力学基础 第4章 空间任意力系.ppt

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1、第四章第四章第四章第四章空间力系空间力系空间力系空间力系空间力系：空间汇交（共点）力系，空间力偶系空间力系：空间汇交（共点）力系，空间力偶系空间力系：空间汇交（共点）力系，空间力偶系空间力系：空间汇交（共点）力系，空间力偶系,空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系,空间平行力系。空间平行力系。空间平行力系。空间平行力系。41414141空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力系平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？系是否适用？系是否适用？

2、系是否适用？动画动画第第第第4 4章章章章 空间基本力系空间基本力系空间基本力系空间基本力系空间共点力系合成的几何法空间共点力系合成的几何法空间共点力系合成的几何法空间共点力系合成的几何法动画动画平行六面体规则平行六面体规则平行六面体规则平行六面体规则第第第第4 4章章章章 空间基本力系空间基本力系空间基本力系空间基本力系动画动画空间力在轴上的投影空间力在轴上的投影空间力在轴上的投影空间力在轴上的投影第第第第4 4章章章章 空间基本力系空间基本力系空间基本力系空间基本力系对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？用解析法用解析法用解

3、析法用解析法直接投影法直接投影法直接投影法直接投影法1 1 1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影动画动画空间力在正交轴上的投影空间力在正交轴上的投影空间力在正交轴上的投影空间力在正交轴上的投影第第第第4 4章章章章 空间基本力系空间基本力系空间基本力系空间基本力系动画动画空间力在平面上的投影空间力在平面上的投影空间力在平面上的投影空间力在平面上的投影第第第第4 4章章章章 空间基本力系空间基本力系空间基本力系空间基本力系间接（二次）投影法间接（二次）投影法间接（二次）投影法间接（二次）投影法动画动画二次投影法二次投影法二次投影法

4、二次投影法 当当当当力力力力与与与与坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴之之之之间间间间的的的的夹夹夹夹角角角角不不不不易易易易确确确确定定定定时时时时，为为为为了了了了计计计计算算算算力力力力在在在在坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴上上上上的的的的投投投投影影影影，可可可可先先先先将将将将力力力力投投投投影影影影到到到到对对对对应应应应的的的的坐坐坐坐标标标标面面面面上上上上，然然然然后后后后再再再再投投投投影影影影到到到到相相相相应应应应的的的的坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴上上上上，这这这这种种种种方法称为二次投影法。方法称为二次投影法。方法称为二次投影法。方法称为二次投影法。第第第第4 4章章章章 空间基本力系

5、空间基本力系空间基本力系空间基本力系2 2 2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 动画动画合力投影定理合力投影定理合力投影定理合力投影定理第第第第4 4章章章章 空间基本力系空间基本力系空间基本力系空间基本力系合力的大小合力的大小合力的大小合力的大小（41414141）空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充

6、分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。(4-2)(4-2)(4-2)(4-2)该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即 由式（由式（由式（由式（41414141）方向余弦方向余弦方向余弦方向余弦1 1 1 1、力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢力矩矢力矩矢42 42 42 42 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩(

7、3)(3)(3)(3)作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。(2)(2)(2)(2)方向方向方向方向:转动方向转动方向转动方向转动方向(1(1(1(1）大小）大小）大小）大小:力力力力F F F F与力臂的乘积与力臂的乘积与力臂的乘积与力臂的乘积三要素：三要素：三要素：三要素：力对点力对点力对点力对点O O O O的矩的矩的矩的矩 在在在在三个坐标轴上的投影为三个坐标轴上的投影为三个坐标轴上的投影为三个坐标轴上的投影为（44444444）（45454545）又又又又则则则则（43434343）动画动画第第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间

8、任意力系空间任意力系力对点的矩力对点的矩力对点的矩力对点的矩2.2.2.2.力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。力对该轴的矩为零。力对该轴的矩为零。力对该轴的矩为零。（4 46666）动画动画力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩第第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系动画动画力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩 在在在在两两两两种种种种情情情情形形形形下下下下

