2.4.2利用建立坐标系解决“抛物线”型最值问题.ppt

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1、第二章第二章 二次函数二次函数第第4 4节节 二次函数的应用二次函数的应用第第2 2课时课时 利用建立坐标系解决利用建立坐标系解决“抛抛 物线物线”型最值问题型最值问题1课堂讲解课堂讲解建立坐标系解抛物线型建筑问题建立坐标系解抛物线型建筑问题 建立坐标系解抛物线型运动问题建立坐标系解抛物线型运动问题2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升当自当自变变量的取量的取值值范范围围是全体是全体实实数数时时，函数在，函数在顶顶点点处处取得最取得最值值即当即当x时时，y最最值值.当当a0时时，在，在顶顶点点处处取得最小取得最小值值，此，此时时不存在最大不存在最大值值；当；当a

2、0时时，在，在顶顶点点处处取得取得最大最大值值，此，此时时不存在最小不存在最小值值（如下（如下图图）1知识点知识点建立坐标系解抛物线型建筑问题建立坐标系解抛物线型建筑问题知知1 1讲讲1运用二次函数的代数模型解决运用二次函数的代数模型解决实际实际中的中的问题问题，如抛，如抛(投投)物体，抛物物体，抛物线线的模型的模型问题问题等，等，经经常需要运用抽象常需要运用抽象与概括的数学思想，将文字与概括的数学思想，将文字语语言言转转化化为为数学符号数学符号2利用二次函数解决利用二次函数解决实际问题实际问题的基本思路是：的基本思路是：(1)建立适当的平面直角坐建立适当的平面直角坐标标系；系；(2)把把实际

3、问题实际问题中一些数据与点的坐中一些数据与点的坐标联标联系起来；系起来；(3)用待定系数法求出抛物用待定系数法求出抛物线对应线对应的函数表达式；的函数表达式；(4)利用二次函数的利用二次函数的图图象及性象及性质质去分析、解决去分析、解决问题问题知知1 1讲讲3易易错错警示：警示：(1)利用二次函数求最利用二次函数求最值值，对对于于实际问题实际问题中的最中的最值值，要注意自要注意自变变量的取量的取值值范范围围(2)建立平面直角坐建立平面直角坐标标系系时时，要遵循以下两个原，要遵循以下两个原则则：所建立的坐所建立的坐标标系能使求出的二次函数表达式比系能使求出的二次函数表达式比较较简单简单；根据已知

4、点所在位置建立坐根据已知点所在位置建立坐标标系求函数表达式比系求函数表达式比较简单较简单（来自（来自点拨点拨）导导引：引：由由题题意可知拱意可知拱桥为桥为抛物抛物线线型，因此可建立以型，因此可建立以O为为坐坐标标原原点，点，AB所在直所在直线为线为x轴轴，OC所在直所在直线为线为y轴轴的直角坐的直角坐标标系，利用二次函数系，利用二次函数yax2c 解决解决问题问题例例1乌鲁乌鲁木木齐齐如如图图是一个抛物是一个抛物线线型拱型拱桥桥的示意的示意图图，桥桥的的跨度跨度AB为为100m，支撑，支撑桥桥的是一些等距的立柱，相的是一些等距的立柱，相邻邻立立柱柱间间的水平距离均的水平距离均为为10m(不考不

5、考虑虑立柱的粗立柱的粗细细)，其中距，其中距 A点点10m处处的立柱的立柱FE的高度的高度为为3.6m.(1)求正中求正中间间的立柱的立柱OC的高度的高度(2)是否存在一根立柱，其高度恰是否存在一根立柱，其高度恰好是好是OC的一半？的一半？请说请说明理由明理由知知1 1讲讲知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)根据根据题题意可得正中意可得正中间间立柱立柱OC经过经过AB的中点的中点O，如，如图图，以以O点点为为坐坐标标原点，原点，AB所在直所在直线为线为x轴轴，OC所在直所在直线为线为y 轴轴，建立直角坐，建立直角坐标标系，系，则则B点的坐点的坐标为标为(50，0)OFOAFA40m，E点

6、的坐点的坐标为标为(40，3.6)由由题题意可意可设设抛物抛物线对应线对应的函数表达式的函数表达式为为yax2c，yx210.当当x0时时，y10，即正中即正中间间的立柱的立柱OC的高度是的高度是10m.解：解：知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(2)不存在不存在理由：理由：假假设设存在一根立柱的高度是存在一根立柱的高度是OC的一半，即的一半，即这这根立柱的高度是根立柱的高度是5m，则则有有5x210，解得解得x25.由由题题意知相意知相邻邻立柱立柱间间的水平距离均的水平距离均为为10m，正中，正中间间的立柱的立柱OC在在y轴轴上，上，每根立柱上的点的横坐每根立柱上的点的横坐标标均均为为10

