矩阵(简称基)。为叙述简便，不妨设第15页/共22页第16页/共22页这个解的非零分量的数目不大于阶数m，称之为约束方程组(1-5)的一个关于基B的基本解，简称基本解。也称之为标准形LP问题的一个基本解。若基本解中有一个或更多个基变量，则 称之为退化基本解。第17页/共22页第18页/共22页第19页/共22页4 4 基本可行解。满足非负性约束(1-6)的基本解，称为标准形LP问题(M)的基本可行解。若基本可行解中有一个或更多个基变量为0 0，则称为退化基本可行解。第20页/共22页 表 标准形LPLP问题解的概念与关系 第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页