信号与系统第三章.ppt

《信号与系统第三章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统第三章.ppt（109页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、信号与系统信号与系统第三章第三章第三章傅里叶变换第三章傅里叶变换第一节引言第一节引言第二节周期信号的傅里叶级数分析第二节周期信号的傅里叶级数分析第三节典型周期信号的傅里叶级数第三节典型周期信号的傅里叶级数第四节傅里叶变换第四节傅里叶变换第五节典型信号的傅里叶变换第五节典型信号的傅里叶变换第六节傅里叶变换的基本性质信号的第六节傅里叶变换的基本性质信号的时频时频关系关系第七节抽样及抽样定理第七节抽样及抽样定理3.1引言引言第二章介绍了连续第二章介绍了连续LTI系统的时域分析。以冲激函数为基系统的时域分析。以冲激函数为基本函数，任意输入信号可分解为一系列冲激函数本函数，任意输入信号可分解为一系列冲激

2、函数冲激函数的连续冲激函数的连续和（即积分）和（即积分）这一系列冲激函数叠加输入系统所产生的响应（即零状态响这一系列冲激函数叠加输入系统所产生的响应（即零状态响应），也就是作用于系统的零状态响应，是激励信号应），也就是作用于系统的零状态响应，是激励信号与系统冲激响应的卷积，即与系统冲激响应的卷积，即信号分解的基本函数也可取其他形式，本章将以正弦函信号分解的基本函数也可取其他形式，本章将以正弦函数（数（正弦和余弦可统称为正弦函数正弦和余弦可统称为正弦函数正弦和余弦可统称为正弦函数正弦和余弦可统称为正弦函数）或虚指数函数）或虚指数函数 为基本函数。任意输入信号可表示为为基本函数。任意输入信号可表示

3、为一系列一系列不同频率的不同频率的正弦函数或虚指数函数之正弦函数或虚指数函数之和（对于周期信和（对于周期信号）号）或或积分（对于非周期性信号）积分（对于非周期性信号）。基于线性系统满足基于线性系统满足叠加性这一原理叠加性这一原理具体来说：具体来说：对于周期信号，可分解为傅里叶级数，其频率分布是对于周期信号，可分解为傅里叶级数，其频率分布是轴上的一些离散的点，因此，其频谱是离散谱；轴上的一些离散的点，因此，其频谱是离散谱；对于非周期信号，可看作是不同频率的各对于非周期信号，可看作是不同频率的各“分量分量”（可用（可用正弦函数或虚指数函数表示）的连续和积分，它包含了正弦函数或虚指数函数表示）的连续

4、和积分，它包含了频率从频率从0到到的一切频率的一切频率“分量分量”，即其频率连续分布于轴上，即其频率连续分布于轴上，因此，其频谱是连续谱。因此，其频谱是连续谱。本章从傅里叶级数展开讨论，引出傅里叶变换，建立信本章从傅里叶级数展开讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过对典型信号频谱及傅里叶变换性质的研号频谱的概念。通过对典型信号频谱及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用，为下一章系统的频域究，初步掌握傅里叶分析方法的应用，为下一章系统的频域分析打下基础。分析打下基础。3.2周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 P89周期信号周期信号定义在区间，每隔一定时间定义在

5、区间，每隔一定时间T，按相同规律重，按相同规律重复变化的信号。它可表示为复变化的信号。它可表示为式中，式中，m为任意整数为任意整数;T为该信号的重复周期，简称周期为该信号的重复周期，简称周期;f为该信号的频率，周期的倒数为该信号的频率，周期的倒数;为该信号的为该信号的角频率角频率。三角函数形式三角函数形式的傅里叶级数的傅里叶级数设是周期为，角频率为的周期函数，它可设是周期为，角频率为的周期函数，它可展开（或分解）为傅里叶级数展开（或分解）为傅里叶级数式中，为正整数，、为各次谐波分量的幅度式中，为正整数，、为各次谐波分量的幅度值，按以下公式计算：值，按以下公式计算：直流分量直流分量：余弦分量的幅

6、度余弦分量的幅度：正弦分量的幅度正弦分量的幅度：且有且有注：并非任意周期信号均能进行傅里叶级数展开。被展开的注：并非任意周期信号均能进行傅里叶级数展开。被展开的周期函数需要满足周期函数需要满足狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet）充分条件）充分条件：（1）函数如果有间断点存在，则在一周期内只能有有限个）函数如果有间断点存在，则在一周期内只能有有限个间断点；间断点；（2）在一周期内，函数只存在有限个极大值和极小值；）在一周期内，函数只存在有限个极大值和极小值；（3）函数在一周期内是绝对可积的，即为有限）函数在一周期内是绝对可积的，即为有限值（为周期）。值（为周期）。通常遇到的周期信号都满足以上