9、，力对轴的矩等于零：力对轴的矩等于零：力对轴的矩等于零：力对轴的矩等于零：1.1.1.1.力和轴平行；力和轴平行；力和轴平行；力和轴平行；2.2.2.2.力的作用线通过力的作用线通过力的作用线通过力的作用线通过 矩轴。矩轴。矩轴。矩轴。第第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系动画动画力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩 力力力力对对对对任任任任一一一一z z轴轴轴轴的的的的矩矩矩矩，等等等等于于于于这这这这力力力力在在在在z z轴轴轴轴的的的的垂垂垂垂直直直直面面面面上上上上的的的的投投投投影影影影对对对对该该该该投投投投影影影影面面面面和和和和z z轴轴轴

10、轴交交交交点点点点的的的的矩。矩。矩。矩。第第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系=0=0=（4-74-7）3 3 3 3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力已知：力已知：力已知：力,力力力力 在三根轴上的分力在三根轴上的分力在三根轴上的分力在三根轴上的分力 ，力，力，力，力 作作作作用点的坐标用点的坐标用点的坐标用点的坐标 x,y,zx,y,z求：力求：力求：力求：力 对对对对 x,y,zx,y,z轴的矩轴的矩轴的矩轴的矩=+0+0+0+0-

11、=（4-84-84-84-8）=-=-=-=-+0+0+0+0=（4-94-94-94-9）比较（比较（比较（比较（4-54-54-54-5）、（）、（）、（）、（4-74-74-74-7）、（）、（）、（）、（4-84-84-84-8）、）、）、）、（4-94-94-94-9）式可得）式可得）式可得）式可得即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对该轴的矩。力对该轴的矩。力对该轴的矩。动画动画力矩关系定理力矩关系定理力矩关系定理力矩关系定理第

12、第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系例例例例 题题题题 5 5例题例题如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力F Fn n的作用。已知斜的作用。已知斜的作用。已知斜的作用。已知斜齿轮的啮合角齿轮的啮合角齿轮的啮合角齿轮的啮合角(螺旋角螺旋角螺旋角螺旋角)和压力角和压力角和压力角和压力角，试求力试求力试求力试求力F Fn n沿沿沿沿x x，y y 和和和和 z z 轴轴轴轴的分力。的分力。的分力。的分力。空间基本空间基本力系力系例例例例 题题题题 5 5例题例题运运运运 动动

13、动动 演演演演 示示示示 空间基本空间基本力系力系例例例例 题题题题 5 5例题例题将力将力将力将力F Fn n向向向向 z z 轴和轴和轴和轴和Oxy Oxy 平面投影平面投影平面投影平面投影解：解：解：解：空间基本空间基本力系力系例例例例 题题题题 5 5例题例题沿各轴的分力为沿各轴的分力为沿各轴的分力为沿各轴的分力为将力将力将力将力F Fxyxy向向向向x x，y y 轴投影轴投影轴投影轴投影 空间基本空间基本力系力系例例例例 题题题题 6 6例题例题 如如图图所所示示，用用起起重重机机吊吊起起重重物物。起起重重杆杆的的A A端端用用球球铰铰链链固固定定在在地地面面上上，而而B B端端则

14、则用用绳绳CBCB和和DBDB拉拉住住，两两绳绳分分别别系系在在墙墙上上的的C C点点和和D D点点，连连线线CDCD平平行行于于x x轴轴。已已知知CE=EB=DECE=EB=DE,角角=30=30o o，CDBCDB平平面面与与水水平平面面间间的的夹夹角角EBFEBF=3030o o ,重重物物G=G=10 10 kNkN。如如不不计计起起重重杆杆的的重重量量,试试求求起起重重杆杆所所受受的的力力和和绳绳子子的的拉拉力。力。空间基本空间基本力系力系例例例例 题题题题 6 6例题例题1.1.取杆取杆取杆取杆ABAB与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对

15、象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。解：解：解：解：x xz zy y3030o o A AB BD DG GC CE EF FF F1 1F F2 2F FA Az zy y3030o o A AB BG GE EF FF F1 1F FA A其侧视图为其侧视图为其侧视图为其侧视图为 空间基本空间基本力系力系例例例例 题题题题 6 6例题例题3 3.联立求解联立求解联立求解联立求解。2 2.列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。空间基本空间基本力系力系x xz zy y3030o o A AB BD DG GC CE EF FF F1 1F F2 2F FA Az z

