矩阵秩与矩阵的等价标准形.ppt

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1、第二章第二章矩阵理论基础矩阵理论基础2.5 矩阵分块法矩阵分块法2.3 可可逆矩阵逆矩阵2.2 n阶阶(方阵的方阵的)行列式行列式2.1 矩阵的运算矩阵的运算2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形矩阵的秩与矩阵的等价标准形2.6 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则法则1主要内容：一、秩的定义；主要内容：一、秩的定义；四、一些重要的性质四、一些重要的性质二、秩的求法；二、秩的求法；2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形矩阵的秩与矩阵的等价标准形三、矩阵的等价标准形三、矩阵的等价标准形2一、秩的定义一、秩的定义一、秩的定义一、秩的定义例如例如等等等等,它们都是二阶子式它们都

2、是二阶子式.等等等等,它们都是三阶子式它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式每一个元素都是一阶子式.1、k阶子式：阶子式：说明：说明：1）在在 矩阵矩阵 A 中中,任取任取 k 行行 k 列列,位于这位于这些行列交点上的元素按原次序构成的些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式阶行列式,称为称为 A 的的 k k 阶子式阶子式阶子式阶子式.2）3 如果矩阵如果矩阵中有一个不为零中有一个不为零的阶子的阶子式，且所有阶的子式（如果存在的话）全等于式，且所有阶的子式（如果存在的话）全等于零零,称为称为A A的的秩秩秩秩,记为记为r(r(A A).例如例如2、矩阵的秩：、矩阵的秩：规定规定:零

3、矩阵的秩是零零矩阵的秩是零.4回答下面问题：回答下面问题：回答下面问题：回答下面问题：(2)mn 的矩阵的矩阵 A,其秩最大可能是其秩最大可能是?r(A)min(m,n)(3)A 有一个有一个 r 阶子式不为零阶子式不为零,其秩至少是其秩至少是?r(A)r(4)如果如果A 有一个有一个 r 阶子式不为零阶子式不为零,且所有且所有 r+1 阶都等于零阶都等于零,有没有没有有 r+2 阶不为零的子式？阶不为零的子式？如果如果 A 的所有的所有 r 阶子式都等于零阶子式都等于零,A 的的秩最大可能是秩最大可能是 多少多少?(5)r(A)=r(AT)(6)A为为 n 可逆矩阵的充要条件是可逆矩阵的充要

4、条件是 r(A)=r(A)=r(AT)n(7)A=O 的充要条件是的充要条件是 r(A)=0r-1(1)矩阵的秩是否惟一矩阵的秩是否惟一?当然惟一当然惟一满秩矩阵满秩矩阵（8）如果如果则：则：没有没有5初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理二、秩的求法：二、秩的求法：即即:则则:例例1.求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩而而解解:而阶子式不存在而阶子式不存在6秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理又可叙述为又可叙述为:r(P m A mn Q n)=r(A)(其中其中 P，Q 是可逆矩

5、阵是可逆矩阵)注注：该定理回答了矩阵标准形：该定理回答了矩阵标准形中中 r 是唯一的。它就是矩阵是唯一的。它就是矩阵 A 的秩。的秩。阶梯形矩阵的秩就是其非零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！由以上例子说明由以上例子说明:于是得到求秩的方法：于是得到求秩的方法：则：则：7例例1(P68 例例5)求矩阵求矩阵 A 的秩的秩建议只用行变换建议只用行变换阶梯形不唯一阶梯形不唯一8例例2求求 和和9 例例1三三.矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形10 用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形等价标准形等价标

6、准形等价标准形（也称（也称相抵标准形相抵标准形相抵标准形相抵标准形）：）：等价标准形是唯一的。等价标准形是唯一的。(等价标准形定理等价标准形定理)定理定理定理定理3 3如果我们对矩阵如果我们对矩阵11定理定理定理定理4 4 4 4(1)(1)使得使得:(证明略证明略)推论推论1 112三、三、秩的一些重要性质秩的一些重要性质秩的一些重要性质秩的一些重要性质其中其中A为为B为为其中其中A和均为和均为13(P101 例例15)(P110 习题习题27)14()的证明的证明:只证只证阶阶梯梯形形阶阶梯梯形形考虑转置考虑转置15永远是奇异矩阵永远是奇异矩阵有可能是非奇异矩阵有可能是非奇异矩阵例例316(参见参见P71 例例8)证证例例4思考：思考：17则则(A)t=6 时时,必有必有 r(P)=1(B)t=6 时时,必有必有 r(P)=2(C)t 6 时时,必有必有 r(P)=1(D)t 6 时时,必有必有 r(P)=2首先首先,又又例例518小结小结:矩阵秩的定义，矩阵秩的求法，矩阵的等价标准形，矩阵秩的定义，矩阵秩的求法，矩阵的等价标准形，关于矩阵秩的一些结论关于矩阵秩的一些结论19作业作业:20