高等数学几何中的应用.ppt
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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数引例引例:已知空间曲线 的参数方程:的向量方程 对 上的动点M,即 是此方程确定映射,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.值函数.要用向量值函数研究曲线的连续性连续性和光滑性光滑性,就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.目录 上页 下页 返回 结束 定
2、义定义:给定数集 D R,称映射为一元向量值函数(简称向量值函数),记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限极限:连续连续:导数导数:严格定义见P90因此下面仅以 n=3 的情形为代表目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则向量值函数的导数运算法则:(P91)设是可导向量值函数,是可导函数,则C 是常向量,c 是任一常数,目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义:在 R3中,设的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t 的增长方向一
3、致.,则设目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有 例例1.设速度向量:加速度向量:解:解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为=6目录 上页 下页 返回 结束 例例3.一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺求旋式上升,其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻 t 的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解
4、解:(1)(3)由即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限位给定光滑曲线 在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程目录 上页 下页 返回 结束 1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况因此曲线 在点 M 处的则 在点M 的导向量为法平面方程法平面方程 给定光滑曲线为0,切线方程切线方程目录 上页 下页 返回 结束 例例4.
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- 高等数学 几何 中的 应用
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