统计学统计量及其抽样分布.pptx

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1、6.1 6.1 统计量1.1.统计量的形成2.2.统计量是样本X X1 1，X X2 2XXn n的一个函数3.3.统计量不依赖任何未知参数4 4.将一组样本的具体观测值代入统计量函数，可以计算出一个具体的统计量值。抽样样本构造函数第1页/共27页6.2 6.2 样本均值的抽样分布和中心极限定理1.1.从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布抽样分布。2.2.设X1，X2，Xn是取自总体X的样本，样本均值，所有可能样本的均值 构成的概率分布即为样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布。第2页/共27页【例例】设一个总体，含有设

2、一个总体，含有4 4 4 4个元素（个体），即个元素（个体），即总体单位数总体单位数N N N N=4=4=4=4。4 4 4 4个个体分别为个个体分别为X X X X1 1 1 1=1=1=1=1、X X X X2 2 2 2=2=2=2=2、X X X X3 3 3 3=3=3=3=3、X X X X4 4 4 4=4=4=4=4。总体的均值、方差及分布如下。总体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3第3页/共27页 现从总体中抽取现从总体中抽取n n n n2 2 2 2的简单随机样本，在重的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有复抽样

3、条件下，共有4 4 4 42 2 2 2=16=16=16=16个样本。所有样本的个样本。所有样本的结果如下表结果如下表3，43，33，23，132，42，32，22，124，44，34，24，141，441，33211，21，11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2 的样本（共16个）第4页/共27页 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值1616个样本的均值（x x）样本均值的抽样分布样

4、本均值的抽样分布1.01.00 0.1.1.2.2.3.3P P(x x)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x第5页/共27页所有样本均值的均值和方差式中：式中：M M M M为样本均值的个数为样本均值的个数第6页/共27页 样本均值的分布 当总体服从正态分布N N(,2 2)时，来自该总体的所有容量为n n的样本的均值 X X也服从正态分布，X X 的数学期望为 ，方差为2 2/n n。即 X XN N(,2 2/n n)第7页/共27页中心极限定理 设从均值为，方差为 2 2的一个任意总体中抽取容量为n n的样本，当n n充分大时，样本均值的抽样分

5、布近似服从均值为、方差为2 2/n n的正态分布。当样本容量足够大时当样本容量足够大时当样本容量足够大时当样本容量足够大时(n n n n 30)30)30)30)，样本均值的抽样，样本均值的抽样，样本均值的抽样，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布分布逐渐趋于正态分布分布逐渐趋于正态分布分布逐渐趋于正态分布第8页/共27页标准误差标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异1.1.所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度均值的离散程度2.2.样本均值的标准误差小于总体标准差样本均值的标准误差小于总体标准差3.3.计算公式为计算公式为第9页/

6、共27页【例】设从一个均值=8=8、标准差=0.7=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49n=49的样本。要求：（1 1）计算样本均值小于7.97.9的近似概率 （2 2）计算样本均值超过7.97.9的近似概率 （3 3）计算样本均值在总体均值=8=8附近 0.10.1范围的近似概率第10页/共27页【例】某公司有400400人，平均工龄为1010年，标准差为3 3年。随机抽出4949名组成一个简单随机样本，试问样本中工作人员的平均年龄不低于9 9年的概率有多大。解：虽然该总体的分布未知，但样本容量n=49n=49较大 由中心极限定理可知，样本均值的抽样分布近 似服从正态分布。则均值的期望 均

7、值的标准差=1-(-2.33)=(2.33)=0.9901第11页/共27页练习题 某类产品的抗拉强度服从正态分布，平均值为99.899.8公斤/平方厘米，标准差为5.485.48公斤/平方厘米，从这个总体抽出一个容量为1212的样本，问这一样本的平均值介于98.898.8公斤/平方厘米和100.9100.9公斤/平方厘米之间的概率有多大。第12页/共27页6.3 由正态分布导出的几个重要分布第13页/共27页卡方(c c2)分布定义：设随机变量X X1 1，X X2 2，XnXn相互独立，且X Xi i服从标准正态分布N N（0 0，1 1），则它们的平方和 服从自由度为n n的c c2 2

