10行列式.ppt

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1、第第1010章章 行列式行列式前前 言言 在工商管理、规划设计、电路分析、力学和其它实际生在工商管理、规划设计、电路分析、力学和其它实际生活中，我们常常会遇到由很多个一元方程（以后称为线性方活中，我们常常会遇到由很多个一元方程（以后称为线性方程）组成的线性方程组，有时未知量与方程的个数多达成百程）组成的线性方程组，有时未知量与方程的个数多达成百上千个，很难或无法进行手算，需要借助计算机完成上千个，很难或无法进行手算，需要借助计算机完成.为了为了便于简化表达和求解多元线性方程组，就要用到一种新的数便于简化表达和求解多元线性方程组，就要用到一种新的数学工具学工具距阵，由于矩阵和行列式密切相关，所以

2、本章首距阵，由于矩阵和行列式密切相关，所以本章首先介绍行列式的有关知识先介绍行列式的有关知识.本章知识结构图本章知识结构图行列式行列式行列式的概念行列式的概念行列式的性质行列式的性质行列式的计算行列式的计算阅读与提高阅读与提高二、三阶行列式概念二、三阶行列式概念n阶行列式概念阶行列式概念降阶展开法降阶展开法化三角法化三角法教学基本要求教学基本要求1.1.掌握二、三阶行列式及掌握二、三阶行列式及n n阶行列式的表示及定义阶行列式的表示及定义2.2.熟悉行列式的性质熟悉行列式的性质3.3.熟练掌握行列式的计算熟练掌握行列式的计算教学重点与难点教学重点与难点教学重点：教学重点：行列式性质、计算行列式

3、性质、计算教学难点：教学难点：行列式的计算行列式的计算10-1 10-1 行列式的定义行列式的定义10-1-1 二阶行列式二阶行列式 称称 为一个二阶行列式，并规定为一个二阶行列式，并规定其中其中 为该行列式的元素；每个横排为行列式的为该行列式的元素；每个横排为行列式的行，每个竖排为行列式的列，行，每个竖排为行列式的列，i为行标，为行标，j为列标，如为列标，如 表示这表示这一元素处在第一元素处在第1行第行第2列的位置；称为行列式的展开式或行列式列的位置；称为行列式的展开式或行列式的值的值.如：如：10-1-2 三阶行列式三阶行列式 如：如：课堂练习课堂练习 计计算下列行列式算下列行列式10-1

4、-3 n阶行列式阶行列式 1.称由称由 个数（个数（为正整数）构成的算式为正整数）构成的算式2.余子式和代数余子式余子式和代数余子式 【例例】求四阶行列式求四阶行列式【解解】3.几种特殊的行列式几种特殊的行列式定义定义10-5 称为对角行列式称为对角行列式定义定义10-6 主对角线下方元素主对角线下方元素都为零的行列式称为上三角行列式都为零的行列式称为上三角行列式定义定义10-7 下三角行列式下三角行列式注：上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式注：上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式 课堂练习课堂练习 1.已知已知 则元素则元素0的代数余子式的代数余子式.2.行列式行列式 元素元素

5、3的代数余子式的值为的代数余子式的值为 .10-2 10-2 行列式的性质行列式的性质性质性质1 行列式与行列式与其转置行列式相等，其转置行列式相等，性质性质2：互换行列式的任意两行（列），行列式的值仅改变符号互换行列式的任意两行（列），行列式的值仅改变符号.推论推论2：若行列式某两行（列）对应元素成比若行列式某两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零例，则行列式的值为零.性质性质5：常数常数 乘以行列式某行（列）的各元素，加到另一行乘以行列式某行（列）的各元素，加到另一行 （列）的对应元素上去，则行列式值不变（列）的对应元素上去，则行列式值不变.如：如：课堂练习课堂练习1.课堂练习课堂练习

6、2若若 则行列式则行列式 =.3行列式行列式 的值为零吗，为什么？的值为零吗，为什么？4试总结行列式值为零的各种情况试总结行列式值为零的各种情况.10-3 10-3 行列式的计算行列式的计算 一般说，计算行列式的方法较多，一般说，计算行列式的方法较多，综合性较强，计算较困难综合性较强，计算较困难.但我们还但我们还是可以总结一些方法，比如降阶法、是可以总结一些方法，比如降阶法、化三角法、利用性质等等，一般是化三角法、利用性质等等，一般是综合运用这些方法来计算行列式的综合运用这些方法来计算行列式的值值.10-3-1 降阶展开法降阶展开法 【例例1】用降阶法计算下列行列式用降阶法计算下列行列式.1

