矩阵理论讲义ppt第二章 矩阵的标准型.ppt

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1、Graduate Engineering Mathematics工科研究生数学工科研究生数学-矩阵论矩阵论第第 2 章章 矩阵的标准形矩阵的标准形王新赠王新赠山东科技大学信息学院山东科技大学信息学院G G E ME M2.1 一元多项式一元多项式定定义义.设设 n 是一个非是一个非负负整数，表达式整数，表达式 2G G E ME M3则称则称 f(x)与与 g(x)相等相等，记作，记作 f(x)=g(x)。若其同次项的系数都相等，即若其同次项的系数都相等，即定义定义.G G E ME M4多项式加法多项式加法为了方便起见，设为了方便起见，设G G E ME M5运算规律运算规律:G G E M

2、E M6数乘多项式数乘多项式运算规律运算规律:G G E ME M7多项式乘法多项式乘法其中其中k 次次项项的系数是的系数是G G E ME M8运算规律运算规律:G G E ME M9定理定理2.1.12.1.1（带余除法）（带余除法）设设 f(x)和和 g(x)是数域是数域 F 上的多项式，上的多项式，并且并且q(x)和和 r(x)是唯一的，是唯一的，带余除法带余除法且且 g(x)0，则必存在多项式，则必存在多项式 q(x)和和 r(x)，使得，使得若若r(x)=0，则称，则称 g(x)是是 f(x)的因式，的因式，f(x)是是 g(x)的倍式，的倍式，也称也称 g(x)能整除能整除 f(

3、x)，并记作，并记作 g(x)|f(x)。G G E ME M10例例2.1.1设设 f(x)和和 g(x)是有理数域是有理数域 F上的两个多上的两个多项项式式 求求满满足等式足等式 的多的多项项式式 G G E ME M11G G E ME M122.2 因式分解定理因式分解定理若若h(x)既是既是 f(x)的因式，又是的因式，又是 g(x)的因式，的因式，则称则称h(x)为为 f(x)与与 g(x)的一个公因式。的一个公因式。定义定义.若若h(x)既是既是 f(x)的倍式，又是的倍式，又是 g(x)的倍式，的倍式，则称则称h(x)为为 f(x)与与 g(x)的一个公倍式。的一个公倍式。G

4、G E ME M则称则称 d(x)为为 f(x)和和 g(x)的一个最大公因式。的一个最大公因式。则称则称 d(x)为为 f(x)和和 g(x)的一个最小公倍式。的一个最小公倍式。，并且满足并且满足:，并且满足并且满足:G G E ME M14使得使得d(x)是是 f(x)和和 g(x)的一个最大公因式，的一个最大公因式，定理定理2.2.12.2.1G G E ME M15不可约多项式不可约多项式定义定义.设设 ，若，若 在数域在数域F上只有平凡因式，上只有平凡因式，则称则称 为域为域 F上的不可约多项式，上的不可约多项式，否则，称否则，称 为域为域F F上的可约多项式。上的可约多项式。注意：

5、注意：(1)一次多项式总是不可约多项式；一次多项式总是不可约多项式；(2)多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。例如，例如，G G E ME M16因式分解唯一性定理因式分解唯一性定理 定理定理.数域数域F上任一个次数不小于上任一个次数不小于1的多项式的多项式 f(x)都可以都可以唯一地分解成数域唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。上有限个不可约多项式的乘积。其唯一性是指，若有两个分解式其唯一性是指，若有两个分解式 则则 s=t,并且经过对因式的适当排序后有并且经过对因式的适当排序后有 其中其中 为非零常数。为非零常数。G G E ME M1

6、7称为标准分解式。称为标准分解式。分解式分解式其中其中a 是是 f(x)的首的首项项系数，系数，是首项系数为的是首项系数为的不可约多项式，而不可约多项式，而 是正整数是正整数G G E ME M18复系数多项式的因式分解定理：复系数多项式的因式分解定理：因式分解定理因式分解定理 次数次数不小于不小于1的复系数多的复系数多项项式在复数域上式在复数域上可唯一地分解成一次因式的乘可唯一地分解成一次因式的乘积积。标准分解式为标准分解式为 复系数多项式复系数多项式的的其中其中 是正整数，且是正整数，且 G G E ME M19实系数多项式的因式分解定理：实系数多项式的因式分解定理：次数次数不小于不小于1

