1-4 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式.ppt

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1、下下下下回回回回停停停停一、条件概率一、条件概率二、全概率公式二、全概率公式 与贝叶斯公式与贝叶斯公式第四节第四节第四节第四节 条件概率、条件概率、条件概率、条件概率、全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式 与贝叶斯公式与贝叶斯公式与贝叶斯公式与贝叶斯公式一、条件概率一、条件概率一、条件概率一、条件概率甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量 表如下：表如下：正品数正品数次品数次品数 合计合计甲车床甲车床 35 5 40乙车床乙车床 50 10 60总总 计计 85 15 100 从这从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：个零件中任取一个，求下列事件的

2、概率：引例引例1.1.问题的引入问题的引入问题的引入问题的引入(1)取出的一个为正品；取出的一个为正品；(2)取出的一个为甲车床加工的零件；取出的一个为甲车床加工的零件；(3)取出的一个为甲车床加工的正品；取出的一个为甲车床加工的正品；(4)已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为ABABC 100 15 85总 计 60 10 50乙车床 40 5 35甲车床 合计次品数正品数解解(1)85.010085)(=AP(2)40.010040)(=BP35(3)10035.0)(=ABP正品正品.已知取出的一个为甲车床加工的零件，已知取出的一个为甲车床加工的零

3、件，其为正品其为正品.(4)附加条件附加条件BA此时，样本空间已不再是原来包含此时，样本空间已不再是原来包含100100个样本个样本点的点的，而缩减为只包含，而缩减为只包含4040个样本点的个样本点的 B B=B B.BA 这是巧合吗？这是巧合吗？不是不是.注注注注为样本空间为样本空间.以以BB=设设A，B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称为事件为事件B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A发生的发生的条件概率条件概率.注注注注 样本空间缩减法；（适用于后面要讲的乘样本空间缩减法；（适用于后面要讲的乘 法公式中条件概率的计算）法公式中条件概率的计算）用定义用定义.2.2.定义定义

4、定义定义1.8(1.8(条件概率的定义条件概率的定义条件概率的定义条件概率的定义)女孩的概率女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的设男孩与女孩是等可能的).解解样本点总数：样本点总数：23,例例例例1 1(1)求在有求在有3个小孩的家庭中，至少有一个个小孩的家庭中，至少有一个123男男女女(2)在有在有3个小孩的家庭中，已知个小孩的家庭中，已知至少有至少有1个女个女孩孩，求该家庭，求该家庭至少有至少有1个男孩个男孩的概率的概率.解解证证证证3.3.条件概率的性质条件概率的性质条件概率的性质条件概率的性质(2)规范性：规范性：(1)(1)非负性非负性非负性非负性:证证(3)(3)可列可加性：可列可加

5、性：可列可加性：可列可加性：证证(5)(5)逆事件的条件概率：逆事件的条件概率：逆事件的条件概率：逆事件的条件概率：(4)(4)加法公式：加法公式：加法公式：加法公式：意义：意义：两事件积的概率等于其中的某一事件的概两事件积的概率等于其中的某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已发生的条件率乘以另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率下的条件概率.推广：推广：推广：推广：4.4.乘法公式乘法公式乘法公式乘法公式则则一般地，设一般地，设个事件，若个事件，若是是，nAAAnL21例例例例2 2 摸球试验摸球试验摸球试验摸球试验(卜里耶模型卜里耶模型卜里耶模型卜里耶模型)把原球放回，并加进与抽出球同

6、色的球把原球放回，并加进与抽出球同色的球c只，再取只，再取第二次，这样下去共取了第二次，这样下去共取了n次球，问前次球，问前n1次取到黑次取到黑球，后球，后n2=n-n1次取到红球的概率是多少？次取到红球的概率是多少？解解箱中有箱中有b只黑球，只黑球，r只红球，随机取出一只，只红球，随机取出一只，此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型.因此因此二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式1.样本空间的划分样本空间的划分全概率公式全概率公式定理定理 2.2.全概率公式全概率公式全概率公式全概

