14 微分中值定理.ppt

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1、主要内容：主要内容：第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 一、几何背景；二、罗尔定理；三、拉格朗日中值定理.一、几何背景拉格朗日中值公式 一、几何背景罗尔定理拉格朗日中值公式 二、罗尔定理v费马(Fermat)引理 设 f(x0)为函数 f(x)在开区间(a b)内的最大(小)值,若 f(x0)存在,则 f(x0)0 证明 设 f(x0)为最大值.二、罗尔定理 证明 所以,f(x0)为最小值时类似可证.设 f(x0)为最大值.v费马(Fermat)引理 设 f(x0)为函数 f(x)在开区间(a b)内的最大(小)值,若 f(x

2、0)存在,则 f(x0)0 证明v罗尔(Rolle)定理 如果函数 yf(x)满足 (1)在闭区间a b上连续;(2)在开区间(a b)内可导;(3)f(a)f(b),那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(x)0 v罗尔(Rolle)定理 如果函数 yf(x)满足 (1)在闭区间a b上连续;(2)在开区间(a b)内可导;(3)f(a)f(b),那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(x)0 证明应注意的问题：如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论有可能不成立 v罗尔(Rolle)定理 如果函数 yf(x)满足 (1)在闭区间a b上连续;(2)在开区间(a b)内可导;

3、(3)f(a)f(b),那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(x)0 v罗尔(Rolle)定理 如果函数 yf(x)满足 (1)在闭区间a b上连续;(2)在开区间(a b)内可导;(3)f(a)f(b),那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(x)0 例1 不求导数 判断函数 f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个实根 以及其所在范围 解 f(1)f(2)f(3)0 f(x)在1 2 2 3上满足罗尔定理的三个条件 由罗尔定理 在(1 2)内至少存在一点x1 使 f(x1)0 x1是 f(x)的一个实根;在(2 3)内至少存在一点x2 使f(x2)0 x2也是f(x)的一

4、个实根 f(x)是二次多项式 至多有两个实根.所以 f(x)有两个实根,分别在区间(1 2)及(2 3)内 例2证明由零点定理,x0 即为方程的一个根.矛盾.由罗尔定理,例3分析:结论可化为结论进一步化为观察与思考:证明 设 例3则 F(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且分析:结论可化为由罗尔定理,在(0,1)内至少存在一点x,使三、拉格朗日中值定理v拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 如果函数如果函数 y f(x)满足满足 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导,那么在那么在(a b)内内至少存在一点至少存在一点 x

5、x 使得使得 f(b)-f(a)=f (x x)(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式v拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 yf(x)满足 (1)在闭区间a b上连续;(2)在开区间(a b)内可导,那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(b)-f(a)=f(x)(b-a)拉格朗日中值公式分析:结论可化为结论进一步化为 f(b)-f(a)-f(x)(b-a)=0在(a b)内有根x 寻找 F(x),使 在(a b)内有根x 证明 由此得 f(b)f(a)f(x)(ba)令 v拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 yf(x)满足 (1)在闭区间a b上连续;(2)

6、在开区间(a b)内可导,那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(b)-f(a)=f(x)(b-a)拉格朗日中值公式则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且由罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点x,使 f(xDx)f(x)f(xDx)Dx(0 1)Dyf(xDx)Dx(0 1)有限增量公式注：dyf(x)Dx 是函数增量 Dy 的近似表达式 f(xDx)Dx 是函数增量 Dy 的精确表达式 v拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 yf(x)满足 (1)在闭区间a b上连续;(2)在开区间(a b)内可导,那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(b)-f(a)=f

7、(x)(b-a)拉格朗日中值公式 证明 设 f(t)ln(1t),显然 f(t)在区间0 x上 满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理 在(0,x)内至少存在一点 x,使 f(x)f(0)f(x)(x0)0 xx 又由 0 xx 有由于因此上式即为即例4 在区间 I 上任取两点 x1 x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理 在(x1,x2)内至少存在一点 x,使 f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)(x1x x2)由假定 f(x)0 所以 f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1)因此 f(x)在区间 I 上是一个常数 v定理 如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒为零 那么 f(x)在区间 I 上是一个常数 证明 课后练习习题31(P134)5、6、8、9、10