16、y y3030o o A AB BG GE EF FF F1 1F FA A43 43 43 43 空间力偶空间力偶空间力偶空间力偶1 1 1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢空间力偶的三要素空间力偶的三要素空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1 1 1）大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3 3 3）作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。（2 2 2 2）方向：转动方向；方向：转动方向；方向：转动方向；方向：

17、转动方向；力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢 （410410410410）2 2 2 2、力偶的性质、力偶的性质、力偶的性质、力偶的性质力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩因因因因（2 2 2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。改变而改变。改变而改变。改变而改变。(1(1(1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。（3 3 3

18、3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。臂的长短，对刚体的作用效果不变。臂的长短，对刚体的作用效果不变。臂的长短，对刚体的作用效果不变。=(4)(4)(4)(4)只只只只要要要要保保保保持持持持力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩不不不不变变变变，力力力力偶偶偶偶可可可可从从从从其

19、其其其所所所所在在在在平平平平面面面面移移移移至至至至另另另另一一一一与与与与此此此此平平平平面面面面平平平平行行行行的的的的任任任任一一一一平平平平面面面面，对对对对刚刚刚刚体体体体的的的的作用效果不变。作用效果不变。作用效果不变。作用效果不变。=动画动画力偶作用面的平移力偶作用面的平移力偶作用面的平移力偶作用面的平移第第第第4 4章章章章 空间基本力系空间基本力系空间基本力系空间基本力系(5)(5)(5)(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。定位矢量定位矢量定位矢

20、量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量滑移矢量滑移矢量滑移矢量3 3 3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件=有有有有为合力偶矩矢，等于各分为合力偶矩矢，等于各分为合力偶矩矢，等于各分为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。力偶矩矢的矢量和。力偶矩矢的矢量和。力偶矩矢的矢量和。如同右图如同右

21、图如同右图如同右图合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦称为空间力偶系的平衡方程。称为空间力偶系的平衡方程。称为空间力偶系的平衡方程。称为空间力偶系的平衡方程。简写为简写为简写为简写为 （4 411111111）有有有有空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等合力偶矩矢等合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即于零，即于零，即 动画动画空间力偶系的合成空间力偶系的合成空间力偶系的合成空间力偶系的合成第第第第4 4章章章章 空间基本力系空

22、间基本力系空间基本力系空间基本力系例例例例 题题题题 1010例题例题 工工工工件件件件如如如如图图图图所所所所示示示示，它它它它的的的的四四四四个个个个面面面面上上上上同同同同时时时时钻钻钻钻五五五五个个个个孔孔孔孔，每每每每个个个个孔孔孔孔所所所所受受受受的的的的切切切切削削削削力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩均均均均为为为为80 80 N Nmm。求求求求工工工工件件件件所所所所受受受受合合合合力力力力偶偶偶偶的的的的矩矩矩矩在在在在x x，y y，z z轴轴轴轴上上上上的的的的投投投投影影影影MMx x，MMy y，MMz z，并并并并求求求求合合合合力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩矢矢矢矢的的的的大

23、大大大小小小小和方向。和方向。和方向。和方向。空间基本空间基本力系力系例例例例 题题题题 1010例题例题将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A A点点点点。（单击图面（单击图面（单击图面（单击图面演示平移动画）演示平移动画）演示平移动画）演示平移动画）可得可得可得可得所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦解：解：解：解：空间基

24、本空间基本力系力系A44 44 44 44 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢和主主矢和主主矢和主矩矩矩矩1 1 1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化其中，各其中，各其中，各其中，各 ，各，各，各，各一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。称为空间力偶系的主矩称为空间力偶系的主矩称为空间力偶系的主矩称为空间力偶系

25、的主矩称为力系的主矢称为力系的主矢称为力系的主矢称为力系的主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有对对对对 ，,轴的矩。轴的矩。轴的矩。轴的矩。式中，各分别表示各式中，各分别表示各式中，各分别表示各式中，各分别表示各力力力力空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力动画动画空间力向任一点的简化空间力向任一点的简化空间力向任一点的简化空间力向任一点的简化第第第第5 5章章章章 空间任意力系