7、率公式则则图示图示化整为零化整为零各个击破各个击破证证证证全概率公式中的条件：全概率公式中的条件：可换为可换为注注注注 全概率公式的主要用处在于全概率公式的主要用处在于:它可以将一个它可以将一个复杂事件复杂事件的概率计算问题的概率计算问题,分解分解为若干个为若干个简单事简单事件件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最后应用概率的可加性求出最终结果最终结果.直直观观意意义：义：某事件某事件B的发生由各种可能的的发生由各种可能的“原因原因”Ai(i=1,2,n)引起，而引起，而Ai与与Aj(i j)互斥，互斥，则则B发生的概率与发生的概率与 P(AiB)(i=1,2,n)有关，有

8、关，且等于它们的总和：且等于它们的总和：3.3.全概率公式的意义全概率公式的意义全概率公式的意义全概率公式的意义个黑球个黑球;乙箱中装有一个白球乙箱中装有一个白球,两个黑球两个黑球.现由甲现由甲箱中任取一球放入乙箱箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球再从乙箱中任取一球,问取到白球的概率是多少问取到白球的概率是多少?解解 以以A1 1表示事件表示事件“从甲箱中取出一个白球从甲箱中取出一个白球”,A2表示表示“从甲箱中取出一个黑球从甲箱中取出一个黑球”这一事件这一事件,以以B表示表示“从乙箱中取出一个白球从乙箱中取出一个白球”这一事件这一事件,则则:且且例例例例3 3甲、乙两个箱子甲、乙两个箱

9、子,甲箱中装有两个白球甲箱中装有两个白球,一一因而因而子子,1.5%的三等种子的三等种子,1.0%的四等种子的四等种子.用一等用一等,二二 等等,三等三等,四等种子长出的穗含四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率颗以上麦粒的概率为为0.5,0.15,0.1,0.05.求这批种子所结的穗含有求这批种子所结的穗含有50颗以颗以上麦粒的概率上麦粒的概率.解解 以以Ai(i=1,2,3,4)分别记任选一颗种子是分别记任选一颗种子是i 等等用用B表示在这批种子中任选一颗且这颗种子表示在这批种子中任选一颗且这颗种子所结所结则则Ai(i=1,2,3,4)是一个划分是一个划分.例例例例4 4播种用的一等小麦种

10、子中混和播种用的一等小麦种子中混和2.0%的二等种的二等种(i =1,2,3,4)这一事件这一事件,的穗含的穗含50颗以上麦粒这一事件颗以上麦粒这一事件.则由全概率公式则由全概率公式称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.贝叶斯资料贝叶斯资料定理定理4.4.贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式证毕证毕证证证证解解例例例例5 5示示“被检验者患有肝癌被检验者患有肝癌”这一事件，以这一事件，以A表表“判判断被检验者患有肝癌断被检验者患有肝癌”这一事件这一事件.假设这一检验假设这一检验法相应的概率为法相应的概率为检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的又设在

11、人群中又设在人群中.现在若有一人被此现在若有一人被此假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，以假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，以C表表由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为即平均即平均10000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有38人人患有癌症患有癌症.上题中概率上题中概率 0.0004 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的,叫叫而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.0038先验概率与后验概率先验概率与后验概率先验概率与后验概率先验概率与后验概率做先验概率做先验概率.叫做后验概率叫做后验概率.乘船乘船,乘汽车乘汽车,乘飞机

12、来的概率分别为乘飞机来的概率分别为1/5,1/10,2/5.若他乘火车来若他乘火车来,迟到的概率是迟到的概率是1/4;如果乘船如果乘船,乘汽车来乘汽车来,迟到的概率是迟到的概率是1/3,1/12;如果乘飞机便如果乘飞机便不会迟到不会迟到,即迟到的概率为即迟到的概率为0.在结果是迟到的情形在结果是迟到的情形解解 表示乘火车、乘船、乘汽表示乘火车、乘船、乘汽车车,以以B表示迟到这一事件表示迟到这一事件,设设A1,A2,A3,A4分别分别由由Bayes公式公式,有有例例例例6 6有朋友自远方来访有朋友自远方来访,乘火车来的概率乘火车来的概率3/10,下下,求他是乘火车的概率求他是乘火车的概率.乘飞机

