弯曲应力2.ppt

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1、(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)回顾与比较内力应力FAyFSM(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为为弯曲正应力弯曲正应力与与弯曲切应力弯曲切应力。MFSFSMs st t Chapter5 Stresses in beams(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)基本要求：基本要求：1、掌握对称弯曲梁正应力的分布规律及其计算、掌握对称弯曲梁正应力的分布规律及其计算 2、了解、了解横力横力弯曲切应

2、力的分布规律及其计算弯曲切应力的分布规律及其计算 3、熟练掌握、熟练掌握对称对称弯曲梁的强度条件及其应用弯曲梁的强度条件及其应用 4、了解横力弯曲梁切应力的强度条件及其应用了解横力弯曲梁切应力的强度条件及其应用本章重点：本章重点：对称曲梁的强度条件及其应用对称曲梁的强度条件及其应用本章难点：本章难点：对称弯曲梁正应力推导过程的理解对称弯曲梁正应力推导过程的理解本章大约讲解本章大约讲解6学时学时(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)6-1 梁的纯弯曲梁的纯弯曲 (Pure bending ofPure bending of beams)6-2 纯弯曲时的正应

3、力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)6-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending )6-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)第六章第六章第六章第六章 弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力 (Stresses in beams)(Stresses in beams)6-5 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the stren

4、gth of beams)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)mmF FS SM一一一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members)(Stresses in flexural members)当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩MM，又有剪力又有剪力又有剪力又有剪

5、力F FS S.6-1 引言引言 (Pure bending ofPure bending of beams)mmF FS S mmM 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩.弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力 只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS

6、 S=d dA A 才能合成才能合成才能合成才能合成剪力；剪力；剪力；剪力；所以，在梁的横截面上所以，在梁的横截面上所以，在梁的横截面上所以，在梁的横截面上一般一般一般一般既有既有既有既有正应力正应力正应力正应力，又有又有又有又有切应力切应力切应力切应力.(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)二、分析方法二、分析方法二、分析方法二、分析方法 (Analysis method)(Analysis method)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横截面上只有横截面上只有横截面上只有M

7、M而无而无而无而无F FS S的情况的情况的情况的情况)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲(横截面上既有横截面上既有横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有又有又有MM的情况的情况的情况的情况)简支梁简支梁简支梁简支梁CDCD段任一横截面上，剪力段任一横截面上，剪力段任一横截面上，剪力段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁等于零，而弯矩为常量，所以该段梁等于零，而弯矩为常量，所以该段梁等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是的弯曲就是的弯曲就是的弯曲就是纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为若梁

8、在某段内各横截面的弯矩为若梁在某段内各横截面的弯矩为若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为称为称为称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲.三、纯弯曲三、纯弯曲三、纯弯曲三、纯弯曲（Pure bending)Pure bending)+-FF+FaFFaaCDAB(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)F 纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。工程实例工程实例(Stresses in Beams)(Stresses

9、in Beams)对称弯曲 构件的几何形状、材料性能和外力作用均构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵向对称面对称于杆件的纵向对称面X杆轴纵向对称面F1F2FAFB平面弯曲 梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合相重合 对称弯曲必定是平面弯对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。对称弯曲。非对称弯曲 构件不具有纵对称面，或构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形在纵对称面时的弯曲变形(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)

10、deformationdeformationgeometricgeometricrelationshiprelationship Examine the deformationExamine the deformation，then propose the hypothesisthen propose the hypothesis Distribution regularity Distribution regularity of deformationof deformationDistribution regularity Distribution regularity of stress

11、of stressEstablish the formulaEstablish the formula变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系 观察变形，观察变形，观察变形，观察变形，提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式physicalphysicalrelationshiprelationshipstaticstaticrelationshiprelationship 6-2 纯弯曲

12、时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)一、实验一、实验一、实验一、实验（ExperimentExperiment）1.1.1.1.变形现象变形现象变形现象变形现象（Deformation phenomenon)Deformation phenomenon)纵向线纵向线纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长.相对转

13、过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线横向线横向线(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)2.2.2.2.提出假设提出假设提出假设提出假设(Assumptions(Assumptions）（a a a a）平面假设：变形前为平面的横截面平面假设：变形