7、条件，因此，除非有特通常遇到的周期信号都满足以上条件，因此，除非有特殊需要，一般不再考虑这一充分条件。殊需要，一般不再考虑这一充分条件。P90任何满足狄利克雷充分条件的周期函数都可分解为直流分任何满足狄利克雷充分条件的周期函数都可分解为直流分量和许多余弦、正弦分量。这些余弦、正弦分量的频率必定量和许多余弦、正弦分量。这些余弦、正弦分量的频率必定是是基频基频的整数倍。的整数倍。通常把频率为的分量称为通常把频率为的分量称为基波基波，频率为等分量，频率为等分量分别称为分别称为二次二次谐波谐波、三次、三次谐波谐波。信号中，直流分量的大小以及基波和各次谐波的幅度、相信号中，直流分量的大小以及基波和各次谐

8、波的幅度、相位均位均取决于周期信号的波形取决于周期信号的波形。各分量的幅度、及相位都是频率的函数。各分量的幅度、及相位都是频率的函数。把与的关系画成线图，如图，可清楚而直观地看出各把与的关系画成线图，如图，可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小。这种图称为信号的幅度频谱，简称为频率分量的相对大小。这种图称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱幅度谱。图中每条线代表某一个频率分量的幅度，称为图中每条线代表某一个频率分量的幅度，称为谱线谱线。连接各谱线顶点的曲线（图中虚线）称为连接各谱线顶点的曲线（图中虚线）称为包络线包络线，它反映了，它反映了各分量的幅度变化情况。各分量的幅度变化情况。画出各分量的相位与

9、频率的画出各分量的相位与频率的线图，称为相位频谱，简称为线图，称为相位频谱，简称为相位谱相位谱。幅度谱幅度谱相位谱相位谱由图可见，周由图可见，周期信号的频谱只会期信号的频谱只会出现在出现在等离散频率点上，等离散频率点上，故称其为离散谱线故称其为离散谱线或线状谱，这是周或线状谱，这是周期信号频谱的主要期信号频谱的主要特点。特点。指数形式指数形式的傅里叶级数的傅里叶级数因为因为将其中的正弦、余弦项用虚指数函数代入（将其中的正弦、余弦项用虚指数函数代入（欧拉公式欧拉公式）得得在式中出现了负值，即出现了负的频率，这是由于在式中出现了负值，即出现了负的频率，这是由于将和写成指数形式时，引入了将和写成指数

10、形式时，引入了项。负频率的出现完全是数学运算带来的结果，并没有任项。负频率的出现完全是数学运算带来的结果，并没有任何物理意义。信号的实际频率只能是正数，而不可能是负数。何物理意义。信号的实际频率只能是正数，而不可能是负数。指数形式傅里叶级数的系数，简写作指数形式傅里叶级数的系数，简写作P92与其他系数的关系与其他系数的关系n的奇函数的奇函数n的偶函数的偶函数n的奇函数的奇函数P91指数形式的信号频谱如图所示。由于一般是指数形式的信号频谱如图所示。由于一般是复函数复函数，所，所以称这种频谱为以称这种频谱为复数频谱复数频谱。又由于从，频率。又由于从，频率也从负无穷大变化到正无穷大，所以这种频谱为也

11、从负无穷大变化到正无穷大，所以这种频谱为双边频谱双边频谱。根据，可以画出根据，可以画出复数幅度谱复数幅度谱及及复数相位复数相位谱谱，如图。，如图。复数幅度谱复数幅度谱复数相位谱复数相位谱偶函偶函数数奇函奇函数数因为是（或频率）的偶函数，幅度谱相对于纵因为是（或频率）的偶函数，幅度谱相对于纵轴对称；而是（或频率）的奇函数，相位谱相对于轴对称；而是（或频率）的奇函数，相位谱相对于原点对称。原点对称。如果为如果为实数实数，则可以，则可以用的正负表示的用的正负表示的，此时可，此时可将将幅度谱幅度谱和和相位谱相位谱画在一张图上，如图。画在一张图上，如图。课后习题：课后习题：P1603-2函数的对称性函数

12、的对称性与傅里叶系数的关系与傅里叶系数的关系将已知函数展开为傅里叶级数时，如果为实函将已知函数展开为傅里叶级数时，如果为实函数且其波形满足某种对称性，则有些傅里叶系数将等于零，数且其波形满足某种对称性，则有些傅里叶系数将等于零，从而使傅里叶系数的计算较为简便。从而使傅里叶系数的计算较为简便。函数波形的对称性有两类，一类是关于函数波形的对称性有两类，一类是关于整周期对称整周期对称，例，例如偶函数和奇函数；另一类是关于如偶函数和奇函数；另一类是关于半周期对称半周期对称，例如奇谐函，例如奇谐函数和偶谐函数。前者决定级数中只含有余弦项或正弦项，后数和偶谐函数。前者决定级数中只含有余弦项或正弦项，后者决

13、定级数中只含有奇次项或偶次项。者决定级数中只含有奇次项或偶次项。偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数整周期对称整周期对称半周期对称半周期对称P94是偶函数是偶函数当的波形关于纵轴对称，即当的波形关于纵轴对称，即此时，此时，为的偶函数，而为的为的偶函数，而为的奇函数，则奇函数，则因此，偶函数的为实数。在偶函数的傅里叶级数中不因此，偶函数的为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项直流项和余弦项。是奇函数是奇函数当的波形关于纵轴反对称，即关于原点对称，即当的波形关于纵轴反对称，即关于原点对称，即 此时，为的奇函数，而此时，为的