7、的整数倍的整数倍x25与与题题意不符意不符不存在一根立柱，其高度恰好是不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半的一半总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）本本题题运用运用待定系数法待定系数法求二次函数求二次函数yax2c的表达式的表达式.1(2015铜铜仁仁)河北省河北省赵县赵县的的赵赵州州桥桥的的桥桥拱是近似的抛拱是近似的抛物物线线型，建立如型，建立如图图所示的平面直角坐所示的平面直角坐标标系，其函数系，其函数表达式表达式为为yx2，当水面离，当水面离桥桥拱拱顶顶的高度的高度DO是是4m时时，这时这时水面水面宽宽度度AB为为()A20mB10mC20mD10m知知1 1练练（来自（来自典中

8、点典中点）2(2015金金华华)图图是是图图中拱形大中拱形大桥桥的示意的示意图图，桥桥拱拱与与桥桥面的交点面的交点为为O，B，以点，以点O为为原点，水平直原点，水平直线线OB 为为x轴轴，建立平面直角坐，建立平面直角坐标标系，系，桥桥的拱形可近似看成的拱形可近似看成抛物抛物线线y(x80)216，桥桥拱与拱与桥桥墩墩AC的交的交点点C恰好在水面，有恰好在水面，有ACx轴轴，若，若OA10m，则桥则桥面面离水面的高度离水面的高度AC为为()A16mB.mC16mD.m知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）例例2某公园有一个抛物某公园有一个抛物线线形状的形状的观观景拱景拱桥桥ABC，其横截面如，

9、其横截面如图图所示，在所示，在图图中建立的直角坐中建立的直角坐标标系中，抛物系中，抛物线对应线对应的函的函数表达式数表达式为为yx2c且且过过点点C(0，5).(长长度度单单位：位：m)(1)直接写出直接写出c的的值值；(2)现现因做因做庆庆典活典活动动，计计划沿拱划沿拱桥桥的的台台阶阶表面表面铺设铺设一条一条宽宽度度为为1.5m的地的地毯，地毯的价格毯，地毯的价格为为20元元/m2，求，求购买购买地毯需多少元；地毯需多少元；(3)在拱在拱桥桥加固加固维维修修时时，搭建的，搭建的“脚手架脚手架”为为矩形矩形EFGH(H，G分分别别在抛物在抛物线线的左右的左右侧侧上上)，并，并铺设铺设斜面斜面E

10、G.已知矩形已知矩形 EFGH的周的周长为长为27.5m，求斜面，求斜面EG的的倾倾斜角斜角GEF的度的度数数(精确到精确到0.1)知知1 1讲讲导导引：引：(1)将点将点C的坐的坐标标代入代入计计算即可；算即可；(2)首先首先应应求出求出铺设铺设地毯的台地毯的台阶阶的表面的表面积积，而求表面，而求表面积积的关的关键键在于求得在于求得所有台所有台阶阶的水平和的水平和竖竖直的直的总长总长度，度，进进而求得所需而求得所需钱钱数；数；(3)求出点求出点G的坐的坐标标，在，在RtEFG中，利用三角中，利用三角函数求函数求GEF的度数的度数解：解：(1)c5.(2)由由(1)知知OC5.令令y0，即，即

11、x250，解得解得x110，x210.地毯的地毯的总长总长度度为为AB2OC202530(m)301.520900(元元)购买购买地毯需要地毯需要900元元知知1 1讲讲(3)可可设设G的坐的坐标为标为其中其中a0，则则EF2am，GF由已知得由已知得2(EFGF)27.5m，即，即2解得解得a15，a235(不合不合题题意，舍去意，舍去)当当a5时时，55253.75，点点G的坐的坐标标是是(5，3.75)EF10m，GF3.75m.在在RtEFG中，中，tanGEF0.375，GEF20.6.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）本本题实际题实际上是

12、一道函数与几何的上是一道函数与几何的综综合合题题主要考主要考查查根据根据题题意和已知意和已知图图形，利用形，利用数形数形结结合思想合思想、方程思方程思想想等来解决等来解决问题问题，是中等，是中等难难度的度的试题试题3(中考中考绍兴绍兴)如如图图的一座拱的一座拱桥桥，当水面，当水面宽宽AB为为12m时时，桥桥洞洞顶顶部离水面部离水面4m，已知，已知桥桥洞的拱形是抛物洞的拱形是抛物线线，以，以水平方向水平方向为为x轴轴，建立平面直角坐，建立平面直角坐标标系，若系，若选选取点取点A为为坐坐标标原点原点时时抛物抛物线对应线对应的函数表达式是的函数表达式是y(x6)24，则选则选取点取点B为为坐坐标标原

13、点原点时时抛物抛物线对应线对应的函数的函数表达式是表达式是_知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点建立坐标系解抛物线型运动问题建立坐标系解抛物线型运动问题知知2 2讲讲例例3一一题题多解如多解如图图，某灌，某灌溉设备溉设备的的喷喷头头B高出地面高出地面1.25m，喷喷出的抛物出的抛物线线型水流在与型水流在与喷头喷头底部底部A的距离的距离为为1m处处达到距离地面最大高度达到距离地面最大高度2.25m，试试建立恰当的直角坐建立恰当的直角坐标标系并求出与系并求出与该该抛物抛物线线型水流型水流对应对应的二次函数关系式的二次函数关系式导导引：引：解决解决问题问题的关的关键键是建立适当的平