7、的的实实系数多系数多项项式在式在实实数域上数域上可唯一地分解成一次因式可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式和二次不可约因式的乘的乘积积。标准分解式为标准分解式为 实系数多项式实系数多项式的的其中其中 和和 是正整数，且是正整数，且 G G E ME M的标准分解式。的标准分解式。例例 求求 在在实实数域上数域上的标准分解式的标准分解式:在复数域上在复数域上的标准分解式的标准分解式:G G E ME M212.3 矩阵化简矩阵化简文件在计算机中存储方式：文件在计算机中存储方式：二进制代码二进制代码特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等）特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等）黑白：黑白

8、：0-10-1矩阵，如分辨率为矩阵，如分辨率为10241024*980980的一张黑的一张黑白照片，占用空间为白照片，占用空间为10241024*980*1/8=122.5kb 980*1/8=122.5kb。彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色分级为分级为0-2550-255，一个像素占用，一个像素占用1 1*3 3个字节，全为个字节，全为0 0表示黑色，全为表示黑色，全为255255表示白色；表示白色；如分辨率为如分辨率为10241024*980980的一张彩色照片，占用空的一张彩色照片，占用空间为间为10241024*980*8980*8*

9、3/8=2940 kb3/8=2940 kb。问题：问题：存储空间有限，文件如何化简？存储空间有限，文件如何化简？G G E ME M22将存储空间的将存储空间的0-10-1看成一个矩阵，进行矩阵的化简看成一个矩阵，进行矩阵的化简矩阵化简的种类：矩阵化简的种类：矩阵合同矩阵合同：对：对nn阶方阵阶方阵AA和和b b，如果存在可逆，如果存在可逆矩阵矩阵C C满足满足b=Cb=CT TACAC，就称矩阵，就称矩阵AA和和b b 合同。合同。矩阵等价矩阵等价：对矩阵：对矩阵AA和和b b，如果矩阵，如果矩阵b b可以经可以经过一系列初等变换化为过一系列初等变换化为AA，就称矩阵，就称矩阵AA和和b

10、b 合等价合等价 。矩阵相似矩阵相似：n n阶方阵阶方阵AA和和b b，如果存在可逆，如果存在可逆矩阵矩阵C C满足满足b=Cb=C-1-1ACAC，就称矩阵，就称矩阵AA和和b b相似。相似。G G E ME M矩阵的相似是利用最多的一种方式矩阵的相似是利用最多的一种方式一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有nn（原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。（原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。不是所有的矩阵相似于对角矩阵，如不是所有的矩阵相似于对角矩阵，如问题：问题：不能相似于对角矩阵的方阵相似最简不能相似于对角矩阵的方阵相似最简单情况是什么？单情况是什么？G

11、 G E ME M242.4 l l 阵的标准形阵的标准形 定义定义.元素是元素是 l l 的多项式的矩阵称为的多项式的矩阵称为l l 矩阵，记作矩阵，记作A(l l)例如例如G G E ME M定义定义.设设l l 矩阵矩阵 A(l l),B(l l)满足满足称称 A(l l)为可逆的为可逆的l l 矩阵，且矩阵，且B(l l)为为A(l l)的逆。的逆。显然，显然，A(l l)可逆可逆说明：说明：l l 矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系（向下兼容性）。（向下兼容性）。G G E ME M26定义定义.l l 矩阵的初等变换矩阵的初等变换G G E ME

12、M27定义定义:若若l l 矩阵矩阵 A(l l)经过若干次初等变经过若干次初等变换变为换变为B(l l)，l l 矩阵的等价矩阵的等价则称则称 A(l l)与与B(l l)等价等价，记作，记作G G E ME M28引理：设引理：设 为为 n 阶阶l l 矩阵矩阵，若若A(l l)中存在一个元素不能被中存在一个元素不能被 整除，整除，则必存在与则必存在与A(l l)等价的矩阵等价的矩阵满足满足“A(l l)可经过若干次初等变换变成一个可经过若干次初等变换变成一个l l 矩阵，其矩阵，其(1,1)(1,1)元素是其余所有元素的公因式。元素是其余所有元素的公因式。”G G E ME M29情形情