14、奇函数，而为的偶函数，且有为的偶函数，且有因此，奇函数的为纯虚数。在奇函数的傅里叶级数中因此，奇函数的为纯虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有不会含有余弦项，只可能含有正弦项正弦项。奇函数直流分量奇函数直流分量不再是奇函数，但在它的级数中仍然不再是奇函数，但在它的级数中仍然不会含有余弦不会含有余弦项项。例如，如图所示的周期三角波虽然不是奇函数，但将其。例如，如图所示的周期三角波虽然不是奇函数，但将其波形波形沿纵轴往下平移沿纵轴往下平移后所得的波形是关于原点对称的，即后所得的波形是关于原点对称的，即 可看作是奇函数上再加以直流分量，所以它的傅里叶级可看作是奇函数上再加以直流分量

15、，所以它的傅里叶级数中不含有余弦项，但包含数中不含有余弦项，但包含直流项和正弦项直流项和正弦项。是奇谐函数是奇谐函数如果将的前半周期波形沿时间轴平移后，与后半如果将的前半周期波形沿时间轴平移后，与后半周期波形关于时间轴对称，即满足周期波形关于时间轴对称，即满足则这样的函数称为则这样的函数称为奇谐函数奇谐函数或或半波对称函数半波对称函数。如图。如图。由图可见，由图可见，直流直流分量分量P95为了说明半波对称对傅里叶系数的影响，图为了说明半波对称对傅里叶系数的影响，图(b)(c)(d)(e)中用虚线画出了中用虚线画出了 的波形，而图中的实线表示半波对称函数。的波形，而图中的实线表示半波对称函数。的

16、积分为一个不为零的定值的积分为一个不为零的定值，而，而 的积分为零的积分为零。可得到可得到依次类推依次类推由此可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有由此可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和基波和奇次谐波的正弦、余弦项奇次谐波的正弦、余弦项，而不会包含直流项和偶次谐波项。，而不会包含直流项和偶次谐波项。注：不要把奇函数和奇谐函数相混淆。注：不要把奇函数和奇谐函数相混淆。奇函数只可能包含正弦项，奇函数只可能包含正弦项，奇谐函数只可能包含奇次谐波的正弦、余弦项。奇谐函数只可能包含奇次谐波的正弦、余弦项。是偶谐函数是偶谐函数如果的波形是偶半波对称，即如果的波形是偶半波对称，即实际上，此时是

17、以为周期，则这样的函数只有实际上，此时是以为周期，则这样的函数只有直流直流项和偶次谐波分量项和偶次谐波分量。结论：结论：(1)一般函数，可分解为奇函数和偶函数之和，利用奇函一般函数，可分解为奇函数和偶函数之和，利用奇函数和偶函数的特点，将它们分别展开成傅里叶级数再相加，数和偶函数的特点，将它们分别展开成傅里叶级数再相加，可使运算过程简化。可使运算过程简化。补充补充 (2)函数的对称性不仅与的波形有关，还与函数的对称性不仅与的波形有关，还与坐标坐标原点的选取原点的选取有关。有关。如图所示的图形，既非奇对称，又非偶对如图所示的图形，既非奇对称，又非偶对称，但如果将坐标原点沿横轴平移，即可使图形关于

18、纵称，但如果将坐标原点沿横轴平移，即可使图形关于纵轴对称；如果将波形沿纵轴往下平移，即可使图形关于原轴对称；如果将波形沿纵轴往下平移，即可使图形关于原点对称。因此，有时在允许的情况下，可通过移动函数的坐点对称。因此，有时在允许的情况下，可通过移动函数的坐标使波形具有某种对称性，以使傅里叶系数的计算量大为减标使波形具有某种对称性，以使傅里叶系数的计算量大为减少。少。左移左移1右移右移1表表P98例题例题利用信号的对称性，定性判断图中各周期信号的傅利用信号的对称性，定性判断图中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。里叶级数中所含有的频率分量。解解：(a)这既是一个这既是一个偶函数偶函数，又是一

19、个，又是一个奇谐函数奇谐函数，即，即在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，而在奇谐函在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，而在奇谐函数的傅里叶级数中不会含有直流项和偶次谐波项。综合这两数的傅里叶级数中不会含有直流项和偶次谐波项。综合这两点，故该的傅里叶级数中只含有点，故该的傅里叶级数中只含有基波和奇次谐波的余弦基波和奇次谐波的余弦分量。分量。解：解：(b)这是一个这是一个偶函数偶函数，且实际周期，为，且实际周期，为偶谐函数偶谐函数，即即因此，它的傅里叶级数中只含有因此，它的傅里叶级数中只含有直流分量和偶次谐波的余弦直流分量和偶次谐波的余弦分量分量。解：解：(c)这个函数既不是偶函数又不是奇函数

