自动控制原理第.pptx

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1、通过对前一章/控制系统时域分析的讨论,我们已经知道，只要能求得/系统微分方程的/特征方程式的根，即系统闭环传递函数的极点，则系统的稳定性和动态性能就可以确定。第1页/共52页解：闭环传递函数为 系统特征方程为若参变量K1从0变化时，特征方程根的变化情况如表根轨迹图以系统增益K1为参变量，当K1由0时，系统闭环极点在s平面上变化的轨迹。根据此图可分析参数K1变化对系统特性的影响。K1 0 0.125 0.25 0.5 s1 0 -0.146 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+js2 -1 -0.854 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j第2页/共52页n稳定性 当K1由0，根轨迹不

2、会进入s右半边，即系统总是稳定的。n稳态特性 坐标原点有一个开环极点，所以属I型系统，根轨迹上的 K1值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围。n动态特性 当0 K1 0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。系统动态响应的基本特征是由闭环极点的位置决定的。第3页/共52页 一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是系统的开环传递函数Kg（也称为根轨迹增益）。Kg常规根轨迹 Kg以外的参数参量根轨迹以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。为此，

3、需要：研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。第4页/共52页4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则本节重点:掌握根轨迹的绘制方法本节难点：根轨迹的出射角和入射角 一、根轨迹的幅值条件和相角条件一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为其开环传递函数由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得在S平面上的任一点，凡能满足以上幅角和相角条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。第5页/共52页开环传递函数通常又可以写为其中 开环传递系数 开环零点、极点即其中 开环零点到S的矢量角 开环极点到S的矢量角在测量相角时，规定以逆时针方向为正。第6页/共52页 凡满足幅值和幅角条件的s值，都是闭

4、环极点特征方程 根。这些 s 值构成系统根轨迹关键找出这些s点。通常：（1）寻找满足幅角条件的s值来绘制根轨迹曲线，（2）用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K1值。工程上定义：（1）当 0 K1+时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。（2）当 K1 0 时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹。（3）当 K1+时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。绘制根轨迹的步骤：（1）寻找满足幅角条件所有的s点，由这些点构成根轨迹；（2）根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的K1值。第7页/共52页例 已知开环系统的传递函数如下式，设 为该闭环系统的一个极点，求其对应的传递系数 。式中 为开环有限零

5、点；为开环 极点。解：在上图，各相角必满足再按幅值条件求得该点的根轨迹传递系数基本思想:由相角条件确定根轨迹上的某点位置，根据幅值条件确定根轨迹上某一点对应的增益。第8页/共52页二、根轨迹绘制法则1.连续性：根轨迹是连续的 2.对称性由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴3、根轨迹的条数为系统的阶数-即系统特征方程的阶数。也为开环传递函数的极点数第9页/共52页3.起点（Kg=0）和终点（Kg=）根轨迹的起点为开环传递函数的极点，此时Kg=0。根轨迹的终点为开环传递函数的零点，此时Kg=若起点数n大于零点数m,则有m条根轨迹终于零点，有n-m条终

6、于无穷远处（相当于有n-m个零点隐藏在无穷远处）第10页/共52页根据幅值条件当 时，-起点：说明根轨迹起始于开环传递函数的极点。第11页/共52页终点：（1）有 m 条根轨迹终止于开环传递函数的m个有限零点。当 时，把这 m 个零点称之为系统的有限零点。（2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限 零点。当 时，上式表明：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处的零点称之为无限零点。第12页/共52页举例：已知某系统的开环传递函数为试确定系统根轨迹的起点和终点。试确定下面闭环特征方程根轨迹的起点和终点。第13页/共52页5.实轴上的根轨迹 在S平面实轴上的线段存在根

7、轨迹的条件是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数。例4-26.分离点和会合点j第14页/共52页闭环特征方程式1、求出S值（即可能的分离点和会合点）2、3、s对应的Kg值为正时，才是实际的分离或会合点。例4-3 P84第15页/共52页例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。解：系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。根据根轨迹绘制原则可知，根轨迹与实轴相重合的区间为 -0.1-0.5,-1。求根轨迹的分离点和会合点：第16页/共52页求对应分离点、会合点的Kg：jS1=-0.33Kg1=0.06S1=-1.67Kg1=2.7

