高等数学总结1.ppt
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1、第一篇第一篇 极限论极限论第二篇第二篇 微积分学微积分学第三篇第三篇 级数论级数论 高等数学大结局高等数学大结局第四篇第四篇 空间解析几何空间解析几何 第五篇第五篇 微分方程微分方程 第六篇第六篇 差分方程差分方程 第一篇第一篇 极限论极限论第二篇第二篇 微积分学微积分学第三篇第三篇 级数论级数论 数学分析数学分析第四篇第四篇 空间解析几何空间解析几何 第五篇第五篇 微分方程微分方程 解析几何,解析几何,线性代数线性代数常微分方程常微分方程第六篇第六篇 差分方程差分方程 大学高年级可能会进一步学习的数学课程大学高年级可能会进一步学习的数学课程线性代数线性代数:行列式,线性方程组,矩阵,:行列式
2、,线性方程组,矩阵,二次型等数学对象及其关系。二次型等数学对象及其关系。概率论及数理统计概率论及数理统计:研究或然性问题及:研究或然性问题及统计规律的数学学科。统计规律的数学学科。运筹学运筹学:将数学理论应用于实际问题的:将数学理论应用于实际问题的数学应用学科。包含有众多的分支。数学应用学科。包含有众多的分支。第一篇第一篇 极限论极限论数学发展简史数学发展简史2.初等数学(常量数学)时期:前初等数学(常量数学)时期:前5世纪世纪-17世纪。中世纪。中学数学主要内容。学数学主要内容。1.数学的形成时期:思想和概念的萌芽与形成。数学的形成时期:思想和概念的萌芽与形成。一般的,数学的发展被分为四个阶
3、段一般的,数学的发展被分为四个阶段3.高等数学(变量数学)时期:高等数学(变量数学)时期:17-19世纪。函数成为世纪。函数成为数学的主要研究对象,变量进入了数学,运动进入了数数学的主要研究对象,变量进入了数学,运动进入了数学。这个时期的主要成果:解析几何,微积分,线性代学。这个时期的主要成果:解析几何,微积分,线性代数,微分方程,概率论,构成了大学数学主要内容。数,微分方程,概率论,构成了大学数学主要内容。4.现代数学时期:现代数学时期:19世纪至今。数学各分支(几何,世纪至今。数学各分支(几何,代数,分析)的深刻变化为特征。代数,分析)的深刻变化为特征。在数学发展的第三阶段,函数成为数学的
4、主要研在数学发展的第三阶段,函数成为数学的主要研究对象,极限方法就成为分析函数特征的主要方究对象,极限方法就成为分析函数特征的主要方法。极限法又称为无穷小分析法,这是整个微积法。极限法又称为无穷小分析法,这是整个微积分以及其他数学学科的基础。分以及其他数学学科的基础。极限概念对于高等数学的重要意义极限概念对于高等数学的重要意义高等数学其它概念的基础。高等数学其它概念的基础。初等数学与高等数学的分水岭。初等数学与高等数学的分水岭。人类对极限的认识:一点历史知识人类对极限的认识:一点历史知识公元前公元前450年的几个悖论:芝诺悖论年的几个悖论:芝诺悖论二分法:线段如果可以无限可分,则运动是不可能的
5、二分法:线段如果可以无限可分,则运动是不可能的龟兔赛跑龟兔赛跑箭:如果时间是有不可分的瞬息组成,则运动的箭是箭:如果时间是有不可分的瞬息组成,则运动的箭是静止的静止的一尺之捶,日取其半,万世不竭一尺之捶,日取其半,万世不竭十七世纪末期,完善微积分理论的需十七世纪末期,完善微积分理论的需要,才有柯西的要,才有柯西的 描述法描述法Cauchy小传小传:1789-1857,法国,发表,法国,发表800多篇论文,多篇论文,7本专著,其父与拉格朗日、拉普拉斯好友。本专著,其父与拉格朗日、拉普拉斯好友。哲学上,人类了解极限是人类对宏观哲学上,人类了解极限是人类对宏观和微观世界认识在数学上的反映。和微观世界
6、认识在数学上的反映。第二篇第二篇 微积分学微积分学一元函数微积分一元函数微积分多元函数微积分多元函数微积分微分学微分学积分学积分学微积分的起源:几个人物微积分的起源:几个人物最初和现代积分概念相关的问题:计算面积、体积最初和现代积分概念相关的问题:计算面积、体积和弧长。和弧长。u安提丰:前安提丰:前480-前前411,古希腊,古希腊,“智人学派智人学派”代表人物(倍立方、三等分任意角、化圆为代表人物(倍立方、三等分任意角、化圆为方)。最早提出用多边形的面积穷竭圆的面积,方)。最早提出用多边形的面积穷竭圆的面积,这是积分学的雏形。这是积分学的雏形。最初和现代微分概念相关的问题:曲线的切线、函最初