13、形1 1：不能被不能被 整除，整除，情形情形2 2：不能被不能被 整除，整除，证明过程与情形证明过程与情形1 1 类似类似G G E ME M30能被能被 整除，整除，情形情形3 3：但但 不能被不能被 整除，整除，此时已化成情形此时已化成情形2 2G G E ME M31定理：设定理：设 A(l l)为为 mn 阶阶l l 矩阵矩阵，则则A(l l)等价于分块等价于分块 对角阵对角阵 称为称为 A(l l)等价标准形，等价标准形，其中其中并且并且 首项系数为首项系数为 1 1，l l 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形G G E ME M例：例：求求l l 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形32

14、G G E ME M33G G E ME M34G G E ME Ml l 矩阵的秩矩阵的秩定义：定义：l l 矩阵矩阵A(l l)的不恒为零的子式的最高阶数的不恒为零的子式的最高阶数显然，显然，等价的等价的 l l 矩阵矩阵有相同的秩有相同的秩。称为称为A(l l)的秩。的秩。事实上，事实上，l l 矩阵的初等变换不会改变矩阵的初等变换不会改变其其子式子式恒为零与否恒为零与否的状态，也就的状态，也就不会改变其不会改变其不恒为零子式不恒为零子式最高阶数最高阶数。例如，例如，A 为为 n 阶数字方阵，则阶数字方阵，则不恒为零，故不恒为零，故的秩为的秩为 n。G G E ME M行列式因子行列式因

15、子定义：定义：l l 矩阵矩阵A(l l)的所有的所有 k 阶子式的最大公因式阶子式的最大公因式定理：定理：等价的等价的 l l 矩阵矩阵有相同的各阶有相同的各阶行列式因子行列式因子。事实上，事实上，初等变换不会改变初等变换不会改变 A(l l)各阶各阶子式子式的最大公因式的最大公因式也就也就不会改变其各不会改变其各阶行列式因子阶行列式因子。称为称为A(l l)的的 k 阶阶行列式因子行列式因子，记作，记作性质：性质：G G E ME M37求求A(l l)的的各各阶阶行列式因子方法：行列式因子方法：依依行列式因子的定义：行列式因子的定义：G G E ME M例：例：求求l l 矩阵的各阶行列

16、式因子。矩阵的各阶行列式因子。G G E ME MG G E ME M例：例：求求l l 矩阵的各阶行列式因子。矩阵的各阶行列式因子。G G E ME MG G E ME M42不变因子不变因子定义：设定义：设 为为l l 矩阵矩阵 A(l l)的的k 阶阶行列式因子，行列式因子，定理：等价的定理：等价的 l l 矩阵矩阵有相同的各有相同的各阶阶不变因子不变因子。称为称为A(l l)的的 k 阶阶不变因子。不变因子。G G E ME M43定理：定理：l l 矩阵矩阵的等价标准形是唯一的。的等价标准形是唯一的。注意到，注意到，A(l l)的的等价标准形中等价标准形中D(l l)的对角元是的对角

17、元是A(l l)的的各各阶不变因子。阶不变因子。G G E ME M例：例：G G E ME M45定义：设定义：设 A(l l)的的 各阶各阶不变因子在复数域的标准分解式不变因子在复数域的标准分解式初等因子初等因子称指数称指数 为为A(l l)的初等的初等因子。因子。G G E ME M初等因子定义等价论述：设初等因子定义等价论述：设 A(l l)的每一个次数大于零的的每一个次数大于零的不变因子分解成互不相同一次因式方幂的乘积，所有这不变因子分解成互不相同一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按照出现的次数计算）些一次因式的方幂（相同的必须按照出现的次数计算）称为矩阵称为矩阵

18、A(l l)初等因子。初等因子。定理：等价的定理：等价的 l l 矩阵矩阵有相同的初等有相同的初等因子因子。G G E ME M9 9个个 则其初等因子有则其初等因子有7 7个，它们是个，它们是G G E ME M48例例2 设设求矩阵求矩阵 l lE-A 的的行列式因子行列式因子,不变因子不变因子,和和初等因子初等因子。G G E ME M解：解：G G E ME MG G E ME M2.5 矩矩阵相似的条件阵相似的条件 定理：数字定理：数字方阵方阵 A 相似于相似于 B 的充分必要条件是的充分必要条件是 l lE A 等价于等价于 l lE BG G E ME M定理定理:方阵方阵 A