20、，但如果将其波这个函数既不是偶函数又不是奇函数，但如果将其波形沿纵轴向下平移，就成了奇函数，即关于坐标原点对形沿纵轴向下平移，就成了奇函数，即关于坐标原点对称。称。故，此函数可看作是一个故，此函数可看作是一个直流分量直流分量和一个和一个奇函数奇函数的叠加，的叠加，且实际周期仅为，为且实际周期仅为，为偶谐函数偶谐函数。因此它的傅里叶级数中。因此它的傅里叶级数中只含有只含有直流分量和偶次谐波的正弦分量。直流分量和偶次谐波的正弦分量。课后习题：课后习题：P1613-7总结：总结：周期信号的复数频谱周期信号的复数频谱由于由于 是一个复函数，所以复数频谱包括是一个复函数，所以复数频谱包括幅度频谱幅度频谱

21、和和相位频谱相位频谱两张图。两张图。周期信号的频谱有三个特点：周期信号的频谱有三个特点：（1）离散性离散性：谱线是一条一条的线状谱；：谱线是一条一条的线状谱；（2）谐波性谐波性：是基频的整数倍。：是基频的整数倍。0次直流分量；次直流分量；1次基次基波；波；2次、次、3次、次、等谐波分量；等谐波分量；（3）幅度收敛性幅度收敛性：越大，越小，逐渐收敛于无穷远：越大，越小，逐渐收敛于无穷远处。处。3.3典型周期信号的傅里叶级数及频谱典型周期信号的傅里叶级数及频谱以周期矩形脉冲信号的频谱为例以周期矩形脉冲信号的频谱为例周期矩形脉冲信号的波形如图，它的脉冲宽度为，脉周期矩形脉冲信号的波形如图，它的脉冲宽

22、度为，脉冲幅度为，重复周期为。冲幅度为，重复周期为。P101利用指数形式的傅里叶级数系数的计算公式，可得其频谱为利用指数形式的傅里叶级数系数的计算公式，可得其频谱为其中，为其中，为抽样函数抽样函数（Sample funtion），它等于），它等于P102函数为函数为实函数实函数，故周期矩形脉冲信号的频谱也是一个，故周期矩形脉冲信号的频谱也是一个实函数，因此可将幅度谱和相位谱画在一张图上。如果取实函数，因此可将幅度谱和相位谱画在一张图上。如果取，则其频谱图如图所示。，则其频谱图如图所示。讨论：讨论：(1)若的周期，但不变，则两谱线的间隔是若的周期，但不变，则两谱线的间隔是，故谱线变密，零点位置，

23、故谱线变密，零点位置 不变，谱线的高度不变，谱线的高度。当，则变成非周期的单脉冲，而不是原来的周。当，则变成非周期的单脉冲，而不是原来的周期多脉冲，则频谱谱线的密度越来越密，最后由离散谱变成期多脉冲，则频谱谱线的密度越来越密，最后由离散谱变成连续谱。连续谱。或或两谱线的间隔两谱线的间隔零点位置零点位置谱线高度谱线高度(2)若的周期不变，但脉冲宽度，则不变，若的周期不变，但脉冲宽度，则不变，即谱线之间的间隔不变，但零点位置拉开，不变，即谱线之间的间隔不变，但零点位置拉开，不变，则零点间的谱线根数增多，谱线高度，频谱的收敛性变则零点间的谱线根数增多，谱线高度，频谱的收敛性变缓。缓。(3)周期矩形脉

24、冲信号可分解成无穷多个频率分量，即它周期矩形脉冲信号可分解成无穷多个频率分量，即它的频谱分布于整个轴。但其主要能量集中在第一个零点，即的频谱分布于整个轴。但其主要能量集中在第一个零点，即把这段频率范围称为把这段频率范围称为主瓣主瓣，将称为矩形信号的，将称为矩形信号的频带宽度频带宽度，记作，即，记作，即或或P103显然频带宽度只与矩形脉冲的宽度有关，脉宽越宽，频显然频带宽度只与矩形脉冲的宽度有关，脉宽越宽，频带宽度越窄。带宽度越窄。以后我们将会证明所有信号的时域波形持续时间越长，则以后我们将会证明所有信号的时域波形持续时间越长，则其频带宽度越窄，即所谓的其频带宽度越窄，即所谓的时展频缩，时缩频展

25、时展频缩，时缩频展。如果信号。如果信号时间是从时间是从 ，则其频谱一定是频带有限，即，则其频谱一定是频带有限，即时频谱为时频谱为0。反之亦然，即反之亦然，即时限频无限，频限时无限时限频无限，频限时无限。或或P106-109 其他几个信号的傅里叶级数展开其他几个信号的傅里叶级数展开 （二）周期锯齿脉冲信号（二）周期锯齿脉冲信号 （三）周期三角脉冲信号（三）周期三角脉冲信号 （四）周期半波余弦信号（四）周期半波余弦信号 （五）周期全波余弦信号（五）周期全波余弦信号3.4傅里叶变换傅里叶变换 前面已经讨论了周期信号的傅里叶级数分解，并得到了它的离散频谱。前面已经讨论了周期信号的傅里叶级数分解，并得到