26、空间任意力系空间任意力系空间任意力系动画动画空间力系向任一点的简化空间力系向任一点的简化空间力系向任一点的简化空间力系向任一点的简化第第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系有效推进力有效推进力有效推进力有效推进力飞机向前飞行飞机向前飞行飞机向前飞行飞机向前飞行有效升力有效升力有效升力有效升力飞机上升飞机上升飞机上升飞机上升侧向力侧向力侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移飞机侧移飞机侧移滚转力矩滚转力矩滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕飞机绕飞机绕x x x x轴滚转轴滚转轴滚转轴滚转偏航力矩偏航力矩偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯飞机转弯飞机转弯俯仰力矩俯仰力矩俯仰力矩俯仰力

27、矩飞机仰头飞机仰头飞机仰头飞机仰头动画动画空间力系向任一点的简化意义空间力系向任一点的简化意义空间力系向任一点的简化意义空间力系向任一点的简化意义第第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系1 1 1 1）合力合力合力合力最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为2 2 2 2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）当当当当 时，时，时，

28、时，当当当当 最后结果为一个合力。最后结果为一个合力。最后结果为一个合力。最后结果为一个合力。合力作用点过简化中心。合力作用点过简化中心。合力作用点过简化中心。合力作用点过简化中心。动画动画空间力系合成结果空间力系合成结果空间力系合成结果空间力系合成结果 主主主主矢矢矢矢FFR R 0 0 ，主主主主矩矩矩矩MMO O 0 0，若若若若主主主主矢矢矢矢FFR R垂垂垂垂直直直直于于于于主主主主矩矩矩矩MMO O，则则则则原原原原空空空空间间间间任任任任意意意意力力力力系合成为一个力系合成为一个力系合成为一个力系合成为一个力F FR R。第第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力

29、系空间任意力系合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。之矩的矢量和。之矩的矢量和。之矩的矢量和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。（2 2 2 2）合力偶）合力偶）合力偶）合力偶当当当当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化时，最后结果为一个合力偶。此时与简化时，最后结果为一个合力偶。此时与简化时，

30、最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。中心无关。中心无关。中心无关。（3 3 3 3）力螺旋）力螺旋）力螺旋）力螺旋当当当当 时时时时力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心当当当当 成角成角成角成角 且且且且 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为动画动画空间力系合成结果空间力系合成结果空间力系合成结果空间力系合成结果 主主主主矢矢矢矢FFR R 0 0 ，主主主主矩矩矩矩MMO O 0 0，若若若若主主主主矢矢

31、矢矢FFR R与与与与主主主主矩矩矩矩MMO O既既既既不不不不平平平平行行行行也也也也不不不不垂垂垂垂直直直直，则则则则原原原原空空空空间间间间任任任任意意意意力力力力系系系系合合合合成成成成为为为为一一一一个个个个力螺旋。力螺旋。力螺旋。力螺旋。第第第第5 5章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系（4 4 4 4）平衡）平衡）平衡）平衡当当当当 时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系45 45 45 45 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条

32、件：该力系的主矢、空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。主矩分别为零。主矩分别为零。主矩分别为零。1.1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程（412412412412）空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程（413413413413）2.2.2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例空间约束类型举例空间约束类型举例3.3.3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例空间力系平衡

33、问题举例空间力系平衡问题举例第第5章章空间任意力系空间任意力系例例题题例例例例 题题题题 1 1例题例题 在直角弯杆的在直角弯杆的在直角弯杆的在直角弯杆的C C端端端端作用着力作用着力作用着力作用着力F F，试求这力试求这力试求这力试求这力对坐标轴以及坐标原对坐标轴以及坐标原对坐标轴以及坐标原对坐标轴以及坐标原点点点点O O的矩。已知的矩。已知的矩。已知的矩。已知OA OA=a a=6 m6 m，AB=b=AB=b=4m4m,BC=cBC=c=3m,3m,=3030,=6060。空间任意空间任意力系力系例例例例 题题题题 1 1例题例题 由由由由图图图图示示示示可可可可以以以以求求求求出出出出

