重积分应用举例.pptx

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1、 曲面的面积 设曲面S的方程zf(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数,则曲面S的面积为dyxfyxfSyxD),(),(122+或dxdyyzxzSD22)()(1+第1页/共16页设光滑曲面则面积 S 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d S 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则第2页/共16页故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 则有第3页/共16页例 2 求圆柱面 被圆柱面所割部分的面积.解 由对称性知，所求曲面面积是位于第一挂限中的 曲面 的面积的8倍.于是所求曲面面积为第4页/共16页利用曲面的参数方程求曲面的面积若曲面S 由参数方程给出

2、，其中D是一个平面有界闭区域,又x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续的一阶偏导数，且不全为零，则曲面S 的面积其中第5页/共16页例 3 求螺旋曲面面积.解 由已知条件得第6页/共16页2.重积分的物理应用(1)质量平面薄片的质量是薄片 在 处的面密度.空间物体 的质量是物体 在 处的体密度.第7页/共16页分析P点对y轴的静矩为dMyx(x y)d 设质心的横坐标为x 薄片的质量为M 则xMMy 薄片对y轴的静矩为 d P(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为(2)质心第8页/共16页分析P点对x轴

3、的静矩为dMxy(x y)d 设质心的横坐标为y 薄片的质量为M 则yMMx 薄片对x轴的静矩为 d P(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为(2)质心第9页/共16页 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为 讨论 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度是常数 如何求该平面薄片的质心(称为形心)？提示(2)质心第10页/共16页 类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是闭区域上的连续函数 则该物体的质心坐标为 设一平面薄片占有xOy

4、面上的闭区域D 其面密度(x y)是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为(2)力矩与质心第11页/共16页转动惯量元素 在点P(x y)处取一直径很小的小薄片 其面积(面积元素)为d 其质量认为集中于点P 其值近似为(x y)d P点对x轴和对y轴的转动惯量为 dIxy2(x y)d dIyx2(x y)d d P(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为(3)物体的转动惯量第12页/共16页 类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为(3)物体的转动惯量第13页/共16页例4 求由两圆周所围的均匀薄片的质心.解 因为闭区域D对称于y轴,所以质心 必位于 y 轴上,于是r=2 asin r=4a sin由公式其中S的面积为所求重心坐标为第14页/共16页例5 求由平面及x=0,y=0,z=0所围之均匀物体对三个坐标面的转动惯量.解物体所占的空间闭区域 如图所示.由对称性得第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页