自动控制原理简明根轨迹法.pptx

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1、1设系统的开环传递函数第1页/共34页2 根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点(或会合点)与特征方程式的重根相对应。若为二重根，必同时满足 和 。因此求得：消去 ，可得到：便于忘记，上式又可写成：或 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。第2页/共34页3例:设系统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。解：系统的开环传递函数：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K0，故s1舍去；s2代入，求得K0。所以s2会合点。(舍去)第3页/共34页4检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。一般

2、来说一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点)之间；则个分离点(会合点)。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。第4页/共34页5 四重分离点 复数分离点第5页/共34页6 另外两种表达形式：(1)因为令 ,即得到第6页/共34页7仍以上例说明:因为令求得(舍去)第7页/共34页8(2)因为 即 其中 即 所以 -第8页/共34页9 仍以上例说明:因为 消去分母 解上式得到 经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以

3、求得的结果一定要检验，舍去K0所对应的值。（舍去）第9页/共34页10复杂情况用试探法。复杂情况用试探法。在-2-3之间存在一个分离点。所以分离点的位置为 第10页/共34页117、根轨迹的出射角与入射角 若根轨迹的一个分支离开复极点 的出射角为 ，则 （各零点到 的向量幅角 之和）（其它各极点到 的向量幅角 之和）若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为 ，则 (各极点到 的向量幅角 之和)(其它各零点到 的向量幅角 之和)第11页/共34页12 出射角(或入射角)是指根轨迹离开复极点(或终止复零点)处切线的倾角。在根轨迹曲线上取试验点s1，与复极点-pa的距离为 。当 时，可近似地认为s

4、1在切线上，切线的倾角就等于复极点的出射角。所以 的出射角:第12页/共34页138.根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 的 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。介绍常用的三种方法。(1)利用特征方程求取。用 替代s，令虚部、实部分别等于 零，求得 和对应的K1。(2)利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助 方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。(3)利用试探法求取。先给出根轨迹的大致图形，根据经验 选择满足幅角条件的试探点求出 ，再利用幅值条件确 定交点处的K1值。第13页/共34页14 解：

5、起点：0 3 1j 1-j 终点：(1)渐近线：n-m=4 条。倾角：与实轴的交点：(2)实轴上的根轨迹：例例 试绘制根轨迹图第14页/共34页15第15页/共34页16(3)分离点：试探法求得(4)p2出射角 :-p1,-p3,-p4到-p2 的幅角分别 、.所以同理不难求得极点-p3处的出射角：(5)根轨迹与虚轴的交点：方法一：由特征方程求：特征方程：第16页/共34页17实部方程：虚部方程：解得：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列令 s1行首项为零，即求K1=8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程(舍去)1.13=w w1.12=w w01=w w第17页/共34页189.根轨迹的走向

6、 当n-m2满足时，随着K1增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。开环传递函数：特征方程：当满足n-m2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通常把称之为极点的“重心”。第18页/共34页19 当K1变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动.例第19页/共34页2010.根轨迹上K1值的计算根轨迹上任一点S1处的K1可由幅值条件来确定。即 =第20页/共34页21 例:系统的开环传递函数试画根轨迹，并确定 时K1的值。解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。(1)渐近线：3条。渐近线的夹

7、角：渐近线与实轴的交点：（2）分离点：即 （舍去）第21页/共34页22（3）与虚轴的交点系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令 代入，求得 实部方程:虚部方程：解得：(舍去)（4）确定 时的K1 值：过原点作OA射线交根轨迹于A，使得 ，测量得:求得第22页/共34页23A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置:K1=44.5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。第23页/共34页24绘制根轨迹图的十条规则绘制根轨迹图的十条规则序内容规 则 1起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）2分支数等于开环传递函数的极点数（nm）3对

8、称性对称于实轴4渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：5实轴上分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数第24页/共34页25序序内容内容规规 则则 6 6分离（回分离（回合）点合）点实轴上的分离（会合）点实轴上的分离（会合）点（必要条件）（必要条件）7 7出射角出射角入射角入射角复极点复极点处的出射角：处的出射角：复零点复零点处的入射角：处的入射角：8 8虚轴交点虚轴交点（1）满足特征方程）满足特征方程 的的 值；值；（2）由劳斯阵列求得（及）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；响应的值）；9 9走向走向当当 时时，一些轨迹向右，则另一

9、些将向左。一些轨迹向右，则另一些将向左。1010K1计算计算 根轨迹上任一点处的根轨迹上任一点处的K1：第25页/共34页26一、复域分析一、复域分析1 1稳定性分析：稳定性分析：当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。当K1240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实 部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。2 2稳态性能分析：稳态性能分析：系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，K1越大，ess越小，稳态性能也越好，但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳

10、定状态。4.3 控制系统性能的复域分析第26页/共34页273 3动态性能分析：动态性能分析：当当0K0K1 11717时，系统根为负实数，可看成三个惯性环节串联。时，系统根为负实数，可看成三个惯性环节串联。当当17K17K1 1240240时，两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭时，两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，系统的阶跃响应带有振荡特性。复根，系统的阶跃响应带有振荡特性。K K1 1越大，振荡越厉害。越大，振荡越厉害。若取若取=0.5=0.5，极点：，极点：s s1 1=-1.2+j2.1=-1.2+j2.1，s s2 2=-1.2-j2.1=-1.2-j2.1，s s3

11、3=-7.6=-7.6。s s1 1、s s2 2可看成主导极点，可看成主导极点，s s3 3可忽略，即可用二阶系统可忽略，即可用二阶系统的来近似该系统。求得复域动态性能指标：的来近似该系统。求得复域动态性能指标：=0.5=0.5，n n=2.4=2.4对应的时域指标：对应的时域指标：t ts s=2.9s=2.9sp p=16.3%=16.3%第27页/共34页28二、增加开环零、极点对系统性能的影响二、增加开环零、极点对系统性能的影响系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。

12、同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。1 1增加极点增加极点（以具体系统加以说明）（以具体系统加以说明）一般可以认为，当函数一般可以认为，当函数G(s)H(s)G(s)H(s)在在s s左半平面增加极点，会左半平面增加极点，会促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。设设 系统的开环传递函数：系统的开环传递函数：增加极点增加极点:s=-b:s=-b第28页/共34页29 增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由900变为600。分离点向右移。(a)稳定，(b)在K1小时稳定，K1大可能不稳定。(a)(b)第29页/共34页30第30页/共34页31

13、-2 2增加零点增加零点（以具体系统加以说明）（以具体系统加以说明）对对G(s)H(s)G(s)H(s)函数增加零点，会使根轨迹向函数增加零点，会使根轨迹向s s平面左半部移动，平面左半部移动，系统的稳定性增加。系统的稳定性增加。增加一个实零点后的根轨迹第31页/共34页32增加一对共轭复数零点后的根轨迹第32页/共34页333.3.闭环零、极点对系统动态性能的影响闭环零、极点对系统动态性能的影响(1)(1)闭环极点的分布决定了动态响应的类型闭环极点的分布决定了动态响应的类型(振荡情况振荡情况)；(2)(2)闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标；标；(3)(3)闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度速度 加快，超调量增大，峰值时间提前；加快，超调量增大，峰值时间提前；(4)(4)系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点；系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点；(5)(5)远离虚轴的极点远离虚轴的极点(或零点或零点)和偶极子对动态性能的和偶极子对动态性能的影响影响 可以忽略；可以忽略；(6)(6)主导极点主导极点对系统的动态性能起主导作用；对系统的动态性能起主导作用；第33页/共34页34感谢您的观看！第34页/共34页