高等数学-概率4.3连续型随机变量的常见分布.ppt

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1、二、二、常常见的的连续连续型随机型随机变量的概率分布量的概率分布 （一）均匀分布（一）均匀分布（Uniform）1、概率密度、概率密度 若若r.v.的概率密度为的概率密度为若若 r.v.X的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X Ua,b 二、均匀分布二、均匀分布(Uniform)（注：（注：X U（a,b）均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五第一位进行

2、四舍五 入时，那么一般认为误差入时，那么一般认为误差服从（服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。若X Ua,b，则对于满足，则对于满足的c,d,总有则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命如元件的寿命.三、指数分布：三、指数分布：若若 r.v X具有概率密度具有概率密度 常简记为常简记为 XE().正态分布是应用最广泛正态分布是应用最广泛的一种连续型分布的一种连续型分布.正正态分布在十九世分布在十九世纪前叶由前叶由 高斯高斯(Gauss)(Gauss)加以推广，所以通常加以推广，所以通

3、常称为高斯分布称为高斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛（德莫佛（De Moivre)De Moivre)最早最早发现了二项分布的一个近似公发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是式，这一公式被认为是正态分正态分布的首次露面布的首次露面.一、正态分布一、正态分布你们是否见过街头的一种赌博游戏你们是否见过街头的一种赌博游戏?用一个钉板作赌具。用一个钉板作赌具。下面我们在计算机上模拟这个游戏：下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博街头赌博 高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 高高 尔尔 顿顿 钉钉 板板 试试 验验这条曲线就近似我们将要介绍这条曲线就近似我们将要介绍的的正态分布正态分布的密度曲线。的密度

4、曲线。(I)、正态分布的定义、正态分布的定义 若若r.v.X 的的概率密度为概率密度为记作记作 f(x)所确定的曲线叫作正态曲线所确定的曲线叫作正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.(Normal)(II)、正态分布、正态分布 的图形特点的图形特点 正正态分布的密度曲分布的密度曲线是一条关于是一条关于 对称称的钟形曲线的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”.决定了决定了图形的中心位置，形的中心位置，决定了决定了图形形中中峰的陡峭程度峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点

5、的图形特点故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大处达到最大值值:令令x=+c,x=-c(c0),分分别代入代入f(x),可可得得f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f(x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。当当x 时，时，f(x)0,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为f(x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x=这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。再复习一下。实实例例 年年降降雨雨量量问问题题，

6、我我们们用用上上海海99年年年年降雨量的数据画出了频率直方图。降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。雨量近似服从正态分布。下面是我们用某大学大学生的身高的下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。数据画出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线 可见，某大学大学生的身高应可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。服从正态分布。人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大

7、致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的特特点。点。除了我除了我们在前面遇到在前面遇到过的年降雨量和身的年降雨量和身高外高外,在正常条件下各种产品的质量指标，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布都服从或近似服从正态分布.(III)、设设X ,X的分布函数是的分布函数是(IV)(IV)、标准正准

8、正态分布分布 的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理：标准正准正态分布的重要性在于，分布的重要性在于，任何一个任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布标准正态分布.根据定理根据定理1,1,只要将只要将标准正准正态分布的分布分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题.,则 N(0,1)设设定理定理1 书末附有末附有标准正准正态分布函数数分布函数数值表

9、，有了表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.（V V）、正态分布表）、正态分布表 表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当-x175的概率为P X175=0.2578解解:(2):(2)设车门高度为设车门高度为h cm,按按设计要求要求P(X h)0.01 或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.（2 2）公共汽车车门的高度是按成年）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在男性与车门顶头碰头机会在0.01以下以下来设计的，问车门高度应如何确定来设计的，问车门高度应如何确定?因为

10、因为XN(170,7.,7.692),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+17.92 188 设计车门高度为设计车门高度为 188厘米时，可使厘米时，可使 男子与车门碰头男子与车门碰头 机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99 求满足求满足的最小的的最小的h.这一讲，我们介绍了连续型随机变量、这一讲，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质。概率密度函数及性质。还介绍了正态分还介绍了正态分布，布，它的应用极为广泛，在本课程中我们它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么这后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布么多随机现象都近似服从正态分布;还要还要给出德莫佛极限定理的证明给出德莫佛极限定理的证明.另外我们简单介绍了均匀分布和指另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布数分布