8、4例4-3 四重分离点 复数分离点第17页/共52页7.渐近线（1）渐近线条数：n-m条，根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远（2）渐近线交点：与实轴交于一点 坐标为（-，j0）k为0,1,2,n-m-1第18页/共52页幅角条件：当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等得到所以渐近线的倾角：共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。根轨迹渐近线的倾角第19页/共52页例4-4：已知：试画出根轨迹的大致图形。解：按根轨迹绘制的规则：（1）起点：0，-1，-5；终点：，。（2）分支数：n=3（3）根轨迹对称于实轴。（4）渐近线：因为本系统中，所以渐近线共 有3条。渐近线的

9、倾角：取k0，1，2，得到：第20页/共52页 渐近线与实轴的交点：（5）根轨迹在实轴上的分布：0-1，-5-之间。-5-2第21页/共52页第22页/共52页例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。解：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为0，-2和-4。第23页/共52页方法二：劳斯判据 若劳斯表第一列中有一为零项，且其余各项都具有正号，则系统为临界状态，即有零根或虚根。8.与虚轴的交点 方法一：代数法 将s=jw代入系统特征方程，令实部和虚部分别等于零，求出w和对应的K值。第24页/共52页例 已知系统的特征方程为:方法一：将 代入特征方程经整理得例4-5第25页/共5

10、2页方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，系统型别为一型。列劳斯表若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界稳定状态，因此又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程。第26页/共52页9.出射角与入射角 出射角：根轨迹从复数极点出发后的走向。入射角：根轨迹从复数进入零点的走向。-除被测终点外，所有开环有限零点到该点矢量的相角。-除被测起点外，所有开环极点到被测极点矢量的相角。根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角第27页/共52页其等效传递

11、函数为其渐近线为其出射角为j例 求以下特征方程的根轨迹。第28页/共52页4.3 系统根轨迹的绘制和开环零、极点对根轨迹的影响序序内容内容规规 则则 1起点起点终点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）无限零点）2分支数分支数等于特征方程的阶数或等于特征方程的阶数或开环传递函数的极点数（开环传递函数的极点数（n m）3对称性对称性对称于实轴对称于实轴4渐近线渐近线相交于实轴上的同一点：相交于实轴上的同一点：坐标为：坐标为：倾角为：倾角为：5实轴上实轴上分布分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内

12、存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数奇数第29页/共52页序序内容内容规规 则则 6 6分离分离（回合）（回合）点点7 7出射角出射角入射角入射角复极点复极点处的出射角：处的出射角：复零点复零点处的入射角：处的入射角：8 8虚轴交点虚轴交点（1）将）将s=jw代入系统特征方程，令实部和虚部分别等于代入系统特征方程，令实部和虚部分别等于零，求出零，求出w和对应的和对应的K值。（值。（2）由劳斯阵列求得）由劳斯阵列求得1、求出S值（即可能的分离点和会合点）2、3、s对应的Kg值为正时，才是实际的分离或会合点。若劳斯表第一列中有一为零项

13、，且其余各项都具有正号，则系统为临界状态，即有零根或虚根。-除被测终点外，所有开环有限零点到该点矢量的相角。-除被测起点外，所有开环极点到被测极点矢量的相角。第30页/共52页例4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为试画出其根轨迹。解：（1）系统有三个开环极点（起点）：（2）实轴上有根轨迹的区间为0，-1，-4，-。（3）根轨迹的分离点可按以下公式计算解此方程得因为在-1，-4区间不可能有根轨迹，所以分离点应为（4）根轨迹的渐近线第31页/共52页（5）根轨迹与虚轴的交点令 ，得解之得第32页/共52页增加零点对根轨迹形状的影响 例4-7增加开环零点的影响第33页/共52页开环零点、极点对

