自考概率论课件第四章数字特征.ppt

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1、第第 四四 章章随随 机机 变变 量量 的的数数 字字 特特 征征4.1 随机变量的随机变量的期望期望 一、一、离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 定义定义：设离散型随机变量：设离散型随机变量X 的分布律为的分布律为 P(X=xk)=pk k=1,2,若级数若级数 绝对收敛绝对收敛，则称，则称 为随机变量为随机变量X 的的数学期望数学期望简称简称期望期望或或均值均值.记作记作EX，即即EX=否则称随机变量否则称随机变量X的数学期望不存在的数学期望不存在.注意：注意：(1)(1)定义中要求级数定义中要求级数 绝对收敛绝对收敛,保证了级数的保证了级数的 和和(期望值期望值)不因求和次

2、序的改变而改变不因求和次序的改变而改变.即若即若EX存在存在,则必唯一则必唯一.（2）当）当X的取值只有有限个，则的取值只有有限个，则（3）EX是常数是常数,它反映了随机变量它反映了随机变量X取值的平均位置取值的平均位置.例例1 掷一枚骰子，掷一枚骰子，X表示出现的点数，求表示出现的点数，求EX.解：解：X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6EX=11/6+21/6+31/6+41/6+51/6+61/6=3.5例例2(例例4-1)设设X的分布律为的分布律为解：解：EX=-10.3+00.2+10.5=0.2定义定义：设连续型随机变量：设连续型随机变量X

3、 的概率密度为的概率密度为f(x),),若积分若积分二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称绝对收敛，则称为为X的数学期望，记作的数学期望，记作EX.随机变量随机变量XUa,b，求数学期望，求数学期望EX.解：解：2.指数指数分布：设随机变量分布：设随机变量X 服从服从E()，求，求X 的期望的期望.则则EX=解：解：3.正态分布：设正态分布：设 X N(,2)，求，求 X 的数学期望的数学期望.=1/定理定理设设 Y=g(X)，g(x)是连续函数，那么是连续函数，那么(2)若若X为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为 f(x)，(1)若若X

4、 为离散型随机变量，其概率函数为为离散型随机变量，其概率函数为三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 解：解：例例4-5设随机变量设随机变量X 的分布列为的分布列为求：求：EX2，E(2X+1).P 0.3 0.2 0.4 0.1X -1 0 1 2 解：解：定理定理若若(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，Z=g(X,Y)(1)若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布为为二维离散型随机变量，其联合分布为(2)若若(X,Y)为连续型随机变量，联合密度函数为为连续型随机变量，联合密度函数为 f(x,y)且且解：解：设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为例例4-13 求：求

5、：(1)E(X+Y);(2)E(XY);(3)P(X+Y1).性质性质1 Ec=c推论推论：E(EX)=EX性质性质2 E(X+c)=EX+c 四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质3 E(cX)=cEX 性质性质4 E(aX+b)=aEX+b性质性质5 E(X Y)=EX EY推论推论 对任意常数对任意常数ci,常数常数b及随机变量及随机变量Xi(i=1,2,n),性质性质6 若若X与与Y独立独立，则，则E(XY)=EXEY.可以推广到可以推广到n个独立的随机变量的情形个独立的随机变量的情形.解：解：EX=9 0.3+10 0.5+11 0.2=9.9 例例1 两相互独立的随机变量两相

6、互独立的随机变量 X，Y 的分布如下表所示的分布如下表所示.0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y 求：求：E(X+Y)，E(XY).因因 X与与Y独立，故独立，故 E(XY)=EX EY=9.9 6.6=65.34 则则 E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5 EY=6 0.4+7 0.6=6.6例例2 设设X服从服从2,4上的均匀分布上的均匀分布,YN(1,4),求：求：E(X+2Y).4.2 方方 差差 仅有数学期望仅有数学期望EX是不够的，有时仅靠期望（平均值）不能完是不够的，有时仅靠期望（平均值）不能完全说明问题全说明问题.例如：比较两个班概率论与数理统计的

7、考试成绩例如：比较两个班概率论与数理统计的考试成绩,当平均分数相同时，就需要从另一个方面比较当平均分数相同时，就需要从另一个方面比较.即比较分数的分即比较分数的分散程度，就是分数与平均分数的偏离程度，如果一班的成绩平均散程度，就是分数与平均分数的偏离程度，如果一班的成绩平均偏离较小，说明该班成绩较集中在平均分附近，反映学习能力整偏离较小，说明该班成绩较集中在平均分附近，反映学习能力整齐，否则，说明该班学习能力参次不齐齐，否则，说明该班学习能力参次不齐.解：解：甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量 X1,X2（单位：秒），其概率函数分别如表单位：秒），

8、其概率函数分别如表 1、表、表 2 所示所示.试比较两块试比较两块手表的优劣？手表的优劣？引例：引例：P 0.1 0.8 0.1X1 -1 0 1 表表1P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1X2 -2 -1 0 1 2表表2从从平均值平均值意义上看，意义上看，两块手表质量相同两块手表质量相同.从从概率分布概率分布上看，上看，甲表质量优于乙甲表质量优于乙表表.方差方差需比较需比较|X-EX|，其大小反映误差分散的范围，其大小反映误差分散的范围.|X-EX|(X-EX)2 考虑数字特征考虑数字特征E(X-EX)2 一、方差的定义与计算一、方差的定义与计算10 称称 X -EX 为随机变量为随

