[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-2.ppt

《[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-2.ppt（41页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2.2 矩阵的运算矩阵的运算数域数域：一个包含：一个包含0，1的数集且其中任两个元的数集且其中任两个元素的和差积商素的和差积商(除数不为除数不为0)仍属于此集合仍属于此集合.例如：例如：有理数有理数、实数实数、复数复数集都是数域集都是数域.矩阵的运算考察的是矩阵的运算考察的是某一数域上的矩阵某一数域上的矩阵之间的运算之间的运算.一一 矩阵的加法与数乘运算矩阵的加法与数乘运算二二 矩阵的乘法矩阵的乘法三三 矩阵的转置矩阵的转置四四 矩阵矩阵乘积的行列式乘积的行列式一一 矩阵的加法与数乘运算定定义义：设设如果如果(i=1,2,m;j=1,2,n)则则称矩称矩阵阵A与与B相等相等,记为记为A=B.注

2、意：注意：如若如若:相等相等,则则:1.矩阵相等的条件：矩阵相等的条件：同型同型且且对应位置元素相等对应位置元素相等.2.应用：应用：求相等矩阵对应元素求相等矩阵对应元素.例例 设设解解矩阵的加法矩阵的加法定义定义:设设A,B是两个是两个mn 矩阵矩阵则则mn 矩阵矩阵称为称为和和B的和的和,记做记做 C=A+B.注意注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律:(交换律交换律)(结合结合律律)(5)A+0=A(0表示与表示与A同型的同型的0矩阵矩阵).称为矩阵称为矩阵A的的负矩阵负矩阵.矩阵的数

3、乘矩阵的数乘 定义定义:用数用数k乘矩阵乘矩阵 的每一的每一个元素个元素,所得到的矩阵所得到的矩阵称为矩阵称为矩阵A与数与数k的乘积的乘积,简称简称数乘数乘,记为记为kA或或kA.数乘的运算规律数乘的运算规律:二 矩阵的乘法运算平面解析几何中将平面解析几何中将xoy旋转旋转角后的坐标系角后的坐标系xoy坐标旋转公式的推导坐标旋转公式的推导xyxyoA BCPx=OA=OBAB =xcosysin.同理有同理有y=xsin+ycos.得坐标旋转后的变换公式得坐标旋转后的变换公式对应对应矩阵矩阵再将再将xoy旋转旋转角得坐标系角得坐标系xoy,坐标变换公坐标变换公式为式为对应对应矩阵矩阵代入后得代

4、入后得xoy与与xoy之间的坐标变换公式为之间的坐标变换公式为此变换对应的系数矩阵为此变换对应的系数矩阵为观察结果观察结果:矩阵矩阵C的第一行第一列元素的第一行第一列元素 c11=coscos sin sin 是矩阵是矩阵A的第一行元素与矩阵的第一行元素与矩阵B的第一列元素的第一列元素一次相乘相加的结果一次相乘相加的结果,即即c11=a11b11+a12b21.同样可以看出同样可以看出c21=a21b11+a22b21,c12=a11b12+a12b22,c22=a21b12+a22b22.矩阵矩阵C称为矩阵称为矩阵A与与B的乘积的乘积.设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那末

5、规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中并把此乘积记作并把此乘积记作定义定义注意注意:只有当矩阵只有当矩阵A的列数等于的列数等于B矩阵的矩阵的行数行数时时,乘积乘积AB才有意义才有意义.常记为常记为:例例1设设计算计算AB.练习练习解解计算计算AB.故故解解 设设例例2矩阵的乘法不满足交换律矩阵的乘法不满足交换律 则则例外，比如设例外，比如设则有则有规定：矩阵规定：矩阵A乘矩阵乘矩阵B指指AB,也称也称A左乘左乘B.B乘乘A指指BA,也称也称A右乘右乘B.例例3 3 设设1 1矩阵可视为数矩阵可视为数矩阵相乘时次矩阵相乘时次序非常重要序非常重要

6、例例4 4 设设则则注意注意矩阵乘法与数的运算不同的结论矩阵乘法与数的运算不同的结论:A 0,B 0,而而AB=0.矩阵乘法矩阵乘法不能不能作如下推理作如下推理:若若AB=0,则则A,B至少有一个零矩阵至少有一个零矩阵.另一点：若另一点：若AC=BC且且C 0,一般的不到一般的不到A=B,即矩阵乘法不满足消去律即矩阵乘法不满足消去律.例如例如例例5 5 设设求满足条件求满足条件AX=XA(称称A与与X可交换可交换)的矩阵的矩阵X.解：由题设解：由题设AX=XA及矩阵乘积的定义及矩阵乘积的定义,X为二为二阶方阵阶方阵.因此设因此设代入有代入有即即由矩阵相等的定义得方程组由矩阵相等的定义得方程组得