14、前为平面的横截面平面假设：变形前为平面的横截面平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；后的梁轴线；后的梁轴线；后的梁轴线；（b b b b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤单向受力假设：纵向纤维不相互挤单向受力假设：纵向纤维不相互挤单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压压，只受单向拉压压，只受单向拉压压，只受单向拉压.推论：推论：推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维中

15、性层中性层中性层中性层中性轴中性轴中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层中性层中性层弯曲中弯曲中梁的梁的中性层中性层neutral surface 既不伸长又不缩短的纵面既不伸长又不缩短的纵面 截面的截面的中性轴中性轴neutral axis 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)dx图（图（图（图（b b）yzxO应变分布规律：应变分布规律：应变分布规律：应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比

16、直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（图（图（图（a a）d dx x二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系（Deformation geometric relation Deformation geometric relation）图（图（图（图（c c）yzyxOObbybbOO(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)三、物理关系三、物理关系三、物理关系三、物理关系(Physical relationship)P

17、hysical relationship)所以所以所以所以胡克定律胡克定律胡克定律胡克定律MMyzOx 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比的距离成正比的距离成正比的距离成正比.应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：?待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径r r r r?(Stresses

18、in Beams)(Stresses in Beams)yzxOMd dA Azy d dA A四、静力关系四、静力关系四、静力关系四、静力关系(Static relationship(Static relationship）横截面上内力系为垂直于横截横截面上内力系为垂直于横截横截面上内力系为垂直于横截横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，面的空间平行力系，面的空间平行力系，面的空间平行力系，这一力系简化这一力系简化这一力系简化这一力系简化得到三个内力分量得到三个内力分量得到三个内力分量得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相

19、平衡可得（1 1）（2 2）（3 3 3 3）(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（1 1 1 1）式，得）式，得）式，得）式，得将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（2 2 2 2）式，得）式，得）式，得）式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自然满足自然满足自然满足称为截面的抗弯刚度

20、称为截面的抗弯刚度称为截面的抗弯刚度称为截面的抗弯刚度(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)将将将将代入代入代入代入得到得到得到得到纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲时横截面上正应力的时横截面上正应力的时横截面上正应力的时横截面上正应力的计算公式计算公式计算公式计算公式:MM为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为

21、梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩.实验力学实验力学验证验证、弹性力学弹性力学印证印证了公式的精确性。非常成功！了公式的精确性。非常成功！横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力 的大小的大小的大小的大小与该点到中性与该点到中性与该点到中性与该点到中性轴的距离轴的距离轴的距离轴的距离y y成正比。成正比。成正比。成正比。(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)讨论讨论 （1 1）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将 MM、y y 以绝对值代入以绝对值代入以绝对值

22、代入以绝对值代入.根据梁变形的根据梁变形的根据梁变形的根据梁变形的情况直接判断情况直接判断情况直接判断情况直接判断 的正负号的正负号的正负号的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的以中性轴为界，梁变形后凸出边的以中性轴为界，梁变形后凸出边的以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力应力为拉应力应力为拉应力应力为拉应力(为正号为正号为正号为正号).).凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力（为负号为负号为负号为负号）；）；）；）；（2 2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴

23、最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.（3 3）在以上讨论中，为了方便，把梁截面画成矩形，但推导过）在以上讨论中，为了方便，把梁截面画成矩形，但推导过）在以上讨论中，为了方便，把梁截面画成矩形，但推导过）在以上讨论中，为了方便，把梁截面画成矩形，但推导过程中并未用过矩形的几何特性，所以，公式适用于梁有纵向对称程中并未用过矩形的几何特性，所以，公式适用于梁有纵向对称程中并未用过矩形的几何特性，所以，公式适用于梁有纵向对称程中并未用过矩形的几何特性，所以，公式适用于梁有纵向对称面，且载荷作用于这一平面内的所有情况。亦即适用于面，且载荷作用于这一平面内的所有情况。亦即适用于面，且载荷

24、作用于这一平面内的所有情况。亦即适用于面，且载荷作用于这一平面内的所有情况。亦即适用于对称纯弯对称纯弯对称纯弯对称纯弯曲曲曲曲的所有情况。的所有情况。的所有情况。的所有情况。(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)则公式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数,仅与截面的形状及尺寸仅与截面的形状及尺寸有关有关 线弹性范围正应力小于比例极限p；精确适用于纯弯曲梁；横力弯曲对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为

