学案3 平面向量的数量积(教育精品).ppt

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1、学案学案3 平面向量的数量积平面向量的数量积 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 平面向量的平面向量的数量积数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理解平面向量数量积的含义及其物理意义理意义.(3)掌握数量积的坐标表式掌握数量积的坐标表式,会进行平会进行平面向量数量积的运算面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角能运用数量积表

2、示两个向量的夹角的余弦的余弦,会用数量积判断两个平面向量会用数量积判断两个平面向量是否是否垂直垂直.名师伴你行考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.返回目录返回目录 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b,则则 叫做叫做a与与b

3、的数量积的数量积(或内积或内积),记作记作 .规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量两个非零向量a与与b垂直的充要条件是垂直的充要条件是 ,两个非零向量两个非零向量a与与b平行的充要条件是平行的充要条件是 .|a|b|cos ab=|a|b|cos 0 ab=0 ab=|a|b|名师伴你行返回目录返回目录 2.平面向量数量积的几何意义 数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积.3.平面向量数量积的重要性质 (1)ea=ae=;(2)非零向量非零向量a,b,ab ;(3)当当a与与b同向时同向时,a

4、b=;当当a与与b反向时反向时,ab=,aa=,|a|=;|b|cos|a|cos ab=0|a|b|-|a|b|a2名师伴你行返回目录返回目录(4)cos=;(5)|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab=(交换律交换律);(2)(a)b=(为实为实数数);(3)(a+b)c=.ba ab ab ac+bc 名师伴你行返回目录返回目录 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab=,由此得到由此得到:若若a=(x,y),则则|a|2=或或|a|=.(2)设设A(x1,y1),B(x2,y2),则则A,B两点间的距离两点间

5、的距离|AB|=|AB|=.(3)设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab .x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 x2+y2 名师伴你行返回目录返回目录 已知向量已知向量a,b满足满足|a|=1,|b|=2,a与与b的夹角为的夹角为60,则则|a-b|=.【分析分析】求求|a-b|可先求可先求|a-b|2.名师伴你行考点考点考点考点1 1 数量积的计算数量积的计算数量积的计算数量积的计算返回目录返回目录 【解析解析】|a-b|=名师伴你行返回目录返回目录 求平面向量数量积的步骤求平面向量数量积的步骤:首先求首先求a与与b的夹角为的夹角为,0,180,再分别求再分别求|a|,

6、|b|,然后再求数量积即然后再求数量积即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐标若知道向量的坐标 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab=x1x2+y1y2.名师伴你行返回目录返回目录 已知向量已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos ,-sin ),且且x-,.(1)求求ab及及|a+b|;(2)若若f(x)=ab-|a+b|,求求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值.名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】(1)ab=cos xcos -sin xsin =cos2x,a+b=(cos x+cos ,sin x sin ),x ,cosx0,|a+b|=2

7、cosx.名师伴你行返回目录返回目录(2)由（由（1）可得）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.x ,cosx1,当当cosx=时时,f(x)取得最小值为取得最小值为-;当当cosx=1时时,f(x)取得最大值为取得最大值为-1.名师伴你行返回目录返回目录 设向量设向量a,b,c满足满足a+b+c=0,(a-b)c,ab.若若|a|=1,则则|a|2+|b|2+|c|2的值是的值是 .【分析分析分析分析】由垂直的充要条件由垂直的充要条件,寻找寻找|a|,|b|,|c|之间的关系之间的关系.考点考点考点考点2 2 利用向量解决垂直问题利用向量

8、解决垂直问题利用向量解决垂直问题利用向量解决垂直问题【解析解析解析解析】ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-1.又又(a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.名师伴你行返回目录返回目录 垂直问题是一个重要的知识点垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出在高考题中常常出现现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别特别注意垂直与平行的区别.

9、若若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则则ab a1a2+b1b2=0,ab a1b2-a2b1=0.名师伴你行返回目录返回目录 已知已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求证求证:a+b与与a-b互相垂直互相垂直;(2)若若ka+b与与a-kb的模相等的模相等,求求-(其中其中k为非零实数为非零实数).名师伴你行返回目录返回目录(1)证明证明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与与a-b互相垂直互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kc

10、os,sin-ksin),|ka+b|=,|a-kb|=.|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2kcos(-).又又k0,cos(-)=0.而而00得得2+-60,2或或0),2=k =-3k,故使向量故使向量2a+b和和a-3b夹角为夹角为0的的不存在不存在.当当2或或-3时时,向量向量(2a+b)与与(a-3b)的夹角是锐角的夹角是锐角.解得解得k2=-.名师伴你行返回目录返回目录 已知向量已知向量m=(cos,sin)和和n=(-sin,cos),(,2),且且|m+n|=,求求cos()的值的值.【分析分析分析分析】从向量的模入手，求出从向量的模入手，求出满足的条件满足的条