9、机变量X的的离差离差，且，且E(X-EX)=0.设设E(X-EX)2存在，则称存在，则称E(X-EX)2为随机变量为随机变量X 的的方差方差.记作记作 DX 或或 VarX，即即 1.定义定义DX=E(X-EX)2注：注：20 方差方差DX就是就是X的离差平方的期望的离差平方的期望.且且DX=E(X-EX)20的数的数.称为称为X的标准差的标准差（均方差，或根方差）（均方差，或根方差）.40 方差方差DX刻划了取值与均值刻划了取值与均值EX的平均偏离程度的平均偏离程度.粗略地讲粗略地讲,方差方差DX越大，的取值越分散；越大，的取值越分散；DX越小，越小，X的取值越集中的取值越集中.50在数学推

10、导中常用方差在数学推导中常用方差DX，而在实际应用中则更常用标准差而在实际应用中则更常用标准差，这是因为标准差的量纲和随机变量的量纲一样这是因为标准差的量纲和随机变量的量纲一样.如果如果X是离散型随机变量，并且是离散型随机变量，并且 PX=xk=pk(k=1,2,)，则则如果如果X 是连续型随机变量，并且有密度函数是连续型随机变量，并且有密度函数 f(x)，则则 2.方差的计算方差的计算（1）定义法）定义法（2）重要计算公式）重要计算公式方差的计算公式：方差的计算公式：证：证：DX =E(X-EX)2=EX2-2X EX+(EX)2=EX2-E(2X EX)+E(EX)2=EX2-2EX(EX

11、)+(EX)2=EX2-(EX)2设两批纤维的长度分别为随机变量设两批纤维的长度分别为随机变量 X1,X2,其分布律为：其分布律为：例例4-16P 0.5 0.5X1 -1 1 表表1P 0.5 0.5 X2 -100 100 表表20.20.20.20.20.2P1051-5-10X 练习：练习：X 有如下分布律有如下分布律 求：求：DX 解：解：甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量 X1,X2,其概率函数分其概率函数分别如表别如表 1、表、表 2 所示所示.试比较两块手表的优劣？试比较两块手表的优劣？引例引例P 0.1 0.8 0.1X1 -1

12、0 1 表表1P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 X2 -2 -1 0 1 2表表2解解：DX2=EX22-(EX2)2=(-2)20.1+(-1)20.2+00.4+10.2+220.1=1.2 1.0-1分布分布 2.二项分布二项分布设设XB(n,p),概率分布为概率分布为X 0 1 P 1-p p 3.泊松分布泊松分布4.均匀分布均匀分布 XUa,b，求方差，求方差DX.解：解：5.指数分布指数分布6.正态分布正态分布 三、三、方差的性质方差的性质性质性质 1 Dc=0 证证:D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0性质性质 2 D(X+c)=DX性质性质 3 D(cX)=

13、c2DX证：证：D(cX)=EcX-E(cX)2=性质性质 4 D(aX+b)=a2 DX (a,b 为常数为常数)EcX-cEX 2=Ec2(X-EX)2=c2DX性质性质 5 若随机变量若随机变量X，Y独立独立，则则D(X Y)=DX+DY.证：证：D(X Y)=E(X Y)-E(X Y)2=E(X-EX)(Y-EY)2 =E(X-EX)2+(Y-EY)2 2(X-EX)(Y-EY)=DX+DY 2E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)2+E(Y-EY)2 2E(X-EX)(Y-EY)而而E(X-EX)(Y-EY)=EXY-XEY-YEX+EXEY D(X Y)=DX+DY10若若X1

14、,X 2,Xn 独立独立,则则D(X1+X 2+X n)=DX1+DX2+.+DXnD(a1X1+a2X 2+anXn)=a12 DX1+a22 DX2+.+an2 DX n=E(XY)-EXEY又又X,Y独立，所以独立，所以 E(XY)=EX EYE(X-EX)(Y-EY)=0所以所以注：注：20D(X Y)=DX+DY 2E(X-EX)(Y-EY)30 E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EXEY20协方差是方差的推广，或方差是协方差的特例：协方差是方差的推广，或方差是协方差的特例：Cov(X,X)=DX.反之不然反之不然.4.3 4.3 协方差协方差 相关系数相关系数 X 与与 Y独

15、立独立Cov(X,Y)=0解：因为解：因为例例3例例4-31设设(X,Y)圆域圆域 上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求Cov(X,Y),并问并问X,Y是否相互独立？是否相互独立？可求得边缘分布为：可求得边缘分布为：显然，显然，故故X,Y是不独立是不独立.性质性质4 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)性质性质1 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)性质性质2 Cov(X,c)=0 性质性质3 Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E(X EX)(Y-EY)3.协方差的性质协方差的性质 注：注：协方差的缺点：协方差的缺点：Cov(X,Y)在一定

16、程度上反映了在一定程度上反映了X与与Y的相关关系，但它是一个有量纲的量，即：若的相关关系，但它是一个有量纲的量，即：若X、Y各放各放大大k倍，直观讲倍，直观讲X与与Y之间的关系不应因放大相同倍数而之间的关系不应因放大相同倍数而变化，但是协方差在数值上是原来的变化，但是协方差在数值上是原来的k2倍倍,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y).二、相关系数二、相关系数则则2.相关系数的性质相关系数的性质相关系数相关系数 是刻划是刻划X,Y之间线性关系强弱的特征数之间线性关系强弱的特征数.三、矩三、矩基本要求基本要求:1.理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质与理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质与 计算计算.2.要熟记要熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差，并熟练应用指数分布和正态分布的数学期望与方差，并熟练应用.3.熟记协方差、相关系数的定义，会计算熟记协方差、相关系数的定义，会计算.重点：重点：数学期望、方差性质与计算数学期望、方差性质与计算.常用分布的数学期望与方差常用分布的数学期望与方差.本章小结