25、截面位置的函数。公式 适用范围：(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)1 1）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)zy2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面

26、上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)结论：结论：=My/Iz分析结果汇总：分析结果汇总：变形几何关系：变形几何关系：e e=y/r r物理关系：物理关系：=Ee e=Ey/r r中性轴上，中性轴上，中性轴上，中性轴上，=0 0，截面上、下缘，截面上、下缘，截面上、下缘，截面上、下缘，=。maxmax静力平衡条件：静力平衡条件：中性轴中性轴中性轴中性轴z z过截面形心过

27、截面形心过截面形心过截面形心 A AydA=ydA=0 0I Iz z-截面对截面对截面对截面对z z轴的惯性矩。轴的惯性矩。轴的惯性矩。轴的惯性矩。EIEIz z-截面抗弯刚度。截面抗弯刚度。截面抗弯刚度。截面抗弯刚度。1/1/r r r r=MM/EIEIz z 梁的曲率梁的曲率梁的曲率梁的曲率(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在梁在梁在梁在此种情况下的弯曲称为此

28、种情况下的弯曲称为此种情况下的弯曲称为此种情况下的弯曲称为横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲.6-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses of the beam in Normal stresses of the beam in nonuniformnonuniform bending)bending)横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力切应力切应力切应力使横截面发生翘曲，使横截面发生翘曲，使横截面发生翘曲，使横截面

29、发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲(NonuniformNonuniform bending)bending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲

30、存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，明，明，明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁等直梁等直梁等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为横力弯曲时横截面上的正应力公式为横力弯曲时横截面上的正应力公式为横力弯曲时横截面上的正应力公式为(Stresses i

31、n Beams)(Stresses in Beams)二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula)(The applicable range of the flexure formula)1.1.1.1.在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内(All stresses in the beam are below the proportional limit)(All stresses in the beam are below the proportional li

32、mit)3.3.3.3.平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲（Plane bendingPlane bending）4.4.4.4.直梁直梁直梁直梁（Straight beamsStraight beams）2.2.2.2.具有切应力的梁具有切应力的梁具有切应力的梁具有切应力的梁（The beam with the shear stressThe beam with the shear stress）三、强度条件三、强度条件三、强度条件三、强度条件（Strength condition)Strength condition)1.1.1.1.数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式（Mathemat

33、ical formula)Mathematical formula)梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.对等截面梁：对等截面梁：对等截面梁：对等截面梁：(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)2.2.2.2.强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition)（2 2 2 2）设计截面）设计截面）设计

34、截面）设计截面（3 3 3 3）确定许可载荷）确定许可载荷）确定许可载荷）确定许可载荷（1 1 1 1）强度校核强度校核强度校核强度校核 对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料制成的梁制成的梁制成的梁制成的梁，由于材料的，由于材料的，由于材料的，由于材料的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴中性轴中性轴一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上

35、）要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力许用拉应力和许用压应力许用拉应力和许用压应力许用拉应力和许用压应力(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)小结：小结：梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件对梁的某一截面：对梁的某一截面：对全梁（等截面）：对全梁（等截面）：1.弯矩最大的截面上危险截面2.离中性轴最远处危险点4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑 与(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)1.承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面

36、组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为max（a）、max（b）、max（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。(a)(b)(c)zzzzB提问？提问？(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)例题例题例题例题1 1 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长已知板长已知板长已知板长3 3a a150mm150mm，压板压板压板压板材料的弯曲许用应力材料

37、的弯曲许用应力材料的弯曲许用应力材料的弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最大允试计算压板传给工件的最大允试计算压板传给工件的最大允试计算压板传给工件的最大允许压紧力许压紧力许压紧力许压紧力F F.ACBFa2a203014FRAFRB+Fa解：（解：（解：（解：（1 1）作出弯矩图的最大弯）作出弯矩图的最大弯）作出弯矩图的最大弯）作出弯矩图的最大弯矩为矩为矩为矩为FaFa；（2 2）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数（3 3）求许可载荷）求许可载荷）求许可载荷）求许可载荷(Stresses in Beams)(