8、分布。c c2 2分布的数学期望为：E E（c c2 2）=n=nc c2 2分布的方差为：D D（c c2 2）=2n2n当自由度n足够大时,c c2 2分布的概率密度曲线趋于对称；当n+时,c c2 2分布的极限分布是正态分布。第14页/共27页t t分布和T T统计量1.t1.t分布：设随机变量X XN N（0,10,1），Y Y c c2 2（n),n),且X X与Y Y独立，则其分布称为t t分布，记为t(n)t(n)，其中n n为自由度。当n2时,t分布的E(t)=0当n3时,t分布的D(t)=n/(n-2)第15页/共27页2.T2.T统计量 设设X X X X1 1 1 1，X

9、 X X X2 2 2 2，X X X Xn n n n是来自正态总体是来自正态总体N N N N(,2 2 2 2)的一个样本，的一个样本，称为称为T T T T统计量统计量,它服从自由度为它服从自由度为(n n n n-1)-1)-1)-1)的的t t t t分布。分布。则第16页/共27页F F分布定义：设随机变量Y Y与Z Z相互独立，且Y Y和Z Z分别服从自由度为m m和n n的c c2 2分布，随机变量X X有如下表达式：则称X X服从第一自由度为m m，第二自由度为n n的F F分布，记为X XF F（m,n)m,n)。第17页/共27页6.4 6.4 样本比例的抽样分布如果在

10、样本大小为n n的样本中具有某一特征的个体数为X X，则样本比例用p p来表示：当n n充分大时，p p近似服从均值为 ，方差为的正态分布。第18页/共27页【例】已知对某超市服务水平不满意的人数的比例为5%5%，现随机抽取475475名顾客组成的简单随机样本，问这475475名顾客中不满意的比例在0.030.030.0750.075之间的概率有多大?解：设475475名顾客中不满意的比例为p,p,则 E(p)=0.05E(p)=0.05，D(p)=0.050.95/475=0.0001D(p)=0.050.95/475=0.0001 p pN N（0.05,0.0001)0.05,0.000

11、1)第19页/共27页 某医院治愈某种疾病的成功率为90%90%，现从该医院治疗过该种疾病的患者中随机抽取100100名，则试计算这100100名患者治愈成功的比例在85%85%至95%95%的概率是多少？第20页/共27页解：设100名患者治疗成功的比例为p,根据中心极限定理，pN（0.9,0.0009)因此，估计这100名患者治愈成功的比例在85%至95%的概率为90.5%第21页/共27页6.5 6.5 两个样本平均值之差的分布设 是独立地抽自总体 的一个容量为n n1 1的样本的均值。是独立地抽自总体 的一个容量为n n2 2的样本的均值，则有第22页/共27页【例】居民区甲有2000

12、2000个家庭，平均居住时间为130130个月，服从正态分布,标准差为3030个月；居民区乙有30003000个家庭，平均居住时间为120120个月，也服从正态分布,标准差为3535个月。从两个居民区中独立地各自抽取一个简单随机样本，样本容量为7070和100100。问居民区甲样本中的平均居住时间超过居民区乙样本中的居民平均居住时间的概率是多大。第23页/共27页【例】A班统计学考试平均分为75分，分数服从正态分布，标准差为5分；B班统计学考试平均分为72分，也服从正态分布，标准差为7分。现在从A、B两班分别随机抽出10名学生的统计学成绩，A班10名学生的统计学平均成绩高于B班10名同学的统计学平均成绩的可能性有多大？第24页/共27页两个样本比例之差的分布 设分别从具有参数为1和2的两个总体中抽取包含n1个观测值和n2个观测值的独立样本，当n1和n2很大时，（p1-p2）的抽样分布近似服从正态分布：第25页/共27页【例】某厂甲、乙两个车间生产同一种产品，根据经验其产品的不合格率分别为3.5%3.5%和4%4%。从甲车间随机独立地抽取200200个产品，从乙车间随机独立地抽取150150个产品。问两个样本中产品不合格率相差不超过1%1%的概率。第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页