34、力力力力F F 在在在在各各各各坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴上上上上的的的的投投投投影影影影和和和和力力力力F F 作作作作用点用点用点用点C C 的坐标分别为：的坐标分别为：的坐标分别为：的坐标分别为：解：解：解：解：x=a=x=a=x=a=4 m4 m4 my=b=y=b=y=b=6 m6 m6 mz=c=z=c=z=c=3 m3 m3 m 空间任意空间任意力系力系例例例例 题题题题 1 1例题例题则可求得力则可求得力则可求得力则可求得力F F 对坐标轴之矩对坐标轴之矩对坐标轴之矩对坐标轴之矩以及对原点以及对原点以及对原点以及对原点O O之矩的大小和方向之矩的大小和方向之矩的大小和方向之矩的大

35、小和方向。力力力力F F 对坐标轴之矩为：对坐标轴之矩为：对坐标轴之矩为：对坐标轴之矩为：力力力力F F 对原点对原点对原点对原点O O之矩大小：之矩大小：之矩大小：之矩大小：空间任意空间任意力系力系例例例例 题题题题 1 1例题例题力力力力F F 对原点对原点对原点对原点O O之矩方向余弦：之矩方向余弦：之矩方向余弦：之矩方向余弦：空间任意空间任意力系力系例例例例 题题题题 2 2例题例题 如如如如图图图图所所所所示示示示三三三三轮轮轮轮小小小小车车车车，自自自自重重重重G G=8 8kNkN，作作作作用用用用于于于于E E点点点点，载载载载荷荷荷荷F F11=1010kNkN，作作作作用用

36、用用于于于于C C点点点点。求求求求小小小小车车车车静静静静止止止止时时时时地地地地面面面面对对对对车轮的约束力。车轮的约束力。车轮的约束力。车轮的约束力。空间任意空间任意力系力系例例例例 题题题题 2 2例题例题以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析分析分析分析 如图。如图。如图。如图。列平衡方程列平衡方程列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得解方程得解方程得解：解：解：解：空间任意空间任意力系力系例例例例

37、 题题题题 3 3例题例题 如如如如图图图图所所所所示示示示匀匀匀匀质质质质长长长长方方方方板板板板由由由由六六六六根根根根直直直直杆杆杆杆支支支支持持持持于于于于水水水水平平平平位位位位置置置置，直直直直杆杆杆杆两两两两端端端端各各各各用用用用球球球球铰铰铰铰链链链链与与与与板板板板和和和和地地地地面面面面连连连连接接接接。板板板板重重重重为为为为G G，在在在在A A处处处处作作作作用用用用一一一一水水水水平平平平力力力力F F，且且且且F F=2 2G G。求求求求各杆的内力。各杆的内力。各杆的内力。各杆的内力。空间任意空间任意力系力系例例例例 题题题题 3 3例题例题2 2.列平衡方程

38、。列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。1 1.取工件为研究对象，取工件为研究对象，取工件为研究对象，取工件为研究对象，受力分析如图。受力分析如图。受力分析如图。受力分析如图。解：解：解：解：空间任意空间任意力系力系例例例例4 4 4 4求：三根杆所受力。求：三根杆所受力。求：三根杆所受力。求：三根杆所受力。已知：已知：已知：已知：P P P P=1000N,=1000N,=1000N,=1000N,各杆重不计。各杆重不计。各杆重不计。各杆重不计。解：各杆均为二力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰O O，画受力图建坐标系如图。画受力图建坐标系

39、如图。画受力图建坐标系如图。画受力图建坐标系如图。由由由由解得解得解得解得 （压）（压）（压）（压）（拉）（拉）（拉）（拉）圆盘面圆盘面圆盘面圆盘面O O11垂直于垂直于垂直于垂直于z z轴，轴，轴，轴，求求求求:轴承轴承轴承轴承A,BA,BA,BA,B处的约束力。处的约束力。处的约束力。处的约束力。例例例例5 5 5 5已知：已知：已知：已知：F F F F1 11 1=3N=3N=3N=3N，F F F F2 22 2=5N=5N=5N=5N，构件自重不计。构件自重不计。构件自重不计。构件自重不计。两盘面上作用有力偶，两盘面上作用有力偶，两盘面上作用有力偶，两盘面上作用有力偶，圆盘面圆盘面