26、了它的离散频谱。下面我们将把这一傅里叶分析法推广到更具一般性的非周期信号中去，下面我们将把这一傅里叶分析法推广到更具一般性的非周期信号中去，导出傅里叶变换。导出傅里叶变换。重要的非周期信号有重要的非周期信号有单位冲激信号单位冲激信号、单位阶跃信号单位阶跃信号等，它们等，它们都可以看作是周期的周期函数。都可以看作是周期的周期函数。前面已经指出过，前面已经指出过，当周期信号的周期当周期信号的周期 ，谱线的间隔将变，谱线的间隔将变小，若周期小，若周期，则谱线的间隔趋于无穷小，这样信号的，则谱线的间隔趋于无穷小，这样信号的频谱就由离散频谱变成连续频谱。同时，各频率分量的幅度频谱就由离散频谱变成连续频谱

27、。同时，各频率分量的幅度（即谱线高度）也趋近于无穷小，但这些无穷小量之间仍保（即谱线高度）也趋近于无穷小，但这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。持一定的比例关系。为了描述非周期信号的频谱特性，引入为了描述非周期信号的频谱特性，引入“频谱频谱密度函数密度函数”的概念。下面我们就从周期信号的傅里叶级数出发，来推导的概念。下面我们就从周期信号的傅里叶级数出发，来推导出傅里叶变换，并说明频谱密度函数的意义。出傅里叶变换，并说明频谱密度函数的意义。P109由傅里叶级数的极限推得傅里叶变换式由傅里叶级数的极限推得傅里叶变换式设一周期信号，将其展开成设一周期信号，将其展开成指数形式指数形式的傅里叶级的傅里

28、叶级数，为数，为 ，其频谱为，其频谱为上式等号两边同乘以，可得上式等号两边同乘以，可得且有且有当时，取其为当时，取其为 ，则将趋近于，则将趋近于。而原来是离散变量，当时，它就成了连续变量，。而原来是离散变量，当时，它就成了连续变量，取为，即。同时，求和符号就改写为积分取为，即。同时，求和符号就改写为积分。于是，当时，上两式可写为：。于是，当时，上两式可写为：P111称为的称为的频谱密度函数频谱密度函数或简称为或简称为频谱函数频谱函数，即单，即单位频率下的频谱高度，它是的连续函数。称为位频率下的频谱高度，它是的连续函数。称为的的原函数原函数。两者的关系：两者的关系：傅里叶正变换傅里叶正变换 傅里

29、叶傅里叶逆变换逆变换P112存在的条件存在的条件 前面在推导傅里叶变换时，我们并没有遵循数学上的严前面在推导傅里叶变换时，我们并没有遵循数学上的严格步骤。格步骤。数学证明指出，数学证明指出，函数的傅里叶变换存在的充分条件函数的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足是在无限区间内满足绝对可积绝对可积条件条件，即，即但它并非必要条件。当引入但它并非必要条件。当引入奇异函数（如冲激函数）奇异函数（如冲激函数）后，后，将使许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换，将使许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换，这给信号与系统的分析带来很大方便。这给信号与系统的分析带来很大方便。P113信

30、号的时域和频域表示信号的时域和频域表示这是一对傅里叶变换对这是一对傅里叶变换对表示了信号被分解为指数基函数后各频率分量表示了信号被分解为指数基函数后各频率分量的相对幅值和相位，因此我们称是时间信号的频的相对幅值和相位，因此我们称是时间信号的频域表示。也就是说，任一信号可以有两种描述方法：时域的域表示。也就是说，任一信号可以有两种描述方法：时域的描述和频域的描述。即描述和频域的描述。即时域描述时域描述是在每一瞬时上确定信号之值；是在每一瞬时上确定信号之值；频域描述频域描述是确定信号中各频率分量的相对幅值和相是确定信号中各频率分量的相对幅值和相位。位。两者均唯一地表示了该信号。两者均唯一地表示了该

31、信号。时间信号与频谱函数之间是一一对应的关系。时间信号与频谱函数之间是一一对应的关系。P112频谱函数一般来说是一个频谱函数一般来说是一个复函数复函数，复函数可以用，复函数可以用其幅值和相位来表示，即其幅值和相位来表示，即其中，是的模或幅值，它表示信号中各频率分其中，是的模或幅值，它表示信号中各频率分量的相对大小。是的相位函数，它表示信号中量的相对大小。是的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系。为了与周期信号的频谱相一致，各频率分量之间的相位关系。为了与周期信号的频谱相一致，习惯上我们把习惯上我们把 曲线称为曲线称为幅度频谱幅度频谱，将，将曲线称为曲线称为相位频谱相位频谱。两张谱合起