14、面直角坐是建立适当的平面直角坐标标系，把系，把实际问题实际问题中的中的长长度度转转化化为为点的坐点的坐标标，从而利用待定，从而利用待定系数法求二次函数关系式系数法求二次函数关系式知知2 2讲讲解：方法一：解：方法一：建立如建立如图图所示的平面直角坐所示的平面直角坐标标系，系，则则抛物抛物线线的的顶顶点点为为O(0，0)，且，且经过经过点点B(1，1)于是于是设设所求二次函数关系式所求二次函数关系式为为yax2，则则有有1a(1)2，得，得a1.抛物抛物线线型水流型水流对应对应的二次函数关系式的二次函数关系式为为yx2.知知2 2讲讲方法二：方法二：建立如建立如图图所示的平面直角坐所示的平面直角

15、坐标标系，系，则则抛物抛物线线的的顶顶点点为为D(0，2.25)，且抛物，且抛物线经过线经过点点B(1，1.25)于是于是设设所求二次函数关系式所求二次函数关系式为为yax22.25，则则有有1.25a(1)22.25，解得，解得a1.抛物抛物线线型水流型水流对应对应的二次函数关系式的二次函数关系式为为yx22.25.知知2 2讲讲方法三：方法三：建立如建立如图图所示的平面直角坐所示的平面直角坐标标系，系，则则抛物抛物线线的的顶顶点点为为D(1，2.25)，且，且经过经过点点B(0，1.25)于是于是设设所求二所求二次函数关系式次函数关系式为为ya(x1)22.25，则则有有1.25a(1)2

16、2.25，解得，解得a1.抛物抛物线线型水流型水流对应对应的二次函数关系的二次函数关系式式为为y(x1)22.25.（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解决抛物解决抛物线线型型问题问题，其一般步，其一般步骤为骤为：(1)建立适当的坐建立适当的坐标标系，正确写出关系，正确写出关键键点的坐点的坐标标；(2)根据根据图图象象设设抛物抛物线对应线对应的函数表达式；的函数表达式；(3)根据已知条件，利用根据已知条件，利用待定系数法待定系数法求表达式，再利用求表达式，再利用二次函数的性二次函数的性质质解解题题在解在解题过题过程中要充分利用抛程中要充分利用抛物物线线的的对对称性，

17、同称性，同时时要注意要注意数形数形结结合思想合思想的的应应用用1某广某广场场有一有一喷喷水池，水从地面水池，水从地面喷喷出，如出，如图图，以水平，以水平地面地面为为x轴轴，出水点，出水点为为原点，建立平面直角坐原点，建立平面直角坐标标系，系，水在空中划出的曲水在空中划出的曲线线是抛物是抛物线线yx24x(单单位：位：m)的一部分，的一部分，则则水水喷喷出的最大高度是出的最大高度是()A4mB5mC6mD7m知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2小敏在某次投小敏在某次投篮篮中，球的运中，球的运动动路路线线是抛物是抛物线线yx23.5的一部分的一部分(如如图图)，若命中，若命中篮篮筐中心，筐中

18、心，则则他与他与篮篮底底的水平距离的水平距离l是是()A3.5mB4mC4.5mD4.6m知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3向上向上发发射一枚炮射一枚炮弹弹，经经xs后的高度后的高度为为ym，且，且时间时间与与高度之高度之间间的关系的关系为为yax2bx.若此炮若此炮弹弹在第在第7s与第与第14s时时的高度相等，的高度相等，则则在下列哪一个在下列哪一个时间时间的高度是最的高度是最高的高的()A第第9.5sB第第10sC第第10.5sD第第11s知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1.抛物抛物线线型建筑物型建筑物问题问题：几种常几种常见见的抛物的抛物线线型建筑物有拱形型建筑物有拱形桥

19、桥洞、隧道洞口、拱形洞、隧道洞口、拱形门门等解决等解决这类问题这类问题的关的关键键是根据是根据已知条件已知条件选择选择合理的位置建立直角坐合理的位置建立直角坐标标系，系，结结合合问题问题中的中的数据求出函数表达式，然后利用函数表达式解决数据求出函数表达式，然后利用函数表达式解决问题问题2.运运动问题动问题：(1)运运动动中的距离、中的距离、时间时间、速度、速度问题问题；这类问题这类问题多根据运多根据运动规动规律中的公式求解律中的公式求解(2)物体的运物体的运动动路路线线(轨轨迹迹)问题问题；解决；解决这类问题这类问题的思想方法是利用数形的思想方法是利用数形结结合思想和函合思想和函数思想，合理建立直角坐数思想，合理建立直角坐标标系，根据已知数据，运用待定系，根据已知数据，运用待定系数法求出运系数法求出运动轨动轨迹迹(抛物抛物线线)对应对应的函数表达式，再利用的函数表达式，再利用二次函数的性二次函数的性质质去分析、解决去分析、解决问题问题1.必做必做:完成教材完成教材P48习题习题T3、42.补补充充:请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题