40、圆盘面圆盘面O O22垂直于垂直于垂直于垂直于x x轴，轴，轴，轴，AB AB AB AB=800mm,=800mm,=800mm,=800mm,两圆盘半径均为两圆盘半径均为两圆盘半径均为两圆盘半径均为200200200200mmmmmmmm，解：取整体，受力图如图解：取整体，受力图如图解：取整体，受力图如图解：取整体，受力图如图b b b b所示。所示。所示。所示。解得解得解得解得由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程例例例例4-34-34-34-3已知：已知：已知：已知：求：求：求：求：解：把力解：把力解：把力解：把力分解如图分解如图分解如图分解如图例例例例6 6

41、 6 6 求：正方体平衡时，求：正方体平衡时，求：正方体平衡时，求：正方体平衡时，不计正方体和直杆自重。不计正方体和直杆自重。不计正方体和直杆自重。不计正方体和直杆自重。力力力力 的关系和两根杆受力。的关系和两根杆受力。的关系和两根杆受力。的关系和两根杆受力。已知：正方体上作用两个力偶已知：正方体上作用两个力偶已知：正方体上作用两个力偶已知：正方体上作用两个力偶解：两杆为二力杆，解：两杆为二力杆，解：两杆为二力杆，解：两杆为二力杆，取正方体，取正方体，取正方体，取正方体，画受力图建坐标系如图画受力图建坐标系如图画受力图建坐标系如图画受力图建坐标系如图b b b b以矢量表示力偶，如图以矢量表示

42、力偶，如图以矢量表示力偶，如图以矢量表示力偶，如图c,c,c,c,有有有有 解得解得解得解得设正方体边长为设正方体边长为设正方体边长为设正方体边长为a ,a ,a ,a ,有有有有有有有有解得解得解得解得杆杆杆杆 受拉，受拉，受拉，受拉，受压。受压。受压。受压。46 46 46 46 重重重重 心心心心 1 1 1 1 重心重心重心重心的概念及其的概念及其的概念及其的概念及其坐标的公式坐标的公式坐标的公式坐标的公式不变形的物体不变形的物体(刚体刚体)在地表面无论怎样放置，其在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线，都通过此物体上一个平行分布重力的合力作用线，都通过此物体上一个确定的点，

43、这一点称为物体的重心。确定的点，这一点称为物体的重心。重心在工程实际中具有重要的意义。重心在工程实际中具有重要的意义。下面通过平行力系的合力推导物体下面通过平行力系的合力推导物体重心的坐标公式。重心的坐标公式。对对对对y y轴用合力矩定理轴用合力矩定理轴用合力矩定理轴用合力矩定理有有有有对对对对x x轴用合力矩定理轴用合力矩定理轴用合力矩定理轴用合力矩定理有有有有整个物体的重量，即整个物体的重量，即 再对再对再对再对x x轴用合力矩定理轴用合力矩定理轴用合力矩定理轴用合力矩定理则计算重心坐标的公式为则计算重心坐标的公式为则计算重心坐标的公式为则计算重心坐标的公式为（414414414414）对

44、均质物体，有对均质物体，有对均质物体，有对均质物体，有称为重心或形心公式称为重心或形心公式称为重心或形心公式称为重心或形心公式均质等厚板状物体，有均质等厚板状物体，有这时的重心称为面积的重心。曲面的重心一般不在曲这时的重心称为面积的重心。曲面的重心一般不在曲面上，而相对于曲面位于确定的一点。面上，而相对于曲面位于确定的一点。均质等截面的细长线段，其截面尺寸与其长度相均质等截面的细长线段，其截面尺寸与其长度相比是很小时，如图比是很小时，如图4-29所示。则其重心公式为所示。则其重心公式为:这时的重心称为线段的重这时的重心称为线段的重心，曲线的重心一般不在曲线心，曲线的重心一般不在曲线上。上。由上