19、相似于相似于 B 的充分必要条件是的充分必要条件是 l lE A与与l lE B有相同的有相同的:1.行列式因子行列式因子组组,2.不变因子不变因子组组,3.初等因子初等因子组组.G G E ME M定义定义:数字矩阵，数字矩阵的数字矩阵，数字矩阵的行列式因子、行列式因子、不变因子、初等因子。不变因子、初等因子。G G E ME M引理：引理：设设 2 2 阶阶l l 矩阵矩阵其中其中则则与与等价。等价。G G E ME M则则与与的行列式因子的行列式因子证明：证明：设设且且的最大公因式是的最大公因式是G G E ME M56定理定理 设设 A(l l)为分块对角阵为分块对角阵 则每个子块则每

20、个子块 的初等因子都是的初等因子都是 A(l l)的的初等因子，并且初等因子，并且 A(l l)的每个初等因子必是的每个初等因子必是某个子块某个子块 的初等因子。的初等因子。G G E ME MG G E ME M定理在应用中把问题变得比较简单，例如定理在应用中把问题变得比较简单，例如G G E ME M59例例2 设设求矩阵求矩阵 l lE-A（也就是矩阵（也就是矩阵A）的）的行列式行列式因子因子,不变因子不变因子,和和初等因子初等因子。G G E ME M解：解：G G E ME MG G E ME M62求矩阵求矩阵 l lE-A 的的行列式因子，不变因子和行列式因子，不变因子和初等因子

21、初等因子。例例3 设设G G E ME MG G E ME Ml lE-A 的的行列式因子：行列式因子：l lE-A 的的初等因子初等因子:l lE-A 的的不变因子：不变因子：(简称简称:A 的的初等因子初等因子)(简称简称:A 的的不变因子不变因子 )(简称简称:A 的的行列式因子行列式因子)G G E ME M结论结论1 1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论结论2 2、两个同级数字矩阵相似、两个同级数字矩阵相似可

22、见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量（可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量（？）.相同的不变因子相同的不变因子.它们有相同的初等因子它们有相同的初等因子.G G E ME M2.6 矩矩阵的若当标准形阵的若当标准形 Jordan 块块:形如形如的的 ni 阶矩阵称为阶矩阵称为 ni 阶阶Jordan 块（若当块完块（若当块完全由两个因素决定，一是阶数，二是对角线全由两个因素决定，一是阶数，二是对角线元素）。元素）。G G E ME MJordan 块的等价形式块的等价形式:G G E ME M的初等因子的初等因子:G G E ME M分块对角阵分块对角阵称为称为 A 的的Jord

23、an标准形标准形.J 的初等因子的初等因子:G G E ME M定理：设矩阵定理：设矩阵 A 的的初等因子是：初等因子是：则存在则存在 Jordan标准形标准形使得使得G G E ME M推论：推论：n 阶矩阵阶矩阵 A 相似于对角阵相似于对角阵的的充要条件是充要条件是A的的初等因子都是初等因子都是 l l 的一次多的一次多项项式式。G G E ME M72例例 设设 求矩阵求矩阵 A 的的 Jordan标准形。标准形。G G E ME M73初等因子初等因子组组:G G E ME M74例例 设设求矩阵求矩阵 A 的的Jordan标准形。标准形。G G E ME M75初等因子初等因子组组:

24、G G E ME M76定义：设定义：设 A 为为 n 阶方阵，若多项式阶方阵，若多项式 满足满足则称则称 j j(l l)为为 A 的零化多项式。的零化多项式。2.6 矩矩阵的阵的最小多项式最小多项式G G E ME MG G E ME M定理：定理：(Hamilton-Cayley)设设 A 为为 n 阶方阵，则阶方阵，则 A 的特征多项式的特征多项式为为 A 的零化多项式。的零化多项式。G G E ME M定义：设定义：设 A 为为 n 阶方阵，则称阶方阵，则称 A 的次数最低的的次数最低的零化多项式为零化多项式为 A 的最小多项式，的最小多项式，记作记作79G G E ME M最小多项式的性质：设最小多项式的性质：设 A 为为 n 阶方阵，则阶方阵，则G G E ME M例例 设设求矩阵求矩阵 A 的的Jordan标准形及最小多项式。标准形及最小多项式。G G E ME MG G E ME MG G E ME M84初等因子初等因子组组: