高等数学2.8-2点积叉积.ppt

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1、五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式两点间的距离公式两点间的距离公式:与与2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 任取空间一点任取空间一点 O,称称 =AOB(0 )为向量为向量 的夹角的夹角.类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,为其为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作记作3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影,在在8.2简介简介方向余弦的性质方向余弦的性质:思考：思考：若若 ,是向量是向量与三

2、坐标与三坐标面面的夹角，的夹角，例例7.已知两点已知两点和和的模的模、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角.解解:计算向量计算向量例例8.设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解:已知已知角依次为角依次为求点求点 A 的坐标的坐标.则则因点因点 A 在第一卦限在第一卦限,故故于是于是故点故点 A 的坐标为的坐标为 向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积8.2 8.2 数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积 第八章第八章 简单介绍定义简单介绍定义及计算及计算.一、两向量的数量积一、两向量的数量积1.定义定义

3、 设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作数量积数量积(点积点积).在物理学中在物理学中,记作记作故故2.性质性质为两个非零向量为两个非零向量,则有则有=记作记作2.性质性质(1)向量在数轴上的投影向量在数轴上的投影(简介简介)x同理可定义向量在y,z轴上的投影轴上的投影(2)3.点积的运算律点积的运算律(1)交换交换律律(2)结合律结合律(3)分配律分配律事实上事实上,当当时时,显然成立显然成立;例例1.证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理证证:则则如图如图.设设4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示!设设则则当当为非零向量时为非零向量时,由于由于两向量的夹角公式两向量的夹角公式,得得例

4、例2.已知三点已知三点 AMB.解解:则则求求故故为为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度流体密度例例3.设均匀流速为设均匀流速为的流体流过一个面积为的流体流过一个面积为 A 的平的平面域面域,与该平面域的单位垂直向量与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积单位时间内流过的体积的夹角为的夹角为且且为单位向量为单位向量平面域平面域曲面域曲面域且曲面上每一点处的流速是且曲面上每一点处的流速是非均匀的非均匀的(大小方向均变化大小方向均变化)?在第在第11章我们也能解决章我们也能解决,这就是数学的魅力这就是数学的魅力.二、两向量的向量积二

5、、两向量的向量积引例引例.设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点,有一个与杠杆夹角为有一个与杠杆夹角为符合右手规则符合右手规则矩是一个向量矩是一个向量 M:的力的力 F 作用在杠杆的作用在杠杆的 P点上点上,则力则力 F 作用在杠杆上的力作用在杠杆上的力1.定义定义定义定义向量向量方向方向:(叉积叉积)记作记作且符合右手规则且符合右手规则模模:向量积向量积,称称引例中的力矩引例中的力矩右图三角形面积右图三角形面积S2.性质性质为非零向量为非零向量,则则3.运算律运算律(2)分配律分配律(3)结合律结合律(证明略证明略)证明证明:(交换律不成立交换律不成立!)4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式!设则向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法(行列式计算见上册行列式计算见上册P355附录附录1)例例4.已知三点已知三点角形角形 ABC 的面积的面积 解解:如图所示如图所示,求三求三*三、向量的混合积三、向量的混合积(简介简介)1.定义定义 已知三向量已知三向量称数量称数量混合积混合积.记作记作内容小结内容小结设设1.向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:叉积叉积:混合积混合积:2.向量关系向量关系:思考与练习思考与练习设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦.答案答案:作业作业 P22 3,4,6,7,9(1);(2),10,12预习预习8.5