7、得这样与这样与A可交换的矩阵形如可交换的矩阵形如其中其中 x12,x22为任意数为任意数.例例6 利用矩阵乘法与矩阵相等的概念利用矩阵乘法与矩阵相等的概念,线性方程组线性方程组:可以写成矩阵相乘等式的形式可以写成矩阵相乘等式的形式:若令若令:线性方程组还可以写线性方程组还可以写成更简单的形式成更简单的形式:得到了得到了n元线性方程组与元线性方程组与矩阵的联系，以后可以通矩阵的联系，以后可以通过矩阵来研究方程组过矩阵来研究方程组.矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律:（其中其中 为数）为数）;若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 定义定义注意注意:结合律结合律

8、分配律分配律矩阵乘法结合律的证明矩阵乘法结合律的证明设设则则乘积乘积(AB)C与与A(BC)均有意义均有意义.设设V=AB,则则即即从而从而(AB)C的第的第i行第行第j列元素为列元素为(i=1,2,m;j=1,2,n)另一方面，另一方面，U=BC的第的第i行第行第j列列元素元素即即从而从而A(BC)的第的第i行第行第j列元素为列元素为(i=1,2,m;j=1,2,n)利用加法的交换律利用加法的交换律(双重加号可换双重加号可换)及矩阵相及矩阵相等的定义，得等的定义，得(AB)C=A(BC).定义定义:设设 mn矩阵矩阵 将矩阵将矩阵A的的行与列互行与列互换换,而不改变其先后而不改变其先后次序得

9、到的次序得到的nm矩矩 阵阵称为矩阵称为矩阵A的的转置转置矩阵矩阵,记为记为A或或AT.三 矩阵的转置例例转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质:性质性质5的证明的证明设设于是于是B 是是n k矩阵，矩阵，A 是是k m矩阵，因此矩阵，因此B A 有意义，是有意义，是n m矩阵矩阵.而而(AB)也是也是n m一矩阵一矩阵.只需证明只需证明(AB)与与B A 对应对应元素相等元素相等.(AB)的第的第i行第行第j列元素等于列元素等于AB的第的第j行第行第i列列元素，即元素，即B的第的第i行第行第t列元素是列元素是B的第的第t行第行第i列元素列元素,即即bti;A的第的第t行第行第j列元素是列元素是

10、ajt.因此因此B A 中第中第i行第行第j列元素是列元素是因此因此(AB)=B A.定理定理:设设A,B是两个是两个n 阶方阵阶方阵,则则|AB|=|A|B|,即方阵乘积的行列式等于它的因子的行列式即方阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积的乘积.证证:根据拉普拉斯展开定理根据拉普拉斯展开定理,将将|A|B|写成一个写成一个2n 阶行列式阶行列式:四 矩阵乘积的行列式将这将这2n 阶行列式变形阶行列式变形,使所有的使所有的bij都化为都化为0.则最终得到则最终得到:由拉普拉斯展开定理由拉普拉斯展开定理,将这将这2n阶行列式按后阶行列式按后n 列展开列展开,这后这后n列中列中,值不为零值不为

11、零 n 阶子行列式阶子行列式只有一个只有一个,于是得到于是得到推论推论1 设设则则:A1,A2,Am是是m个个n阶方阵阶方阵,则则:推论推论2 设设AB是两个是两个 n 阶方阵阶方阵,乘积矩阵乘积矩阵AB 为降秩的充分必要条件是为降秩的充分必要条件是 A,B 中至少中至少有一个矩阵是降秩的有一个矩阵是降秩的.注意注意:本定理及其推论中的条件是本定理及其推论中的条件是:A,B 均为均为 n 阶方阵阶方阵.当当 A,B 不是同阶方阵时不是同阶方阵时,显然显然:|kA|=kn|A|.P45(12)设设a,b,c,d为不全为零的实数，证明方程为不全为零的实数，证明方程组组只有零解只有零解.证明 设设则则因此方程组只有零解因此方程组只有零解.解解例例1 1由此归纳出由此归纳出用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时时，所以对于任意的所以对于任意的 都有都有则则,命题得证命题得证例例 已知已知:解法解法1解法解法2