32、来才是完整的频谱。非周期。两张谱合起来才是完整的频谱。非周期信号的频谱是连续频谱。在形状上与相应的周期信号的离散信号的频谱是连续频谱。在形状上与相应的周期信号的离散频谱的包络线相同。频谱的包络线相同。P1123.5典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换是信号与系统分析的一种有效数学工具，透彻傅里叶变换是信号与系统分析的一种有效数学工具，透彻地理解此变换，就能掌握主动权，因此要求熟悉常用信号的地理解此变换，就能掌握主动权，因此要求熟悉常用信号的傅里叶变换，并且把握好傅里叶变换，并且把握好频域与时域频域与时域的关系。的关系。1 1、单边指数衰减信号、单边指数衰减信号已知单边

33、指数衰减信号的函数表达式为已知单边指数衰减信号的函数表达式为则则得得P113单边指数衰减信号的波形、幅度谱和相位谱单边指数衰减信号的波形、幅度谱和相位谱如图所示。如图所示。由图可见，其幅度谱是的偶函数，相位谱是的奇函由图可见，其幅度谱是的偶函数，相位谱是的奇函数。数。若，则为指数增长信号，它的傅里若，则为指数增长信号，它的傅里叶积分发散，不存在。叶积分发散，不存在。P1142 2、双边指数衰减信号、双边指数衰减信号已知双边指数衰减信号的函数表达式为已知双边指数衰减信号的函数表达式为则则故故频谱函数频谱函数 为的实偶函数，为为的实偶函数，为0。可以证明，若时间信号是的实偶函数，则其频谱函可以证明

34、，若时间信号是的实偶函数，则其频谱函数数 必定是的实偶函数，必定是的实偶函数，为或。为或。P114双边指数衰减信号的波形及其幅度谱如图所示。双边指数衰减信号的波形及其幅度谱如图所示。3 3、门函数、门函数(矩形脉冲信号矩形脉冲信号)门函数也称矩形脉冲，用符号表示，其宽度为，门函数也称矩形脉冲，用符号表示，其宽度为，幅度为幅度为1。故可表示为：。故可表示为：故故幅度为幅度为E的矩形脉冲信号的频谱的矩形脉冲信号的频谱为：为：此频谱函数是的实偶函数。此频谱函数是的实偶函数。P114P115门函数的波形及其频谱图如图。门函数的波形及其频谱图如图。一般而言，信号的频谱需要用幅度谱和相位谱两张图才一般而言

35、，信号的频谱需要用幅度谱和相位谱两张图才能把它完整地表示出来。但能把它完整地表示出来。但如果频谱函数如果频谱函数 是实函数或是实函数或虚函数时，那么只用一张幅度谱就可以了。虚函数时，那么只用一张幅度谱就可以了。这时的相位谱完这时的相位谱完全可以由幅度谱得到，以是的实函数为例，其相位全可以由幅度谱得到，以是的实函数为例，其相位函数不是函数不是0就是，就是，当，则为当，则为0；当；当，则为。，则为。P115以上我们完成了三个典型非周期信号的傅里叶变换，现在以上我们完成了三个典型非周期信号的傅里叶变换，现在对信号的频谱进行研究讨论，就能发现信号对信号的频谱进行研究讨论，就能发现信号时与频时与频的一些

36、关的一些关系。系。讨论门函数的频谱：讨论门函数的频谱：(1)频谱图中第一个零点的角频率为（频率为）频谱图中第一个零点的角频率为（频率为）。我们把这段频率范围称为。我们把这段频率范围称为主瓣主瓣，定义主瓣为信，定义主瓣为信号的号的频带宽度频带宽度，即，即这样，这样，门函数的脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽门函数的脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。这。这与前面在周期脉冲信号的频谱讨论中的结论是一致的。与前面在周期脉冲信号的频谱讨论中的结论是一致的。或或P116(2)是门函数的门宽，即矩形脉冲的脉宽，是有限值。是门函数的门宽，即矩形脉冲的脉宽，是有限值。但门函数的频谱函数却是无限上均存在，即其频谱但门函

37、数的频谱函数却是无限上均存在，即其频谱分布在无限宽的频率范围上。信号这种时域与频域的对应关分布在无限宽的频率范围上。信号这种时域与频域的对应关系，可用系，可用“时限频无限，频限时无限时限频无限，频限时无限”来描述；来描述；(3)抽样函数是信号处理的中的一个重要函数，以抽样函数是信号处理的中的一个重要函数，以后经常用到。后经常用到。P116-119 其他几个非周期信号的傅里叶变换其他几个非周期信号的傅里叶变换 （四）钟形脉冲信号（四）钟形脉冲信号 （五）符号函数信号（五）符号函数信号 （六）升余弦脉冲信号（六）升余弦脉冲信号 3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换单位