13、来的事件乘飞机来的事件.全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式乘法定理乘法定理内容小结内容小结内容小结内容小结1.1.条件概率条件概率条件概率条件概率2.2.条件概率条件概率条件概率条件概率 P P(A A|B B)与积事件与积事件与积事件与积事件P P(ABAB)概率的区别概率的区别概率的区别概率的区别表示在样本空间表示在样本空间中，计算中，计算发生的发生的)(ABPAB概率，而概率，而表示在缩小的样本空间表示在缩小的样本空间中，计中，计)(BAPB算算发生的概率发生的概率.用古典概率公式，则用古典概率公式，则A条件概率也是概率条件概率也是概率,故具有概率的性质：故具有概率的性质：3.条件

14、概率的性质条件概率的性质(1)非负性非负性(2)归一性归一性(3)可列可加性可列可加性活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4,如果现在有一个如果现在有一个20岁的岁的这种动物这种动物,问它能活到问它能活到25岁以上的概率是多少岁以上的概率是多少?设设 A=“能活能活 20 岁以上岁以上”的事件的事件;则有则有解解备用题备用题备用题备用题例例例例1-11-1（讲）（讲）（讲）（讲）某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8,B=“能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件;机地抽取两次机地抽取两次,每次取一球每次取一球,求在两次抽取中至多求在两次抽取中

15、至多抽到一个红球的概率抽到一个红球的概率?(2)若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次,每次抽取一球每次抽取一球,求求(a)第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下,第第二次与第三次均是白球的概率二次与第三次均是白球的概率?(b)第一次与第二第一次与第二次均是白球的情况下次均是白球的情况下,第三次是白球的概率第三次是白球的概率?例例例例2-12-1 设袋中有设袋中有4只白球只白球,2只红球只红球,(1)无放回随无放回随则有则有解解解解(1)设设为为“两次抽取中至多抽到一个红球两次抽取中至多抽到一个红球”，A为为“第二次抽到白球第二次抽到白球.为为“第一次抽取到白球第一次抽取到白球”,时打破的概率

16、为时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,第二次第二次落下打破的概率为落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第第三次落下打破的概率为三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而试求透镜落下三次而未打破的概率未打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.例例例例2-32-3设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下第一次落下摸球试验摸球试验摸球试验摸球试验(卜里耶模型卜里耶模型卜里耶模型卜里耶模型)解解例例2-4设袋中装有设袋中装有只红球，只红球，只白球只白球.每次自袋中每次自袋中任取一

17、只球，观察其颜色然后放回，并再放入任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入只只与取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球与取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球4次，次，试求第一，二次取到红球且第三，四次取到白球试求第一，二次取到红球且第三，四次取到白球的概率的概率.此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型.由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱,3箱箱,2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1,0.2,0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求

18、取得的正品概率求取得的正品概率.设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”,分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知由题设知解解例例例例3-13-1设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品,其中其中故故“有有”字字,三个阄内不写字三个阄内不写字,五人依次五人依次抓取抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率字阄的概率是是否相同否相同?解解则有则有抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关?例例例例3-23-2五个阄五个阄,其中两个阄内写着其中两个阄内写着依此类推依此类推故抓阄

19、与次序无关故抓阄与次序无关.的占的占 30%,二厂生产的占二厂生产的占 50%,三厂生产的占三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解解例例例例4-14-1有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产由全概率公式得由全概率公式得30%20%50%2%1%1%例例例例4-24-2 有有3箱同型号的灯泡，已知甲箱次品率为箱同型号的灯泡，已知甲箱次品率为1%，乙箱次品率为

20、乙箱次品率为2%，丙箱次品率为丙箱次品率为3%，现从现从3乙，丙两箱的机会相同，求取得次品的概率乙，丙两箱的机会相同，求取得次品的概率.解解箱中任取一灯泡，设取到甲箱的概率为箱中任取一灯泡，设取到甲箱的概率为，而取到，而取到21箱箱”.B表示表示“取到次品取到次品”.设设分别表示分别表示“灯泡分别取自甲，乙，丙灯泡分别取自甲，乙，丙321,AAA已知已知,21)(1=AP.41)(3=AP,41)(2=AP%,1)(1=ABP%,2)(2=ABP%.3)(3=ABP所以所以例例例例5-15-1 炮战中，在距目标炮战中，在距目标250m,200m,150m处射处射击的概率分别为击的概率分别为0.