45、可见由上可见,均质物体的重心就是几何中心，通常也均质物体的重心就是几何中心，通常也称形心。称形心。(1)简单几何形状物体的重心简单几何形状物体的重心.积分法积分法如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，不难看出，该物体的重心必相应地在这个对称心，不难看出，该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。例如面，或对称轴，或对称中心上。例如:正圆锥体或正圆锥体或正圆锥面、正棱柱体或正棱柱面的重心都在其轴线正圆锥面、正棱柱体或正棱柱面的重心都在其轴线上上;椭球体或椭圆面的重心在其几何中心上，平行椭球体或椭圆面的重心在其几何中心上，平行四边形的重心在

46、其对角线的交点上，等等。简单形四边形的重心在其对角线的交点上，等等。简单形状物体的重心可从工程手册上查到，表状物体的重心可从工程手册上查到，表4-2列出了列出了常见的儿种简单形状物体的重心。工程中常用的型常见的儿种简单形状物体的重心。工程中常用的型钢钢(如如T字钢、角钢、槽钢等字钢、角钢、槽钢等)的截面的形心，也可的截面的形心，也可以从型钢表中查到。以从型钢表中查到。表表4-2中列出的重心位置，均可按前述公式积中列出的重心位置，均可按前述公式积分求得，如下例。分求得，如下例。2 2 2 2 确定重心的方法确定重心的方法确定重心的方法确定重心的方法例例4-11试求图试求图4-30所示半径为所示半

47、径为R、圆心角、圆心角为为2的扇形面积的重心。的扇形面积的重心。解解:取中心角的平分线为取中心角的平分线为y轴。轴。由于对称关系，重心必在这由于对称关系，重心必在这个轴上，即个轴上，即xc=0,现在只需求现在只需求出出yc。把扇形面积分成无数。把扇形面积分成无数无穷小的面积素无穷小的面积素(可看作三角可看作三角形形)、每个小三角形的重心都、每个小三角形的重心都在距顶点在距顶点O为为(2/3)R处。处。任一位置任一位置处的微小面积处的微小面积其重心的其重心的y坐标为坐标为扇形总面积为 由形心坐标公式(4-37)，可得如以代入，即得半圆形的重心(2)用组合法求重心(a)分割法 若一个物体由几个简单

48、形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用公式求出。例例例例4-124-124-124-12求：其重心坐标求：其重心坐标求：其重心坐标求：其重心坐标已知：均质等厚已知：均质等厚已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z Z Z字型薄板尺寸如图所示。字型薄板尺寸如图所示。字型薄板尺寸如图所示。字型薄板尺寸如图所示。解解解解:厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定，则则则则用虚线分割如图，用虚线分割如图，用虚线分割如图，用虚线分割如图，为三个小矩形，为三个小矩形，为三个小矩形，为三个小矩形，其面积与坐标分别为其面积与坐标分

49、别为其面积与坐标分别为其面积与坐标分别为只求重心的只求重心的只求重心的只求重心的x,yx,y坐标即可。坐标即可。坐标即可。坐标即可。(b)负面积法(负体积法)若在物体或薄板内切去一部分(例如有空穴或孔的物体)，则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。今以下例说明。例例例例4-134-134-134-13求：其重心坐标。求：其重心坐标。求：其重心坐标。求：其重心坐标。已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的解：用负面积法，解：用负面积法，解：用负面积法，解：用负面积法，由由由由而而而而得得得得由对称性，

50、有由对称性，有由对称性，有由对称性，有小圆（半径为小圆（半径为小圆（半径为小圆（半径为 ）面积为）面积为）面积为）面积为 ，为负值。，为负值。，为负值。，为负值。小半圆（半径为小半圆（半径为小半圆（半径为小半圆（半径为 ）面积为）面积为）面积为）面积为 ,为三部分组成，为三部分组成，为三部分组成，为三部分组成，设大半圆面积为设大半圆面积为设大半圆面积为设大半圆面积为 ，（a a a a）悬挂法悬挂法悬挂法悬挂法图图图图a a a a中左右两部分的重量是否一定相等？中左右两部分的重量是否一定相等？中左右两部分的重量是否一定相等？中左右两部分的重量是否一定相等？（3）悬挂法与称重法）悬挂法与称重法