11、件.考点考点考点考点4 4 以向量为载体的综合问题以向量为载体的综合问题以向量为载体的综合问题以向量为载体的综合问题名师伴你行返回目录返回目录【解析解析解析解析】解法一解法一：由题意知：由题意知m+n=(cos-sin+,cos+sin),|m+n|=由已知由已知|m+n|=,得得cos+=.又又cos(+)=2cos2(+)-1,cos2()=.2,.cos()0.cos()=-.名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2mn+n2=|m|2+|n|2+2mn+2cos(-sin)+sincos=4+2 (cos-sin)=4 1+cos(+)=8cos2

12、().由已知由已知|m+n|=,得得cos =.2,.cos()0.cos()=-.名师伴你行返回目录返回目录 本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的运用求值问题，注意倍角公式的运用.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行已知向量已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),c=(-1,0).(1)求向量求向量b+c的长度的最大值的长度的最大值;(2)设设=,且且a(b+c)，求，求cos的值的值.返回目录返回目录 【解析】【解析】(1)解法一解法一:由已知得由已知得b+c=(cos-1,sin),则则|b+c

13、|2=(cos-1)2+sin2=2(1-cos).-1cos1,0|b+c|24,即即0|b+c|2.当当cos=-1时时,有有|b+c|max=2,向量向量b+c的长度的最大值为的长度的最大值为2.名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二:|b|=1,|c|=1,|b+c|b|+|c|=2,当当cos=-1时时,有有b+c=(-2,0),即即|b+c|=2,向量向量b+c的长度的最大值为的长度的最大值为2.名师伴你行(2)解法一解法一:由已知可得由已知可得b+c=(cos-1,sin),a(b+c)=coscos+sinsin-cos=cos(-)-cos.a(b+c),a(b+c)=0,

14、即即cos(-)=cos.返回目录返回目录 名师伴你行由由=,得得cos(-)=cos ,即即-=2k (kZ),=2k+或或=2k,kZ,于是于是cos=0或或cos=1.解法二：解法二：若若=,则则a=(,).又由又由b=(cos,sin),c=(-1,0),得得a(b+c)=(,)(cos-1,sin)=cos+sin-.返回目录返回目录 a(b+c),a(b+c)=0,即即cos+sin=1.sin=1-cos,平方后化简得平方后化简得cos(cos-1)=0,解得解得cos=0或或cos=1.经检验经检验,cos=0或或cos=1即为所求即为所求.名师伴你行返回目录返回目录 1.数量

15、积数量积ab中间的符号中间的符号“”不能省略，也不能用不能省略，也不能用“”来替代来替代.2.要熟练类似要熟练类似(a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2的运算律的运算律(,s,tR).3.求向量模的常用方法求向量模的常用方法:利用公式利用公式|a|2=a2,将模的运将模的运算转化为向量的数量积的运算算转化为向量的数量积的运算.名师伴你行返回目录返回目录 4.4.一般地一般地一般地一般地,(,(ab)c(bc)aab)c(bc)a即乘法的结合律不成立即乘法的结合律不成立即乘法的结合律不成立即乘法的结合律不成立.因因因因为为为为abab是一个数量是一个数量是一个数量是一个数量,所

16、以所以所以所以(ab)cab)c表示一个与表示一个与表示一个与表示一个与c c共线的向量共线的向量共线的向量共线的向量,同同同同理右边理右边理右边理右边(bc)abc)a表示一个与表示一个与表示一个与表示一个与a a共线的向量共线的向量共线的向量共线的向量,而而而而a a与与与与c c不一定共线不一定共线不一定共线不一定共线,故一般情况下故一般情况下故一般情况下故一般情况下,(,(ab)c(bc)aab)c(bc)a.5.5.零向量零向量零向量零向量:(1)0:(1)0与实数与实数与实数与实数0 0的区别的区别的区别的区别,不可写错不可写错不可写错不可写错:0a=00,a+(-:0a=00,a

17、+(-a)=00,a0=00;(2)0a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的的方向是任意的的方向是任意的的方向是任意的,并非没有方向并非没有方向并非没有方向并非没有方向,0,0与任与任与任与任何向量平行何向量平行何向量平行何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系.6.ab=0 6.ab=0不能推出不能推出不能推出不能推出a=0a=0或或或或b=0,b=0,因为因为因为因为abab=0 =0 a ab b.7.ab=ac(a0)7.ab=ac(a0)不能推出不能推出不能推出不能推出b=c,b=c,即消去律不成立即消去律不成立即消去律不成立即消去律不成立.8.8.向量夹角的概念要领会向量夹角的概念要领会向量夹角的概念要领会向量夹角的概念要领会,比如正三角形比如正三角形比如正三角形比如正三角形ABCABC中中中中,应为应为应为应为120,120,而不是而不是而不是而不是60.60.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行