7、和现代微分概念相关的问题:曲线的切线、函数的极大极小值等。数的极大极小值等。u费尔马:费尔马:1629年,法,明确了函数极值问题。年,法,明确了函数极值问题。业余数学家,解析几何的发明者之一。业余数学家,解析几何的发明者之一。Fermat大定理。大定理。微积分的确立:历史争论微积分的确立:历史争论微积分的正式发明在十七世纪。微积分的发明奠定微积分的正式发明在十七世纪。微积分的发明奠定了现代分析数学的基础。了现代分析数学的基础。u牛顿,牛顿,1642-1727,英,最为重要的三大发现:,英,最为重要的三大发现:微积分、力学和引力定律、光谱分析均在躲避鼠微积分、力学和引力定律、光谱分析均在躲避鼠疫
8、期间,时年疫期间,时年23岁,岁,“从世界开始到牛顿的年代从世界开始到牛顿的年代的全部数学,牛顿的工作超过了一半的全部数学,牛顿的工作超过了一半”(莱布尼(莱布尼茨),晚年潜心神学。茨),晚年潜心神学。u莱布尼茨,莱布尼茨,1646-1716,德,职业外交家,后,德,职业外交家,后人总结其研究范围包括人总结其研究范围包括41个领域。微积分的另一个领域。微积分的另一发明人,很多数学符号都来自于他,曾编辑出版发明人,很多数学符号都来自于他,曾编辑出版中国新事萃编中国新事萃编,研究,研究易经易经,送过一台计,送过一台计算机给康熙,一生未婚。算机给康熙,一生未婚。发明权的争论:后人认为,莱布尼茨发明权
9、的争论:后人认为,莱布尼茨1675年发表了年发表了历史上第一篇有关微积分的论文,但是牛顿历史上第一篇有关微积分的论文,但是牛顿1669年发年发明流数法(明流数法(“流数流数”就是现在的导数),就是现在的导数),流数法流数法写于写于1671年,但年,但1736年才发表。牛顿的这个习惯使得年才发表。牛顿的这个习惯使得数学的发展至少推迟数学的发展至少推迟40年。年。牛顿和莱布尼茨的争论使得英国的数学家认牛顿为牛顿和莱布尼茨的争论使得英国的数学家认牛顿为他们的导师,割断了于欧洲大陆的联系,有人估计,他们的导师,割断了于欧洲大陆的联系,有人估计,这使英国数学落后了一百年。这使英国数学落后了一百年。我们现
10、在学习的微积分理论,已经经过数学家们长我们现在学习的微积分理论,已经经过数学家们长期的补充、完善,无论从理论还是逻辑基础、符号表期的补充、完善,无论从理论还是逻辑基础、符号表达,都和牛顿,莱布尼茨等人当时的描述方式有很大达,都和牛顿,莱布尼茨等人当时的描述方式有很大的改进,当时他们对微积分的叙述和论证建立在大量的改进,当时他们对微积分的叙述和论证建立在大量的直观的、没有严格、统一的数学定义的基础上。的直观的、没有严格、统一的数学定义的基础上。微积分发展初期,对极限并没有一个准确的定义,微积分发展初期,对极限并没有一个准确的定义,所以造成了许多概念上的混乱,所以罗尔说:微积分所以造成了许多概念上
11、的混乱,所以罗尔说:微积分就是一些巧妙的谬论的集合,对所谓的无穷小的不同就是一些巧妙的谬论的集合,对所谓的无穷小的不同理解引起了数学发展的第二次重大危机。理解引起了数学发展的第二次重大危机。历史上看,微积分是为了解决实际问题的需要而产历史上看,微积分是为了解决实际问题的需要而产生的一种计算方法,它的产生为近现代数学和物理学生的一种计算方法,它的产生为近现代数学和物理学提供了强大的工具。没有微积分就不可能有现代自然提供了强大的工具。没有微积分就不可能有现代自然科学的发展。科学的发展。u柯西:柯西:1789-1857,法,为微积分引入,法,为微积分引入了严格清晰的表述和证明方法,形成微积了严格清晰
12、的表述和证明方法,形成微积分的现代体系。我们现在看到的大部分的分的现代体系。我们现在看到的大部分的描述和定义方式基本都来自于柯西。描述和定义方式基本都来自于柯西。数学小知识:数学发展史上的三次危机:无理数的数学小知识:数学发展史上的三次危机:无理数的诞生,分析基础的完善,数理逻辑的发展。诞生,分析基础的完善,数理逻辑的发展。一元函数微积分一元函数微积分一元函数微分学一元函数微分学一元函数积分学一元函数积分学在数学中,每一种运算总会存在着另外一种与之相在数学中,每一种运算总会存在着另外一种与之相逆的运算,它们对数学的量起着相反的作用。比如加逆的运算,它们对数学的量起着相反的作用。比如加与减、乘与