38、冲激函数的单位冲激函数的FT单位冲激函数的傅里叶变换为单位冲激函数的傅里叶变换为上述的结果是由冲激函数的抽样特性得到的。此结果可上述的结果是由冲激函数的抽样特性得到的。此结果可以从另一角度得到，即以从另一角度得到，即将冲激函数看作是时的门函数，将冲激函数看作是时的门函数，门函数的时，其频谱展开为无穷宽的均匀谱门函数的时，其频谱展开为无穷宽的均匀谱。运算符号运算符号函数函数P119单位冲激函数的频谱如图。此频谱为常数，即在整个频单位冲激函数的频谱如图。此频谱为常数，即在整个频率范围（为）内频谱是均匀分布的。由此可见，率范围（为）内频谱是均匀分布的。由此可见，在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度

39、相等的所有频率在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。所以，这种频谱常称为分量。所以，这种频谱常称为“均匀谱均匀谱”、“白色谱白色谱”或或“全色全色谱谱”。可推断，。可推断，在时域中变化越剧烈的信号，其包含的高频在时域中变化越剧烈的信号，其包含的高频分量越丰富分量越丰富，而变化缓慢的信号则相反，直流信号是其中之，而变化缓慢的信号则相反，直流信号是其中之极限情况。极限情况。P120讨论：讨论：，则，即。，则，即。写成一般形式：写成一般形式：又令，则有又令，则有原式原式故有故有冲激偶函数的冲激偶函数的FT冲激偶函数冲激偶函数 的傅里叶变换的傅里叶变换分部积分分部积分P121单位直

40、流信号的单位直流信号的FTFT幅度为幅度为1的直流信号可表示为的直流信号可表示为其频谱为其频谱为显然直流信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却显然直流信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在，这是引入奇异函数的结果。存在，这是引入奇异函数的结果。可将直流信号看作是门函数当时的极限，可将直流信号看作是门函数当时的极限，时无限时无限频有限，时展频缩频有限，时展频缩，时间轴上的门开到无穷大，频率轴上则，时间轴上的门开到无穷大，频率轴上则缩为一点。直流信号及其频谱如图所示，可见直流信号的频缩为一点。直流信号及其频谱如图所示，可见直流信号的频谱分量只有谱分量只有0频率分量。频率分量。P120虚指数

41、信号的虚指数信号的FTFT虚指数信号可表达为虚指数信号可表达为其频谱为其频谱为频谱如图所示。频谱如图所示。补充补充正、余弦函数的正、余弦函数的FTFT正弦函数是的实奇函数，其表达式为正弦函数是的实奇函数，其表达式为余弦函数是的实偶函数，其表达式为余弦函数是的实偶函数，其表达式为正、余弦函数的频谱正、余弦函数的频谱为为这是的虚奇函数这是的虚奇函数这是的实偶函数这是的实偶函数P144这两个信号的频谱只包含位于处的冲激函数，如图。这两个信号的频谱只包含位于处的冲激函数，如图。可见，这几个信号都不是绝对可积的，但它们的傅里叶可见，这几个信号都不是绝对可积的，但它们的傅里叶变换在引入变换在引入函数函数后

42、均存在。后均存在。一般周期信号的一般周期信号的FT FT 设设其中为整数，为周期信号的周期；角频率为。其中为整数，为周期信号的周期；角频率为。可将展开成傅里叶级数可将展开成傅里叶级数将上式两边取傅里叶变换将上式两边取傅里叶变换因为因为P145代入可得到一般周期信号的频谱密度函数，即傅里代入可得到一般周期信号的频谱密度函数，即傅里叶变换为叶变换为其中，是的傅里叶级数的系数其中，是的傅里叶级数的系数可见，周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数叠加而可见，周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数叠加而成的，冲激位于成的，冲激位于 处，每个冲激的强度等于处，每个冲激的强度等于的傅里叶级数的相应系数的的傅里叶

43、级数的相应系数的 倍。因此，周期信号的频倍。因此，周期信号的频谱是离散的而不是连续的，这一点与前面介绍的傅里叶级数谱是离散的而不是连续的，这一点与前面介绍的傅里叶级数所得到的绪论是一致的。所得到的绪论是一致的。注：傅里叶变换是反映频谱密度的概念，频谱与注：傅里叶变换是反映频谱密度的概念，频谱与傅里叶级数的频谱是不同的。周期信号的傅里叶级数的频谱是不同的。周期信号的不是有限值，而是冲激函数。不是有限值，而是冲激函数。指数信号的指数信号的FT则则这是的虚奇函这是的虚奇函数数P126此函数的波形及频谱如图所示。此函数的波形及频谱如图所示。符号函数的符号函数的FT符号函数记为符号函数记为sgn(t)，

44、即，即此函数可看作是函数此函数可看作是函数当时的极限，因此它的频谱函数也是的频谱当时的极限，因此它的频谱函数也是的频谱函数当时的极限，故有函数当时的极限，故有这是的虚奇函数这是的虚奇函数P117符号函数的波形及其幅度频谱如图所示。符号函数的波形及其幅度频谱如图所示。单位阶跃函数的单位阶跃函数的FT 单位阶跃函数可看作是幅度为的直流信号和幅度为单位阶跃函数可看作是幅度为的直流信号和幅度为的符号函数之和，即的符号函数之和，即对上式两边进行傅里叶变换对上式两边进行傅里叶变换此频谱在处有一个冲激，这是由于含有直流此频谱在处有一个冲激，这是由于含有直流分量。但不是纯直流信号，它在处还有跳变，所以分量。但