14、根轨迹的影响1.增加开环零点，使根轨迹往左移。例 已知系统结构图如下图所示。R(s)Y(s)R(s)Y(s)jj-1/第34页/共52页2.增加开环极点，使根轨迹往右移。例 已知系统结构图如下图所示。R(s)Y(s)R(s)Y(s)jj第35页/共52页根轨迹的绘制不必太准确，主要是一些关键点需要准确，例如：实轴上的根轨迹、分离点、与虚轴的交点等，这样才能很好确定根轨迹的大致走向。在根据开环零、极点的分布初步确定出根轨迹的图形后，特别要认真检查和计算，是否存在分离点，否则可能导极完全错误的结论。第36页/共52页例：没有分离点分离点为：-3第37页/共52页没有分离点分离点为：-2.5；-4第

15、38页/共52页第四节 参量根轨迹 选择除Kg以外其他参量作为可变参量绘制的根轨迹，称为参量根轨迹，由称为广义根轨迹。当选择Kg为可变参量时，特征方程为：当选择系统其它参量为可变参量时，并以所选可变参量a代替Kg的位置：取等效开环传递函数 则前面所介绍的相角、幅值条件和绘制根轨迹的各种规则都依然适用。第39页/共52页例4-8 试绘制图所示,试绘制以为参变量的根轨迹图4-13 根轨迹图解：特征方程式第40页/共52页例4-8一般系统参量根轨迹的绘制步骤：1、求出原系统的特征方程2、以特征方程中不含该参量的各项除特征方程，得等效系统的开环传递函数。3、根据上一节介绍的根轨迹绘制规则，绘制等效系统

16、的根轨迹，即得原系统的参量根轨迹。第41页/共52页第五节 系统性能的根轨迹分析绘制根轨迹的目的，主要在于根据系统闭环零、极点的分布对系统的性能进行分析。一个性能良好的系统，对闭环零、极点有如下要求：1、稳定性所有闭环极点应位于s平面的左半平面。2、快速性：各闭环极点应尽量远离虚轴。3、平稳性：4、合理配置主导极点及闭环零点的位置：复数极点最好设置在 附近，系统的平稳性和快速性都较好。主导极点一般选为一对复数共轭极点，以便按二阶系统的性能指标来分折。偶极子：一对靠得很近的闭环零极点。故在综合设计中，加入适当的零点去抵消对系统动态过程影响较大的不利极点。第42页/共52页利用根轨迹分析法对系统进

17、行性能分析主要包括以下几个方面：1、参数变化对系统稳定性的影响2、计算系统的瞬态和稳态性能3、根据性能要求确定系统的参量第43页/共52页一、系统稳定性分析例4-9 设某开环系统传递函数为：试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时K的取值范围。我们把参数在一定范围内取值才能使系统稳定的系统称为条件稳定系统。对于条件稳定系统可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。P89 图14-14第44页/共52页二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹法可清楚地看到开环增益和其他参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。现以典型的二阶系统为例，系统的开环传递函数为：闭环系统极点 因而可由系统闭

18、环极点的张角 确定系统的超调量，由系统闭环极点的实部 来确定调节时间ts对于二阶及具有一对共轭复数主导极点的高阶系统来说，可求出其动态性能指标，反之由动态性能指标要求来确定开环系统的放大系数及其他参数。第45页/共52页例4-10根之和系统闭环极点之和等于开环极点之和为一常数:-闭环特征根；-开环极点第46页/共52页P91题4-2（2）：巳知系统开环传递函数如下所示，求其分离点。开环极点为：第47页/共52页解出分离点为：系统根轨迹如下所示：第48页/共52页第49页/共52页例 分析K的变化对系统稳定性的影响系统稳定的K的范围为:0K35第50页/共52页第四章小结:根轨迹的定义根轨迹的基本概念 根轨迹方程 幅角条件 相角条件 常规根轨迹的绘制原则（共10条）根轨迹的绘制方法 参量根轨迹（等效开环传递函数）开环零点、极点分布对系统性能的影响根据根轨迹分析系统性能 稳定性 性能分析 稳态性能 动态性能根轨迹第51页/共52页52感谢您的观看！第52页/共52页