13、除、指数与对数、三角与反三角、与减、乘与除、指数与对数、三角与反三角、在哲学上,每一个范畴都有相对应的另外一个范畴在哲学上,每一个范畴都有相对应的另外一个范畴存在,运动与静止、物质与意识、对立和统一、质变存在,运动与静止、物质与意识、对立和统一、质变和量变、时间和空间。和量变、时间和空间。微分和积分的关系类似于加和减、乘与除的关系,微分和积分的关系类似于加和减、乘与除的关系,它们是互逆的。它们是互逆的。一元函数微分学一元函数微分学导数:导数:基本导数公式基本导数公式微分:微分:可导与可微的关系:可导与可微的关系:中值定理:中值定理:罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中
14、值定理柯西中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理洛必达法则:洛必达法则:导数的应用:导数的应用:函数单调性判定函数单调性判定函数极值及其求法函数极值及其求法函数最大值以及最小值问题函数最大值以及最小值问题曲线的凸凹与拐点曲线的凸凹与拐点函数图像的描绘函数图像的描绘几个人物几个人物u罗尔,罗尔,1652-1719,法,只受过初等教育,年轻时穷,法,只受过初等教育,年轻时穷困潦倒,后因为数学成求进入法国科学院。主要成就在困潦倒,后因为数学成求进入法国科学院。主要成就在方程方面,方程方面,“微积分是巧妙的谬论的汇集微积分是巧妙的谬论的汇集”。u拉格朗日,拉格朗日,1763-1813,法,法,19岁被聘为教
15、授,数学各岁被聘为教授,数学各个领域均有建树,微分方程的常数变易法为其提出,个领域均有建树,微分方程的常数变易法为其提出,“死死亡并不可怕,它只不过我遇到的最后一个函数亡并不可怕,它只不过我遇到的最后一个函数”。u泰勒,泰勒,1685-1731,英,皇家学会会员,牛顿莱布尼茨,英,皇家学会会员,牛顿莱布尼茨之争的仲裁委员为委员,泰勒在处理泰勒级数时,并没有之争的仲裁委员为委员,泰勒在处理泰勒级数时,并没有考虑到收敛性,后由柯西证明,晚年钻研宗教和神学。考虑到收敛性,后由柯西证明,晚年钻研宗教和神学。u洛必达小传:洛必达小传:1661-1704,法,贵族,其微积分成就许,法,贵族,其微积分成就许
16、多来自于其老师贝努利,包括洛必达法则,当时解决的仅多来自于其老师贝努利,包括洛必达法则,当时解决的仅仅是零比零型,其它的是后人的推广,比如后来的欧拉。仅是零比零型,其它的是后人的推广,比如后来的欧拉。不定积分不定积分定积分定积分定积分的应用定积分的应用一元函数积分学一元函数积分学不定积分不定积分原函数原函数不定积分定义不定积分定义是常数是常数)基本积分表基本积分表基本积分方法基本积分方法直接积分法直接积分法第一类换元法(凑微分法)第一类换元法(凑微分法)第二类换元法第二类换元法分部积分法分部积分法定积分定积分定义定义积分上限函数积分上限函数牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式根据牛根据牛-莱公式
17、,定积分的计算主要是求原函数,即莱公式,定积分的计算主要是求原函数,即不定积分问题。不定积分问题。广义积分广义积分无穷限广义积分无穷限广义积分无界函数广义积分无界函数广义积分定积分应用定积分应用面积面积体积体积弧长弧长旋转体的侧面积旋转体的侧面积质量、转动惯量、引力、压力,变力做功、均值质量、转动惯量、引力、压力,变力做功、均值定积分应用定积分应用定积分的应用问题是促使微积分发展的动力,也是定积分的应用问题是促使微积分发展的动力,也是牛顿莱布尼茨发明微积分的原因。牛顿莱布尼茨发明微积分的原因。历史上看,数学家们为解决这样一些问题,从而寻历史上看,数学家们为解决这样一些问题,从而寻求数学方法,这
18、样才有了微积分的思想,为了将这种求数学方法,这样才有了微积分的思想,为了将这种思想建立在坚实的的理论基础上,数学家们经过了长思想建立在坚实的的理论基础上,数学家们经过了长久的努力,经过长久的完善、补充,才形成了我们现久的努力,经过长久的完善、补充,才形成了我们现在课本上的微积分的系统的知识。在课本上的微积分的系统的知识。概括而言,先有了现实的问题,为了解决这些问题,概括而言,先有了现实的问题,为了解决这些问题,牛顿等发明了微积分方法,为了使这个方法在理论和牛顿等发明了微积分方法,为了使这个方法在理论和逻辑上更为有力,才逐步总结了极限的有关结论,以逻辑上更为有力,才逐步总结了极限的有关结论,以及
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