7、【例例1】用降阶法计算下列行列式用降阶法计算下列行列式.3.课堂练习课堂练习 用降阶法求下列行列式用降阶法求下列行列式1.2.3.10-3-2 化三角法化三角法 记号标识：记号标识：（1）以）以 表示行列式的第表示行列式的第 行，行，表示行列式的第表示行列式的第 列；列；（2）交换第）交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记为行（列），记为 （3）第）第 行（列）上各元素乘以数行（列）上各元素乘以数 记为记为 （4）第第 行（列）上各元素乘以数行（列）上各元素乘以数 加到第加到第 行（列）对应元行（列）对应元素上，记为素上，记为 以后我们可以利用上述运算将行列式化为上三角行列式，以后我们

8、可以利用上述运算将行列式化为上三角行列式，最后再求行列式的值，此即为化三角法求解行列式的值最后再求行列式的值，此即为化三角法求解行列式的值.【例例2】利用化三角法计算下列行列式利用化三角法计算下列行列式.3.课堂练习课堂练习 用化三角法求下列行列式用化三角法求下列行列式.1.2.注：通过以上知识的学习，对于行列式的计算方法，我们可以注：通过以上知识的学习，对于行列式的计算方法，我们可以归结为归结为 （1）计算二阶三阶行列式通常直接求值）计算二阶三阶行列式通常直接求值 （2）利用行列式的展开，可以使行列式的阶数降低，从而）利用行列式的展开，可以使行列式的阶数降低，从而 简化其运算过程简化其运算过

9、程.特别当行列式中的某行（列）中含有特别当行列式中的某行（列）中含有 较多个零元素时常用此法较多个零元素时常用此法.（3）对高阶行列式可以利用行列式的性质将其转化为上三）对高阶行列式可以利用行列式的性质将其转化为上三 角行列式再求值角行列式再求值.10-4 10-4 阅读与提高阅读与提高10-4-1 10-4-1 巧算行列式巧算行列式 在在10-310-3中，我们学习了计算高阶行列式的两种基本方法：中，我们学习了计算高阶行列式的两种基本方法：降阶法、化三角法降阶法、化三角法.这两种方法在使用时并不是绝对独立的，这两种方法在使用时并不是绝对独立的，有时会结合这两种方法或结合行列式的性质巧妙的计算

10、某些有时会结合这两种方法或结合行列式的性质巧妙的计算某些行列式的值行列式的值.【例例1】计算阶行列式计算阶行列式【解解】原式原式=如：【例例2】计算计算 阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式【解解】当当 时，时，当当 时时，从而利用数学归纳法可推得从而利用数学归纳法可推得 阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式如：如：【例例3】计算行列式计算行列式【解解】【例4】计算行列式【解】原式【例例5】计算行列式计算行列式【解解】原式原式【例例6】计算行列式计算行列式【解解】原式原式【例例7】计算行列式计算行列式【解解】由性质由性质1知知另一方面将另一方面将 的每一行提出公因子的每一行提出公因子-1，得，得由以上两式得由

11、以上两式得 ，所以所以注：任何奇数阶的反对称行列式值都等于零。注：任何奇数阶的反对称行列式值都等于零。【例例8】计算行列式计算行列式【解解】（按第一列展开）（按第一列展开）上述等式第二项按第一行展开后为上述等式第二项按第一行展开后为 （即为（即为 ）由此得到递推公式由此得到递推公式反复运用上式可得反复运用上式可得 课堂练习课堂练习 计算下列行列式计算下列行列式 1.2.3.4.10-4-2 追溯行列式的起源追溯行列式的起源 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，它实际上源于求解线性方程组来的，它实际上源于求解线性方程组.行列式是研

12、究线性代行列式是研究线性代数的一个重要工具，同时它在其他分支以及许多科学领域中数的一个重要工具，同时它在其他分支以及许多科学领域中也有着广泛的应用也有着广泛的应用.如何由行列式求解线性方程组呢？它们如何由行列式求解线性方程组呢？它们之间怎样巧妙地结合到一起？接下来我们以二元、三元线性之间怎样巧妙地结合到一起？接下来我们以二元、三元线性方程组的求解为平台，搭建其与二阶、三阶行列式的联系方程组的求解为平台，搭建其与二阶、三阶行列式的联系.1.利用二阶行列式求解二元线性方程组利用二阶行列式求解二元线性方程组二元线性方程组二元线性方程组 记：系数行列式为记：系数行列式为则当系数行列式则当系数行列式D0

13、时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解【例例9】求二元一次线性方程组求二元一次线性方程组 的解的解.【解解】方程组的系数行列式方程组的系数行列式 所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解.所以方程组的解为：所以方程组的解为：2.利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组三元一次方程组：三元一次方程组：记：系数行列式为记：系数行列式为当系数行列式当系数行列式 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解【例例10】计算三元一次方程组计算三元一次方程组 的解的解【解解】方程组的系数行列式方程组的系数行列式 所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解.所以方程组的解为所以方程组的解为 课堂练习课堂练习1.求二元线性方程组求二元线性方程组 的解的解.2.求三元一次方程组求三元一次方程组 的解的解.