隐函数存在定理在几何方面应用.pptx

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1、一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线C的参数方程为:它们在 可导,且过曲线过曲线C C上两点的割线方程为上两点的割线方程为取定曲线上一点取定曲线上一点第1页/共20页或或当 沿曲线C 时,即 割线的极限位置就是曲线在点 的切线.则则切线方程切线方程为为切线的方向向量称为曲线C在点的切向量。第2页/共20页一个平面通过空间曲线C上的一点且与点的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点的法平面。在法平面上任取一点在法平面上任取一点 ,则则与切向量垂直即与切向量垂直即法平面方程法平面方程是第3页/共20页或例例1求螺旋线求螺旋线在在 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程解解:第4页/共20

2、页切线方程法平面方程第5页/共20页若空间曲线若空间曲线C C是由函数方程组是由函数方程组所确定所确定若方程组在曲线若方程组在曲线C C上一定点上一定点 的某的某邻域邻域满足隐函数组定理的条件，即满足隐函数组定理的条件，即对对 的偏导数在点的偏导数在点P P的邻域内连续，的邻域内连续，不妨设不妨设且不同时为零，第6页/共20页曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为切向量切向量利用利用 分别对求偏导，求出分别对求偏导，求出则在点某邻域，曲线则在点某邻域，曲线C C可表示为可表示为第7页/共20页解得解得从而可得曲线在点从而可得曲线在点 的的切线方程切线方程：法平面方程第8页/共20页例例2 2求

3、曲线求曲线 在点在点法平面方程法平面方程：切线方程切线方程：解解处的切线及法平面方程。第9页/共20页二、曲面的切平面与法线1.设曲面S的方程是 ,的切平面方程是则它的在点它在点 可微,它的在点的法线方程是法向量法向量第10页/共20页设曲面设曲面S S的方程是在曲面的方程是在曲面S S上任取一点上任取一点 .满足函数确定的隐函数的条件，曲面满足函数确定的隐函数的条件，曲面S S可表为可表为则曲面在点M的切平面方程是则曲面S在点M的法线方程是若 在点M第11页/共20页例例3 3 求曲面求曲面 上点上点的切平面的方程与法线方程的切平面的方程与法线方程.解解切平面方程切平面方程与与法线法线方程分

4、别为方程分别为与与第12页/共20页 设曲面S的方程是取定取定 对应曲面上的点对应曲面上的点若函数组 满足11.1定理则在点 的邻域存在连续偏导数的反函数组代入代入 有有曲面S在点M的法向量为的推论，第13页/共20页对对u,vu,v求偏导求偏导解方程组，得解方程组，得它的在点的切平面方程是第14页/共20页法线方程是它在点例例4求曲面求曲面在点在点 对应的曲面上点的切平面对应的曲面上点的切平面方程与法线方程解：点 对应曲面上的点第15页/共20页切平面方程法线方程第16页/共20页练习练习:1 求球面求球面 与锥面与锥面所截出的曲线的点所截出的曲线的点 处的切线与法平面方程处的切线与法平面方程.2.求椭球面求椭球面 在在 处的切平面方程与法线方程处的切平面方程与法线方程.3.求曲面在点的切平面求曲面在点的切平面方程与法线方程方程与法线方程第17页/共20页练习的答案练习的答案:1.切线方程切线方程法平面的方程法平面的方程2.切平面方程切平面方程法线方程法线方程第18页/共20页作业：作业：P259 1(2),3,4(2),5第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页