高等数学课件D1123全微分方程.ppt

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1、全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、全微分方程一、全微分方程二、积分因子法二、积分因子法 第十一章 4/22/2023高等数学课件判别:P,Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,式为全微分方程 则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1.求原函数 u(x,y)2.由 du=0 知通解为u(x,y)=C.一、全微分方程一、全微分方程则称为全微分方程(又叫做恰当方程).机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件例例1.求解解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数

2、学课件例例2.求解解解:这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件二、积分因子法二、积分因子法思考思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例2 的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数 积分因子.例2 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件常用微分倒推公式常用微分倒推公式:积分因子不一定唯一.例如,对可取机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件例例3.求解解解:分项组合得即选择积分因子同乘方程两边,得即因此通解为即因 x=0 也是方程的解,故 C 为任意常数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件练习练习1 解方程解解 应用积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外,y=0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2解解利用积分因子法:原方程重新组合为故通解为4/22/2023高等数学课件