45、不是纯直流信号，它在处还有跳变，所以在它的频谱中还出现其他频率分量。单位阶跃函数的频谱如在它的频谱中还出现其他频率分量。单位阶跃函数的频谱如图所示。图所示。P1213.7傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 信号的时频关系信号的时频关系 所谓所谓信号的时频关系信号的时频关系，就是信号的时间域的表示与频率域的表示之，就是信号的时间域的表示与频率域的表示之间的对应关系。间的对应关系。在这一节中，我们将借助傅里叶变换的基本性质来研究在这一节中，我们将借助傅里叶变换的基本性质来研究这种对应关系。具体地说，就是研究当信号在时域中进行某种运算后，这种对应关系。具体地说，就是研究当信号在时域中进行某种运

46、算后，在频域会发生怎样的变化，或者反过来，从频域的运算推测时域的变化。在频域会发生怎样的变化，或者反过来，从频域的运算推测时域的变化。线性线性P123若若则（为常数，为正整数）则（为常数，为正整数）这一性质可直接由傅里叶变换的定义式得到证明。此特这一性质可直接由傅里叶变换的定义式得到证明。此特性说明傅里叶变换是一种线性变换。性说明傅里叶变换是一种线性变换。P122奇偶虚实性奇偶虚实性由于由于当是的实函数当是的实函数时，则显然有时，则显然有即即 和和 互为共轭。互为共轭。另外，复函数另外，复函数 可表示成模与相位或实部与虚部两可表示成模与相位或实部与虚部两部分，即部分，即P123由于共轭关系，故

47、有由于共轭关系，故有另外，当为实函数时，有另外，当为实函数时，有因此，因此，当是实偶函数时，当是实偶函数时，则，则 必为必为的实偶函数；当是实奇函数时，的实偶函数；当是实奇函数时，则，则 必为必为的的虚偶函数虚偶函数。是的偶函数是的偶函数是的奇函数是的奇函数课后习题：课后习题：P167 3-20（1）对称性对称性 若若 ，则，则 证明：证明：将变量将变量 与与 互换，则可得互换，则可得上式就是上式就是 的傅里叶变换，所以有的傅里叶变换，所以有只有当是的只有当是的实偶函数实偶函数时，才有完全对称性。时，才有完全对称性。P123例如：例如：时域冲激函数的傅里叶变换为频域的常数时域冲激函数的傅里叶变

48、换为频域的常数，则由对称性可得，时域的常数，则由对称性可得，时域的常数 的傅里叶变换的傅里叶变换为，由于是的偶函数，即为，由于是的偶函数，即，故，故有有这与我们前面得到的结论是一样的。这与我们前面得到的结论是一样的。已知已知 ，求抽样函数的频谱，求抽样函数的频谱函数。函数。直接用定义式求直接用定义式求 的傅里叶变换较复杂，利用对称的傅里叶变换较复杂，利用对称性则较为方便。性则较为方便。取时，有取时，有则由则由对称性对称性可知：可知：其波形如图所示。其波形如图所示。（1）求：）求：因为因为由由对称性对称性并且是的奇函数，即，可并且是的奇函数，即，可得得根据根据线性性质线性性质，在时域乘以，则相应

49、的频域也乘以，在时域乘以，则相应的频域也乘以，得，得求函数和的频谱函数。求函数和的频谱函数。由于由于 由由对称性对称性并考虑到，得并考虑到，得 根据根据线性性质线性性质，时域、频域同时乘以，得，时域、频域同时乘以，得（2）求：）求：课后习题：课后习题：P167 3-22(1)尺度变换特性尺度变换特性 若，则对于实常数若，则对于实常数，有，有此特性可根据傅里叶变换的定义来证明。尺度变换特性此特性可根据傅里叶变换的定义来证明。尺度变换特性表明，若信号在时间域中被压缩到原来的，则表明，若信号在时间域中被压缩到原来的，则其频谱函数在频率域中将展宽倍，同时其幅值将减小到原其频谱函数在频率域中将展宽倍，同

50、时其幅值将减小到原来的。来的。即，在时域中信号占据时间的压缩对应于其频谱在频域即，在时域中信号占据时间的压缩对应于其频谱在频域中占有频带的扩展，或者，信号在时域中的扩展对应于其频中占有频带的扩展，或者，信号在时域中的扩展对应于其频谱在频域中的压缩。这一规律称为谱在频域中的压缩。这一规律称为时频展缩特性时频展缩特性。由尺度变换特性可知，信号的持续时间与信号的占有频带成反比。由尺度变换特性可知，信号的持续时间与信号的占有频带成反比。例如，对于门函数，其频带宽度。在电子技术与通信技例如，对于门函数，其频带宽度。在电子技术与通信技术中，常常需要将信号持续时间缩短，以加快信息传送速度，这就不得术中，常常