21、1，0.7，0.2，而在该处射击命中而在该处射击命中目标的概率分别为目标的概率分别为0.05，0.1，0.2.现在已知目标被现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250m处射出处射出的概率的概率.解解 设设B表示表示“目标被击毁目标被击毁”，分别表示距目分别表示距目321,AAA标标250m,200m,150m处射击，则所求概率为处射击，则所求概率为例例例例5-25-2 设有设有5个袋子中放有白球，黑球，其中个袋子中放有白球，黑球，其中1号号袋中白球占袋中白球占另外另外2，3，4，5号号4个袋子中白球都个袋子中白球都,31取取1个球，结果是白球，求这个球

22、是来自个球，结果是白球，求这个球是来自1号袋子中号袋子中的概率的概率.解解占占今从中随机取今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机个袋子，从所取的袋子中随机,41求概率求概率由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得，取到白球取到白球=B),(1BAP例例例例5-35-3 已知已知5%的男人和的男人和0.25%的女人是色盲患者，的女人是色盲患者，现随机地选取一人，此人恰为色盲患者，此人是男现随机地选取一人，此人恰为色盲患者，此人是男人的概率是多少？（假设男人，女人各占人数的一人的概率是多少？（假设男人，女人各占人数的一半）半）.解解 设设A=选取的人患色盲选取的人患色盲，设，设B=选取的人是男人选取的人是男

23、人则则选取的人是女人选取的人是女人，依题意得，依题意得=B根据逆概公式（贝叶斯公式），所求概率为根据逆概公式（贝叶斯公式），所求概率为例例例例6-16-1制造厂提供的制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据：根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂元件制造厂次品率次品率 提供元件的份额提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且且无区别的标志无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；率；某电子设备制造厂所用的元件

24、是由三家元件某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件解解(2)在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次若已知取到的是次品品,为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂,需求出此次品出由三需求出此次品出由三家工厂生产的概率分别是多少家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率试求这些概率.(1)由全概率公式得由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得第第1次比赛时从中选取次比赛时从中选取3个来用，比赛后仍放回个来用，比赛后仍放回盒中，第盒中，第2次比赛时再从盒中任取次比赛时再从盒中任取3个个.(1)求第求第2次取出的球都是新球的概率；次取出的球都是新球的概率；(2)又已知

25、第又已知第2次取出的球都是新球，求次取出的球都是新球，求第第1次取到的都是新球的概率；次取到的都是新球的概率；解解例例例例6-26-2（讲）（讲）（讲）（讲）盒中放有盒中放有12个乒乓球，其中个乒乓球，其中9 个是新的个是新的.个新球个新球”,次比赛时用了次比赛时用了“第第设设iAi1=次取出的全是新球次取出的全是新球”,“第第 2=B(1)(1)求第求第2次取出的球都是新球的概率；次取出的球都是新球的概率；第一次第一次新球：新球：9 个个旧球：旧球：3 个个第二次第二次新球：新球：9-i 个个旧球：旧球：3+i 个个(比赛后放回的比赛后放回的球变为旧球球变为旧球)个新球个新球”,次比赛时用了

26、次比赛时用了“第第iAi1=次取出的全是新球次取出的全是新球”,“第第 2=B (2)(2)又已知第又已知第2次取出的球都是新球，求第次取出的球都是新球，求第1次次第二次第二次新球：新球：9-3 个个旧球：旧球：3+3 个个(比赛后放回的比赛后放回的球变为旧球球变为旧球)取到的都是新球的概率；取到的都是新球的概率；解解例例例例6-36-3良好时，良好时，产品的合格率为产品的合格率为98%，而当机器发生，而当机器发生某种故障时，其合格率为某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为动时，机器调整良好的概率为95%.试求某日早试求某日早上的一件产品是合格时，

27、机器调整得良好的概率上的一件产品是合格时，机器调整得良好的概率是多少？是多少？对以往数据分析结果表明，当机器调整得对以往数据分析结果表明，当机器调整得 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为整良好的概率为整良好的概率为0.97.贝叶斯贝叶斯Thomas Bayes（1702-1763）英国数学家英国数学家1742年成为英国皇家学会会年成为英国皇家学会会员员.在数学方面主要研究概在数学方面主要研究概率论率论.首先将归纳推理法用首先将归纳推理法用于概率论基础理论，创立了于概率论基础理论，创立了贝叶斯统计理论，对于统计贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献的估算等做出了贡献.