高等数学微积分第三章第1节.ppt

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1、第一节第一节 不定积分的概念及其线性法则不定积分的概念及其线性法则一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的线性运算法则三、不定积分的线性运算法则四、四、直接积分法直接积分法 引例引例 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点由曲线通过点(1,2),所求曲线方程为所求曲线方程为定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念1.原函数原函数 设设 f(x)在

2、区间在区间 I 内有定义，若存在可导内有定义，若存在可导函数函数 F(x)使对每一个使对每一个 x I 有有F(x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx，则称则称 F(x)为为 f(x)在区间在区间 I 内的一个内的一个原函数原函数.例例关于原函数有以下三个问题关于原函数有以下三个问题：1)f(x)满足什么条件满足什么条件,其原函数一定存在？其原函数一定存在？2)若若 f(x)有原函数有原函数,其原函数有多少个？其原函数有多少个？3)f(x)的全体原函数如何表示的全体原函数如何表示?原函数存在定理原函数存在定理 若若 f(x)在区间在区间 I 内连续内连续,则在区间则在区间 I 内一定存在

3、内一定存在 f(x)的原函数的原函数.简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.若若 f(x)有原函数有原函数,则则 f(x)的原函数有无穷多个的原函数有无穷多个.若若 F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数,则则 f(x)的全体原函的全体原函数可表示为数可表示为 F(x)+C.(C为任意常数为任意常数)任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数2.不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量若若 F(x)是是 f(x)在区间在区间 I 内的一个原函数内的一个原函数,则则 f(x)在区间在区间 I 内的内的全体全体原函数称为原函数称为 f(x)在

4、区间在区间 I 内的内的不定积分不定积分,例例1 1 求求例例2 2 求求3.不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分称为积分曲线族不定积分称为积分曲线族,且且在横坐标相同的点在横坐标相同的点处每条曲线上的切线斜率相等处每条曲线上的切线斜率相等都为都为f(x),即在横即在横坐标相同的点处各切线相互平行坐标相同的点处各切线相互平行.y=F(x)为平面上的为平面上的 一条曲线一条曲线.y=F(x)+C 为平面上的为平面上的 一族曲线一族曲线.设设 F(x)是是 f(x)的一个原函数的一个原函数,则则函数函数 f(x)的原函数的图形称为的原函数的图形称为积分曲线积分曲线.结论：结论：求不定积分的

5、运算与微分运算是求不定积分的运算与微分运算是互逆互逆的的.4.不定积分与微分不定积分与微分(导数导数)的关系的关系由此根据微分公式可得积分公式由此根据微分公式可得积分公式.实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：例例3 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的

6、情况）三、三、不定积分的线性运算法则不定积分的线性运算法则例例4 4 求积分求积分解解四、四、直接积分法直接积分法 直接积分法直接积分法 根据不定积分的运算性质和基本积根据不定积分的运算性质和基本积分公式分公式,可以可以计算简单函数的不定积分计算简单函数的不定积分.解解解解解解4.4.求积分求积分解解5.5.求积分求积分解解6.6.求积分求积分解解7.7.求积分求积分解解8.8.求积分求积分解解9.9.求积分求积分解解解解说明说明 以上几例中的被积函数都需要以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形进行恒等变形才能使用基本积分表才能使用基本积分表.在求在求 f(x)的所有原函数中的所有原函数中,有

7、时需要确定一有时需要确定一个满足条件个满足条件 y(x0)=y0 的积分曲线的积分曲线.即求通即求通过点过点(x0,y0)的积分曲线的积分曲线.这个条件一般称为这个条件一般称为初始条件初始条件,它可以唯一确定积分常数它可以唯一确定积分常数 C 的值的值.例例5解解故所求曲线方程为故所求曲线方程为例例6 6解解例例7 7解解注意注意:1)导数是唯一的导数是唯一的,但原函数不唯一但原函数不唯一.2)任一初等函数都可求导数任一初等函数都可求导数,且导数一般也为且导数一般也为初等函数初等函数,但一些初等函数的不定积分就不能但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示用初等函数来表示.这些不定积分的原函数存在这些不定积分的原函数存在,但不能用初等函但不能用初等函数来表示数来表示.基本积分表基本积分表不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分是互逆关系求微分与求积分是互逆关系四、四、小结小结思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.练习题练习题练习题答案练习题答案