38、Stresses in Beams)80y1y22020120z例题例题例题例题2 T2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用铸铁的许用铸铁的许用铸铁的许用拉应力为拉应力为拉应力为拉应力为 t t=30MPa =30MPa，许用压应力为许用压应力为许用压应力为许用压应力为 c c=160MPa.=160MPa.已知截已知截已知截已知截面对形心轴面对形心轴面对形心轴面对形心轴z z的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4，y y1

39、 1 =52mm=52mm，校核梁的强校核梁的强校核梁的强校核梁的强度度度度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：解：解：解：最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120z(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)例题

40、例题例题例题3 3 由由由由 n n 片薄片组成的梁，当每片薄片组成的梁，当每片薄片组成的梁，当每片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就片间的磨擦力甚小时，每一薄片就片间的磨擦力甚小时，每一薄片就片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担独立弯曲，近似地认为每片上承担独立弯曲，近似地认为每片上承担独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于的外力等于的外力等于的外力等于 ，求梁上的最大，求梁上的最大，求梁上的最大，求梁上的最大正应力正应力正应力正应力zbFlh解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力zbF

41、lh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beamsShear stresses in beams）1.1.1.1.矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁(Beam of

42、 rectangular cross section)(Beam of rectangular cross section)6-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件（1 1）两个假设两个假设两个假设两个假设(Two assumptions)(Two assumptions)（a a a a）切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；（b b b b）切应力沿截面宽度均匀分布切应力沿截面宽度均匀分布切应力沿截面宽度均匀分布切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力

43、相等）.q(x)F1F2以矩形截面梁为例研究梁的弯曲切应力以矩形截面梁为例研究梁的弯曲切应力弹性力学指出：弹性力学指出：对于对于 hb 的矩形截面上述假定足够准确的矩形截面上述假定足够准确剩下的问题是：沿高度方向切应力如何分布？剩下的问题是：沿高度方向切应力如何分布？(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)（2 2）分析方法分析方法分析方法分析方法(Analysis(Analysis method)method)（a a）用横截面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中截从梁中截从梁中截从梁中截取取取取 d dx x一段一段一段一段.两横截面

44、上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一y y处的正应力也不等；处的正应力也不等；处的正应力也不等；处的正应力也不等；（b b）假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素 mBmB1 1，在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1，nBnB1 1上两个法向上两个法向上两个法向上两个法向 内力不等内力不等内力不等内力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxmmhnyABA1B1ABB1A1mnxzyymmFN2FN1(Str

45、esses in Beams)(Stresses in Beams)mnnmxyzOyABA1B1bdxmmhn（c c）在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力d dF FS S.故在此面上就故在此面上就故在此面上就故在此面上就有切应力有切应力有切应力有切应力.根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等等等等.各点的切应力方向均与截面侧边平行各点

46、的切应力方向均与截面侧边平行各点的切应力方向均与截面侧边平行各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可取分离体的平衡即可取分离体的平衡即可取分离体的平衡即可求出求出求出求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFSmm(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS（3 3）公式推导公式推导公式推导公式推导(Derivation of the (Derivation of the formula)formula)假设假设假设假设mm-mm，n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+

47、d dMM，两截面上距中性轴两截面上距中性轴两截面上距中性轴两截面上距中性轴 y y1 1 处的正应力为处的正应力为处的正应力为处的正应力为 1 1 和和和和 2 2.A A1 1为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积.式中：式中：式中：式中：为面积为面积为面积为面积A A1 1对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.A A1 1(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)化简后得化简后得化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程由

48、平衡方程由平衡方程A A1 1ABB1A1mnxzyymFN2FN1dFS(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)b矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度.yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩.距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y y的横线的横线的横线的横线以外部分以外部分以外部分以外部分横横横横截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩.（4 4）切应力沿截面高度的变化规律切应力沿截面高度的变化规律切应力沿截面高度的

49、变化规律切应力沿截面高度的变化规律(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定.(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化

50、可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.z maxmaxy y=h h/2/2（即在横截面上距中性轴最远处）即在横截面上距中性轴最远处）即在横截面上距中性轴最远处）即在横截面上距中性轴最远处）=0=0=0=0y=y=0 0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值即在中性轴上各点处），切应力达到最大值即在中性轴上各点处），切应力达到最大值即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，式中，式中，式中，A=A=bhbh为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积.(Stresses in Beams)(S